专题07 直线与圆18大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题07 直线与圆 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 限定条件求圆方程 题型10 阿波罗尼斯圆 题型2 点与圆 题型11 圆形“将军饮马” （难点） 题型3 内切圆 题型12 动点最短距离 （难点） 题型4 弦长与勾股三角形（重点） 题型13 切线：入射与反射光线 题型5 到直线距离定值的圆上点个数（常考点） 题型14 切线：切点弦 题型6 弦心角 题型15 切线：切线长最值（常考点） 题型7 两圆位置关系（重点） 题型16 切线：面积最值 题型8 公共弦过定点 题型17 切线：三角函数型动切线 （难点） 题型9 最短弦应用 题型18 圆公切线 题型一、限定条件求圆方程 （共3小题） 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为. 故选：C 3．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得，代入即可求得圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为，点是的外接圆与轴的另一个交点， 分别令，则. 设，由韦达定理， 可得，， 又曲线与轴交于两点， 因此有， 故. 又由题可知，，且， 得， 又因为，得. 综上，， 即外接圆的方程为. 故选：B. 题型二、点与圆 （共3小题） 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 5．（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 6．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 题型三、内切圆 （共3小题） 7．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】D 【详解】由图可知，正方形的对角线为外接圆的直径，正方形的边长为内切圆的直径. 已知内切圆的半径是2，则正方形的边长为， 则正方形的对角线为，外接圆的半径为， 阴影部分的面积，D正确. 8．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过圆锥的特性计算扇形的半径并求出对角线长，最后算出长度. 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为. 设扇形的半径为，则有，解得， 因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形，且点在上， ， 所以， 所以． 9．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，A是锐角，的外接圆半径为，内切圆半径为r，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若是直角三角形，则 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】选项A，用正弦定理将条件角化边，再用余弦定理求出角；选项，用正弦定理结合已知边求出角，再用内角和求角，最后用面积公式计算验证；选项C，先确定直角位置，用正弦定理求出三边，再用直角三角形内切圆半径公式计算；选项，用正弦定理边化角，结合内角和统一变量，用辅助角公式化简后根据角的范围求值域. 【详解】对于A选项：根据正弦定理角化边，原式可化为. 由余弦定理，代入得. ∵，∴，故选项A错误； 对于B选项：若，∵， ∴，又A是锐角，∴. 则，即为直角三角形，斜边. 由勾股定理得，故的面积，选项正确； 对于C选项：∵，∴若为直角三角形，因为是锐角，则直角只能为，则，∵，，. 半周长，面积， ∴，选项C正确. 选项D：∵，，∴， 又是锐角，即，∴. 由正弦定理得，，则： 展开 ，代入得： ， 故. ∵，∴，因此 ， 即的取值范围是，选项D正确. 题型四、弦长与勾股三角形 （共2小题） 10．（多选）（2026·福建漳州·模拟预测）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用圆的弦长公式可判断A；利用点到圆上的点的距离最大值的求法可判断B；当直线与圆相切时直线的斜率取到最值，可判断C；利用圆上点到直线距离的最值的求法可判断D. 【详解】易得，，圆，圆心，半径． 圆截轴所得的弦长为，故选项A正确； 因为，所以的最大值为，故选项B正确； 因为当直线与圆相切于轴上方时，设此时切线的斜率为 ， 切线方程为：， 圆心 到切线的距离等于半径：， 即，化简得：，即， 解得：，所以直线的斜率取得最大值，故选项C错误； 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最小距离， 所以的面积的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD． 11．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值. 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 12．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点.若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为_____. 【答案】 【分析】先由圆的方程配方求出圆心，判断圆心在直线上，由定直线过点，且被圆截得的弦长为定值，结合圆的半径为3，可推得圆心到定直线的距离不变，从而由即可求得直线的方程. 【详解】圆的标准方程为：， 可知该圆的圆心坐标是，因，则圆心在直线上， 又因圆的半径为3，定直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离不变， 故，又直线过点，故直线的方程为，即. 故答案为：.    题型五、到直线距离为定值的圆上的点个数 （共3小题） 13．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 又因为圆上恰有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离为，所以有，得. 故选：B. 14．（25-26高二上·河北·期中）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】B 【分析】求出直线所过定点为，但不包括，再分析得圆心到直线的距离为1得到方程，解出即可. 【详解】由圆的方程可知其圆心为，半径为2， l：，显然表示恒过点的直线，但不包括直线， 若圆上恰有三个点到直线的距离都为1， 则圆心到直线l的距离为1，得，解得. 直线为， 故选：B. 15．（25-26高三上·陕西商洛·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线为1求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 得圆心到直线为1，则，而， 所以. 故选：B 题型六、弦心角 （共3小题） 16．（2026·湖南·三模）直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，圆的半径为4， 所以圆心到直线的距离为， 由点线距离公式得，所以，解得． 17．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知直线与圆相交于两点，且，其中为坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程，写出韦达定理，利用向量数量积求夹角的公式建立方程，可得答案. 【详解】设， 联立，消去可得， ，即， ，， 由， 则，即， 代入可得，解得或. 故选：D. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为__________. 【答案】 【分析】由得是等边三角形，从而得到圆心到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解即可. 【详解】易知圆心即坐标原点，半径为，因为且， 所以为边长为的等边三角形， 所以的高线即圆心到直线的距离为，解得. 故答案为： 题型七、两圆位置关系 （共2小题） 19．（多选）（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【分析】根据两圆存在四条切线，得到两圆外离，的范围，再利用直线与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为1， 由两圆存在四条切线，故两圆外离，则． ，即或，可得或， 圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相离． 故答案为：相离. 21．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 题型八、公共弦过定点 （共3小题） 22．（23-24高三上·重庆南岸·阶段检测）已知圆与圆的公共弦所在直线经过定点P，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程，继而求得，从而得到，由此利用配方法即可得解. 【详解】因为圆，圆， 两圆相减得，两圆的公共弦方程为， 故定点满足，即，故. 又点在直线上，故，即， 所以， 故的取值范围是. 故选：A. 23．（23-24高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦所在直线恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个圆的方程求出公共弦的直线方程，然后利用直线方程求解定点即可. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程. 且，即， 故直线恒过点. 故选：A 24．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______． 【答案】 / / 【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值. 【详解】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 题型九、最短弦应用 （共2小题） 25．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 26．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 27．（2025·浙江台州·一模）当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】过定点， ，圆心为，半径为， 当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短， 其中，故直线的斜率为1，故，解得. 故选：B 题型十、阿波罗尼斯圆 （共2小题） 28．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（     ） A．曲线C的方程为 B．在曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．过点A且被曲线C截得的弦长为的直线有两条 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】AD 【分析】通过设点坐标、由距离之比列方程化简得到圆的方程可判断A；计算定点到圆心的距离与半径之和，判断圆上点到该定点的最大距离是否达到10即可判断B；由弦长求出圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式判断关于斜率的方程是否有解可以判断C；求出圆心到直线的距离，加上半径即为圆上点到直线的最大距离即可判断D． 【详解】对于A，由题意可设点，由，，，得， 化简得，即，故A正确； 对于B，点到圆上的点的最大距离， 故不存在点D符合题意，故B错误； 对于C，当直线斜率存在时，设过的直线为，即， 圆心到直线的距离为 弦长为，圆半径，则 所以 即，无实数解，故不存在这样的直线； 当斜率不存在时，斜率不存在的直线被曲线C截得的弦长为， 故不存在满足条件的直线，所以C错误； 对于D ，C的圆心到直线的距离为， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离， 故D正确． 29．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 30．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 题型十一、圆型“将军饮马” （共2小题） 31．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 32．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 33．（24-25高二下·河北保定·开学考试）“将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则,解得，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立，解得，即饮马点的坐标为． 故答案为：；. 题型十二、动点最短距离 （共3小题） 34．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选：    35．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点P作PB垂直准线l，垂足为点B，    由抛物线的定义可知， 则 ， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，的最小值为5，故C正确． 故选：C． 36．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 【详解】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点， 取，则， ∴， ∴， . 题型十三、切线：入射与反射光线 （共3小题） 37．（25-26高三上·福建·开学考试）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 38．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 39．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合后，由对称性可知即为过点作圆的切线所得的切线长； 【详解】如图所示，有两种情况， 若反射光线与圆相切，分别记切点为， 关于轴的对称点为， ， 易知， 又 又， 即 故选：C 题型十四、切线：切点弦 （共3小题） 40．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 41．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设点，依题意点，在以为直径的圆上，求出该圆的方程，由两圆的方程相减求得两圆公共弦的所在直线方程，整理可得该圆经过定点，由圆的相关性质可得当直线时，原点到直线的距离取得最大值即可. 【详解】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C.    42．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则， 即， 所以，所以点， 将点F的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为. 故选：C 题型十五、切线：切线长最值 （共3小题） 43．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为. 故选：C. 44．（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 45．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，点关于直线的对称点为，可得，，结合图形的性质运算求解即可. 【详解】圆，可知圆心为，半径， 设，，点关于直线的对称点为， 则，， 可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 题型十六、切线：面积最值 （共3小题） 46．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（    ） A．24 B．18 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据切线的性质先计算圆的圆心和半径及圆心到直线距离，要求四边形面积的最小值，只要求出的最小值即可，求得面积即可. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 点到直线的距离， 当时，则， 因为是圆的切线，所以， 故四边形面积的最小值是. 故选：C. 47．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 48．（多选）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项； 对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解； 对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解； 对于D，根据结合选项C即可求解. 【详解】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 题型十七、切线：三角函数型动切线 （共3小题） 49．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点恰有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程. 【详解】圆的方程可变为，半径为2， 如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6，所以， 化简得，其中，， ，则， ，， 所以直线，即. 故选：D. 50．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 故选：B. 51．（2026高三·全国·专题练习）设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误.    题型十八、圆公切线 （共3小题） 52．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果. 【详解】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 53．（多选）（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】ACD 【分析】通过求对称圆的圆心得出对称圆方程判断A；圆心距判断两圆位置关系判断B；根据公切线条数可得两圆的位置关系求解公切线判断C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系判断D. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 选项A： 因为关于点的对称点是，所以圆关于点对称的圆的方程为：，即，故A正确； 选项B： 因为圆心距无解， 所以不存在，使得圆与圆内含，B错误. 选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切，此时， 所以公切线的长为，C正确； 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为， 两式相减得公共弦所在直线方程为， 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2），此时直线过圆心， 代入得，解得. 验证圆心距，满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确. 54．（多选）（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线与圆 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 限定条件求圆方程 题型10 阿波罗尼斯圆 题型2 点与圆 题型11 圆形“将军饮马” （难点） 题型3 内切圆 题型12 动点最短距离 （难点） 题型4 弦长与勾股三角形（重点） 题型13 切线：入射与反射光线 题型5 到直线距离定值的圆上点个数（常考点） 题型14 切线：切点弦 题型6 弦心角 题型15 切线：切线长最值（常考点） 题型7 两圆位置关系（重点） 题型16 切线：面积最值 题型8 公共弦过定点 题型17 切线：三角函数型动切线 （难点） 题型9 最短弦应用 题型18 圆公切线 题型一、限定条件求圆方程 （共3小题） 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A． B． C． D． 题型二、点与圆 （共3小题） 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三、内切圆 （共3小题） 7．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 8．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，A是锐角，的外接圆半径为，内切圆半径为r，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若是直角三角形，则 D．的取值范围是 题型四、弦长与勾股三角形 （共2小题） 10．（多选）（2026·福建漳州·模拟预测）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 11．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 12．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点.若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为_____. 题型五、到直线距离为定值的圆上的点个数 （共3小题） 13．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 14．（25-26高二上·河北·期中）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（   ） A． B． C．或 D．不存在 15．（25-26高三上·陕西商洛·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．4 D． 题型六、弦心角 （共3小题） 16．（2026·湖南·三模）直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知直线与圆相交于两点，且，其中为坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为__________. 题型七、两圆位置关系 （共2小题） 19．（多选）（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 20．（2026高三·全国·专题练习）已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是________． 21．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型八、公共弦过定点 （共3小题） 22．（23-24高三上·重庆南岸·阶段检测）已知圆与圆的公共弦所在直线经过定点P，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦所在直线恒过点（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______． 题型九、最短弦应用 （共2小题） 25．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 27．（2025·浙江台州·一模）当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型十、阿波罗尼斯圆 （共2小题） 28．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（     ） A．曲线C的方程为 B．在曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．过点A且被曲线C截得的弦长为的直线有两条 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 29．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 30．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 题型十一、圆型“将军饮马” （共2小题） 31．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 33．（24-25高二下·河北保定·开学考试）“将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 题型十二、动点最短距离 （共3小题） 34．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型十三、切线：入射与反射光线 （共3小题） 37．（25-26高三上·福建·开学考试）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 38．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 39．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（    ） A． B． C． D． 题型十四、切线：切点弦 （共3小题） 40．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 42．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十五、切线：切线长最值 （共3小题） 43．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 44．（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十六、切线：面积最值 （共3小题） 46．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（    ） A．24 B．18 C．12 D．8 47．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．（多选）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 题型十七、切线：三角函数型动切线 （共3小题） 49．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点恰有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 50．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 51．（2026高三·全国·专题练习）设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 题型十八、圆公切线 （共3小题） 52．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 53．（多选）（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 54．（多选）（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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