2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中测试卷

云南省高二数学上学期期中测试（人教A版选择性必修第一册第一至三章）（原卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________ 得分：____________ 注意事项 　1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在试卷规定的位置上。 　2．回答选择题时，选出每小题答案后，将答案填写在题号后的括号内；填空题将答案填写在题号后的横线上。 　3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．若双曲线 （）的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 6．直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 7．设椭圆 （）的左焦点为 ，上顶点为 。若直线 的倾斜角为 ，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对且无错选的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知 ，，，。下列结论正确的是（　　） A． B． C．向量 是平面 的一个法向量 D．点 到平面 的距离为 10．已知圆 ：。下列结论正确的是（　　） A．圆 关于直线 对称的圆方程为 B．直线 与圆 相交 C．点 在圆 上，且该点处切线方程为 D．圆 上的点到直线 的最大距离为 11．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上一点。下列结论正确的是（　　） A． B．满足 的点 有 个 C． 面积的最大值为 D．椭圆 的离心率为 三、填空题 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知空间向量 ，。若 ，则 ________。 13．过点 向圆 引切线，则切线长为________。 14．已知双曲线 （）的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为________。 四、解答题 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点。 （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离。 16．（15分）已知圆 ：，点 。 （1）求过点 且与圆 相切的直线方程； （2）若直线 ： 与圆 交于 两点，且 ，求 的值。 17．（15分）如图，在直三棱柱 中，，，棱 ， 为 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 18．（17分）已知双曲线 过点 ，且离心率为 。 （1）求双曲线 的标准方程； （2）设直线 过双曲线 的右焦点 且斜率为 ，与双曲线交于 两点，求 。 19．（17分）滇池某水域观测站测得一近似椭圆形水域，边界可近似为椭圆 ：（单位：千米）。直线 与椭圆 交于 两点，且 （ 为坐标原点）。 （1）证明：原点 到直线 的距离为定值； （2）求 面积的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省高二数学上学期期中测试（人教A版选择性必修第一册第一至三章）（答案及解析） 一、单项选择题 第 1 题 【答案】A 【考点】空间向量数量积的坐标运算 ，故选 A。 第 2 题 【答案】A 【考点】两直线平行与直线方程 已知直线斜率为 ，所求直线与之平行，斜率相同。 由点斜式 ，整理得 ，故选 A。 第 3 题 【答案】A 【考点】圆的一般方程化标准方程 配方：，即 。 圆心为 ，半径 ，故选 A。 第 4 题 【答案】A 【考点】椭圆的焦点坐标 ，，，焦点在 轴上， 焦点为 ，故选 A。 第 5 题 【答案】A 【考点】双曲线的渐近线与离心率 ，故 ，，。 渐近线方程为 ，故选 A。 第 6 题 【答案】A 【考点】直线被圆截得的弦长 圆心 到直线 的距离 。 故选 A。 【易错点】弦长公式为 ，勿漏前面的系数 2。 第 7 题 【答案】A 【考点】椭圆的离心率【改编】 ，，直线 的斜率 ，故 。 ，，故选 A。 第 8 题 【答案】A 【考点】异面直线所成角（坐标法） 以 为原点建系：，，，。 故选 A。 二、多项选择题 第 9 题 【答案】AC 【考点】空间向量的坐标运算 A 对：； B 错：； C 对：，， ； D 错：平面 方程为 ，。故选 AC。 第 10 题 【答案】ACD 【考点】圆的对称性、位置关系、切线【改编】 圆心 ，。 A 对： 关于 的对称点为 ，对称圆方程为 ； B 错：圆心到 的距离 ，直线与圆相切而非相交； C 对：，点在圆上；半径 水平，切线竖直 ； D 对：圆心到 的距离 ，圆上点到直线最大距离为 。故选 ACD。 【易错点】直线与圆相切时距离等于半径，不能称为"相交"。 第 11 题 【答案】ACD 【考点】椭圆的几何性质 ，，。 A 对：； B 错：上顶点处 为最大值，不存在 的点 ； C 对：面积最大值 ； D 对：。故选 ACD。 三、填空题 第 12 题 【答案】 【考点】空间向量共线的坐标条件 由 得 ， 故 ，，。 第 13 题 【答案】 【考点】圆的切线长 圆心 ，。。 第 14 题 【答案】 【考点】双曲线的离心率【改编】 直线 的斜率为 ，与之垂直的渐近线斜率为 ，即 。 四、解答题 第 15 题 【答案】（1）；（2） 【考点】建系求异面直线所成角、点到平面的距离 【解析】 （1） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系： ，，，，，。 （2） 平面 由 ， 确定， 法向量 。 【评分参考】（1）建系 4 分，数量积与模长 2 分，余弦值 1 分，共 7 分； （2）法向量 3 分，点面距公式 2 分，计算 1 分，共 6 分。 【易错点】异面直线所成角取锐角，数量积取绝对值。 第 16 题 【答案】（1）；（2） 或 【考点】圆的切线方程、弦长问题 【解析】 （1） 圆心 ，。设切线 ，即 。 化简得 ，，。 切线方程为 。 （2） 直线 到圆心的距离 。 解得 ， 或 。 【评分参考】（1）设切线方程 3 分，距离公式 2 分，解出 2 分，共 7 分； （2）距离公式 3 分，弦长方程 3 分，结论 2 分，共 8 分。 【易错点】切线问题不要漏掉斜率不存在的情况，本题验证 不是切线。 第 17 题 【答案】（1）见解析；（2） 【考点】线面垂直的判定、异面直线所成角【改编】 【解析】 （1） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系： ，，，，，。 ，，。 ，， 故 且 ，从而 平面 。 （2） 【评分参考】（1）建系与坐标 3 分，点积为零 3 分，结论 2 分，共 8 分； （2）向量坐标 2 分，数量积 2 分，余弦值 3 分，共 7 分。 【易错点】等腰直角三角形斜边中点与直角顶点连线垂直于斜边。 第 18 题 【答案】（1）；（2） 【考点】双曲线标准方程、弦长公式【改编】 【解析】 （1） 由 得 ，。 双曲线过 ：，即 ，，。 （2） ，右焦点 ，直线 ：。 代入双曲线：，整理得 。 【评分参考】（1）由离心率设参 2 分，代入点求 2 分，结论 1 分，共 5 分； （2）联立方程 4 分，韦达定理 3 分，弦长公式 5 分，共 12 分。 【易错点】弦长公式 ，勿漏 。 第 19 题 【答案】（1）见解析（）；（2） 【考点】椭圆中垂直条件、点线距定值、面积最值 【解析】 （1） 设直线 ：，，。 代入椭圆 ：。 由 得 ，即 。 代入化简得 。 （2） 面积 。 令 ，化简得 。 当 （即 ）时， 取最大值 ，故 。 【评分参考】（1）联立方程 3 分，韦达定理 2 分，垂直条件代入 2 分，定值结论 1 分，共 8 分； （2）弦长表达式 3 分，换元 3 分，最值结论 3 分，共 9 分。 【易错点】需讨论直线斜率不存在的情况（： 时结论仍成立）。 附：双向细目表 题型 题号 分值 考查内容 难度 来源 单选题 1 5 空间向量数量积坐标运算 易 改编 单选题 2 5 两直线平行与直线方程 易 改编 单选题 3 5 圆的一般方程化标准方程 易 改编 单选题 4 5 椭圆焦点坐标 易 改编 单选题 5 5 双曲线渐近线与离心率 中 改编 单选题 6 5 直线被圆截得的弦长 中 改编 单选题 7 5 椭圆离心率（倾斜角条件） 中 改编 单选题 8 5 异面直线所成角（正方体） 中 改编 多选题 9 6 空间向量坐标运算综合 中 改编 多选题 10 6 圆的对称、切线、距离综合 中 改编 多选题 11 6 椭圆几何性质综合 中 改编 填空题 12 5 空间向量共线条件 易 改编 填空题 13 5 圆的切线长 易 改编 填空题 14 5 双曲线离心率（垂直条件） 中 改编 解答题 15 13 异面直线角与点面距（正方体） 中 改编 解答题 16 15 圆的切线与弦长 中 改编 解答题 17 15 线面垂直证明与异面直线角 中 改编 解答题 18 17 双曲线标准方程与弦长 较难 改编 解答题 19 17 椭圆垂直条件下距离定值与面积最值（滇池情境） 难 原创 学科网（北京）股份有限公司 $