30.2 三角形的内切圆 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章直线与圆的位置关系 30.2三角形的内切圆 课时目标 理解三角形内切圆与内心的概念，掌握内心的性质并能辨析内心与外心。 2. 掌握作三角形内切圆的方法，会利用半径与面积的关系计算内切圆半径。 3. 能综合运用切线长定理和内心的性质进行线段与角度的计算。 课时目录 知识点01：三角形的内切圆与内心的概念 知识点02：内心的性质（三条角平分线的交点，到三边距离相等) 知识点03：内心与外心的区别与联系 知识点04：作三角形的内切圆 知识点05：三角形内切圆半径与面积的关系 知识点06：直角三角形内切圆半径的计算 知识点07：与内心有关的角度计算 知识点01：三角形的内切圆与内心的概念 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 1/15 这个三角形叫做圆的外切三角形。 任何三角形都有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内部。 注意区分：内切圆与各边相切（切于三边），外接圆经过三个项点。 A 1.(25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测)如图，点O为△ABC外接圆的圆心，点I为△ABC的内心，连 接B0,CI,若∠BCI=38°，则∠OBA的度数为 2.(25-26九年级上山东济宁阶段检测)如图，I是△ABC的内心，∠ABC=71°，∠ACB=53°，则 ∠BIC=°. 3.(25-26九年级下·江苏无锡期中)如图，已知△ABC内接于⊙O,且AB是⊙O的直径. B (1)实践与操作： 尺规作图：作出△ABC的内心I；(不写作法，保留作图痕迹) (2)推理与计算： 2/15 连接CI并延长，与⊙O交于另一点D.若AC=8，,BC=6,则CD的长为 DI的长为 4.(25-26九年级上·江苏扬州期末)如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶 点叫做格点，A,B,C为三个格点.仅用无刻度直尺在网格中完成作图.（保留作图痕迹） 图① 图② (1)在图①中，画出△ABC的外心O,则⊙O的半径为： ②)在图②中，画出△ABC的内心P,则⊙P的半径为 知识点02：内心的性质（三条鱼平分线的交点到三边距离相等） 内心是三角形三条角平分线的交点。 内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r。 性质的应用：由“内心在某角平分线上”可求角度；由“到三边距离相等”可作垂线构造 全等三角形。 易错提醒：内心到三边距离相等，但到三个顶点的距离一般不相等。 A B 5.(26-27九年级上：江苏宿迁阶段检测)如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上 3/15 的点，且DE为OO的切线，若△ABC的周长为27，BC的长是10，则△ADE的周长是一 D 6.(26-27九年级上·浙江宁波阶段检测)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠A=56°，则∠B0C= B 7.(25-26九年级上·宁夏吴忠期末)如图所示，△ABC的内切圆⊙0与AB、BC、AC分别相切于点 D、E、F,若LDEF=55°，则∠A的度数是 D 8.(2026江苏南京三模)O0是△ABC的内切圆，与AB,BC边分别相切于点M,N,AB=5,BC=3,AC=4, 若点P在OO内部（含边界）且满足∠PWM≤∠PMN,则所有点P组成的区域的面积为 知识点03：内心与外心的区别与联系 4/15 外心是三角形三边垂直平分线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等。 内心是三条角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边距离相等。 外心可在三角形内、上（直角三角形斜边中点)、外；内心一定在三角形内部。 等边三角形中内心、外心、重心、垂心四心合一。 9.(2026浙江·模拟预测)如图示例，已知一等腰三角形钢板△ABC的底边BC长为60cm.为了保护该钢 板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为31.25Cm.设△ABC的内心为I, AE 5.5 底边上的高为4AD·有下列三个推断：①若A4BC的平分线交AC边于点E,则CE的值可能为6或8： AI 55 250375 ②内心I将高线4D分成的两段比例D的值可能为3或4：③线段E的长度可能为11cm或26cm”： 其中，正确推断的个数是（) B A.0 B.1 C.2 D.3 10.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接 OB、LA.若∠CAI=40°，则∠OBC的度数为 11.(25-26九年级上·湖北武汉：阶段检测)已知O,I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=148°，则 ∠BIC的大小是 12.(26-27九年级上山东日照阶段检测)如图，在三角形ABC中，O是外心，I是内心. 5/15 1)若∠A=80°，求∠I的度数；求∠0的度数 (2)求∠I与∠0的关系。 知识点04：作三鱼形的内切圆 作法：作三角形任意两个内角的平分线，交于一点I,I即为内心。 过I作一边的垂线，垂足为D,则D为内切圆半径。 以I为圆心、D为半径作圆，即得三角形的内切圆。 原理：角平分线上的点到角两边距离相等，故I到三边距离都等于D。 只需作两条角平分线即可确定内心，第三条必过同一点。 13.(24-25九年级上·江苏徐州阶段检测)如图，请用尺规作图法求作三角形的外接圆⊙0和内切圆⊙E (保留作图痕迹，不写作法) 14.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，已知△ABC 6/15 (I)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆： (2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径. 15.(2025江苏宿迁·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (I)尺规作图：作Rt△ABC的内切圆⊙O,并分别标出⊙O和AB、BC、CA相切的切点D,E,F;(要 求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明) (2)连接OE、OF,四边形OECF是正方形吗？为什么？ 3)若AD=6,BD=4,求⊙0的半径r的长 16.(24-25九年级上：广西河池期末)如图，△ABC中，AB=9,AC=13,BC=14. B (I)请画出△ABC的内切圆⊙O,与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F(尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹)· (②)求AF,BD,CE的长 知识点05：三鱼形内切圆半径当面积的送系 S=-×(a+b+c)r 公式：$=2 ，即三角形面积等于周长的一半乘以内切圆半径，也可写成 7/15 S=pr(p为半周长)。 推导：连接内心与三个顶点，把三角形分成三个以边为底、r为高的小三角形，面积相加 即得。 2S r=- 应用：已知三边和面积可求a+b+C;己知r和周长可求面积。 常与切线长定理结合，用于求三角形各边被切点分成的两段长度。 17.(25-26九年级上·安徽六安期末)如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙0为△ABC的内切圆，且半 径为6，若△MBC SN6,则BC的长为() ,18W6 面积为 B A.10 B.8V2 C.92 D.13 18.(25-26九年级上·湖北武汉期末)如图是一张四边形纸片ABCD，已知 AB=BC=3dm,AD=CD=6dm,∠A=∠C=90° ,要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的 半径的最大值是() A.1dm B.2dm C.√3dm dm D.5 19.(26-27九年级上：江苏泰州期中)如图，⊙0是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=1, BC=5,则△ABC的周长为一. 8/15 B 20.(25-26九年级上江苏扬州期末)已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外 心之间的距离是 知识点06：直鱼三鱼形纳切圆半径的计篁 a+b-c r= 设直角三角形两直角边为α、b,斜边为c,则内切圆半径 2。 推导方法一：由切线长定理，斜边被切点分成(a一)与（仍一）两段，故(a一)十（仍-r)=c, a+b-c r= 解得 2 1 推导方法二：由3=2b=a+b+c)r 2 同样解得。 两个公式都可直接使用，已知两边时先用勾股定理求第三边。 21.(24-25九年级下·安徽池州开学考试)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表 作之一.如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的 圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为() A.1步 B.2步 C.3步 D.2.5步 22.(25-26八年级上湖南衡阳期末)若abC是直角三角形ABC的三边长，且 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,△ABC ,则 三条角平分线的交点到一条边的距离为 23.(2026·上海静安·三模)探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系.请你对下面这个图形展开了综 合性研究，己知直角三角形ABC,∠ABC=90°，AB=5,BC=12,在BC边上有一点H. 9/15 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键. 在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律 (I)小张同学发现，点B在以AC为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长 等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长 的一半.”的 一，这个结论成立是 一.() A.逆命题，必然事件 B.逆命题，不可能事件 C.同义命题，必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形() A.内角平分线的交点B.中线的交点 C.各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据。 B)当△ABH和△ACH的内切圆半径相等时，求：BH的长： 4)下列说法正确的是()（多选题） A,点H可能在△ABH和△ACH的内切圆上 B.△ABH和△ACH的内切圆可能相切 C.△ABH和△ACH的内切圆的圆心距可能为6 D.除直线AH外，同时与△ABH和△ACH的内切圆相切的直线最多有3条 24.(25-26八年级上·上海期末)已知在RtAABC中，∠ABC=90°，BD是边AC上的中线.点P在射线 BD上（点P不与点B重合），连接CP D 图1 图2 (I)如图1，当点P在BD延长线上时，如果∠BDC=2∠BCP,求证：△BPC是直角三角形： (2)当AB=6时，如图2，如果点P是△ABC的内心，求△BPC的面积. 知识点07：与内心有送的角度计算 10/15 1 核心结论：I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+2∠A。 1 1 推导：∠BC+∠ICB=2(∠B+∠C=2(180°-∠A),故∠BIC=180°-2(180°-∠A)= 1 90°+2∠A。 易错对比：外心O满足∠BOC=24A(同弧圆心角)，两公式不要混淆。 应用：己知一角求内心处两线夹角，或反向由夹角求三角形的角。 B 25.(2026江苏南通三模)如图，菱形ABCD中∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点O,△AOB的 内心I与点O的距离为V2,则菱形ABCD的面积为() D 0 C B A.12 B.8V3+12 C.6v3 D 2W3+3 AD 26. (2026江苏泰州：二模)如图，△ABC内接于⊙0，CD1AB于D点，若0为ABCD的内心，则BD- ●0 O B 27.(2026宁夏银川三模)如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙I是△ABC的内切圆，半径为3，连接A, 11/15 IC,过点I任意作一条直线交AB边于点H,交BC边于点G,图中阴影部分的面积和为 B 28.(2026陕西西安·模拟预测)提出问题以及解决问题： D B B B 图1 图2 备用图 (1)问题提出 如图1，在直角△ABC中，∠A=30°，⊙0是△ABC的内切圆，若⊙0的半径是1，则△ABC的斜边长 为- (②)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石BDFE进行切割设计.顾 客首先需要切出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计.由于该原石成色最好的部分在∠B附近区域， 所以玉镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF和DF的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不 能经过DF边和E℉边.根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进 行后期精细化打磨.为了最大限度地利用该石材，切割出的△ABC(点A在BD上，点C在BE上)， 应使得AC尽可能短，同时△ABC的周长和面积尽可能的小.经过测量，∠B=60°，BE=156mm, BD=175mm.根据顾客的需求，手镯的内圈直径为56mm,外圈直径为70mm,即小圆⊙0的直径为 56mm,大圆⊙0的直径为70mm 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A和点C使得覆盖大圆⊙O的△ABC周长 取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△ABC的周长及面积：若不存在，请说明理由. 12/15 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上·宁夏吴忠期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 2.(2026湖南长沙模拟预测)如图，点I为△ABC的内心，AB=6,AC=5,BC=4,将∠ACB平移使 其项点与I重合，则图中阴影部分的周长为() A.3 B.4 c.5 D.6 3.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相 交于点D,连接BD、BE、CE,若∠CBD=33°，则∠BEC的大小为() A B D A.64° B.120° C.123° D.132° 4.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，在△ABC中，AB+AC=3BC,AD⊥BC于D,⊙0为 △ABC ⊙0 的内切圆，设O的半径为R,AD的长为h,则R:h的值为(） R:h 0 D 13/15 A.3:8 B.2:7 C.1:4 D.1:2 二、填空题 5.(25-26九年级上山西太原阶段检测)如图，点0为△ABC的内心，∠A=60°，则∠B0C的度数是 6.(2026河北邢台模拟预测)如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=50°，点D是AB边上一点（不与点 A,B重合)，点I是△BCD的内心，则∠CID= D 7。(2026广西柳州二模)如图，在平面直角坠标系中，点1(0,9)，点B(2,0),点1是△01B的内心， 则点I关于y轴对称的点的坐标是」 B 8.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F是边BC,CD上两点，且 BE=CF,AE与BF相交于点G,点O是△ABG的内心，则CO的最小值为一 14/15 D ●】 G 三、解答题 9.(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)如图，点A,B,D在⊙O上，BD是直径，点I是△ABD的内 心，连接A,并延长交OO于点C,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E, B 0 D (I)求证：CE是OO的切线： 4 ②)若BE=210,CE=3OB,求图中阴影部分的面积 10.(26-27九年级上山东日照阶段检测)如图，点E是三角形ABC的内心，AE的延长线和三角形 ABC的外接圆交于点D. E D G (I)求证：DE=DC. (2)过点D作BC的平行线DG,证明DG是△ABC外接圆OO的切线. 15/15 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 ▌课时目标 1. 理解三角形内切圆与内心的概念，掌握内心的性质并能辨析内心与外心。 2. 掌握作三角形内切圆的方法，会利用半径与面积的关系计算内切圆半径。 3. 能综合运用切线长定理和内心的性质进行线段与角度的计算。 ▌课时目录 知识点01：三角形的内切圆与内心的概念 知识点02：内心的性质（三条角平分线的交点，到三边距离相等） 知识点03：内心与外心的区别与联系 知识点04：作三角形的内切圆 知识点05：三角形内切圆半径与面积的关系 知识点06：直角三角形内切圆半径的计算 知识点07：与内心有关的角度计算 ▌知识点01：三角形的内切圆与内心的概念 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 任何三角形都有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内部。 注意区分：内切圆与各边相切（切于三边），外接圆经过三个顶点。 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为___________°． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点． 由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 点为的内心， 平分， ， ， 点为外接圆的圆心， ， ， ． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，I是的内心，，，则_______． 【答案】118 【分析】本题考查三角形的内心，角平分线的性质，三角形内角和定理的应用,掌握知识点是解题的关键． 根据内心的性质得到平分，平分，则，，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数即可． 【详解】解：∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴． 故答案为118． 3．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知内接于⊙，且是⊙的直径． (1)实践与操作： 尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若，，则的长为________，的长为________． 【答案】(1) 如图1，点I为所求， (2)， 【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可； （2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，作于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据角的等量代换得，即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接，，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图中，画出的外心O，则的半径为______； (2)在图中，画出的内心P，则的半径为______． 【答案】(1)如图，点O为的外心； (2)如图，点P即为所求，1 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求；运用勾股定理求出，从而可求出的半径； （2）取格点E，F，作射线，交于点P，点P即为所求，运用面积关系可求出的半径． 【详解】（1）解：∵， ∴的半径； 故答案为：； （2）解：设的半径为r，则：， ∴， 解得：， ∴的半径为1， 故答案为：1． ▌知识点02：内心的性质（三条角平分线的交点，到三边距离相等） 内心是三角形三条角平分线的交点。 内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r。 性质的应用：由“内心在某角平分线上”可求角度；由“到三边距离相等”可作垂线构造全等三角形。 易错提醒：内心到三边距离相等，但到三个顶点的距离一般不相等。 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 6．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的内切圆，，则________． 【答案】 【分析】根据内切圆结合角平分线的判定得到平分，平分，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设内切圆的切点分别为、、，连接、、， ∵是的内切圆， ∴，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由题意易得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，然后根据内心的性质可得的半径，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． ▌知识点03：内心与外心的区别与联系 外心是三角形三边垂直平分线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等。 内心是三条角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边距离相等。 外心可在三角形内、上（直角三角形斜边中点）、外；内心一定在三角形内部。 等边三角形中内心、外心、重心、垂心四心合一。 9．（2026·浙江·模拟预测）如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 12．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心． (1)若，求的度数；求的度数． (2)求与的关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系． 【详解】（1）解∶为的内心， ，． ， ． ，即， ． 点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． （2）解： 是的内心， 平分，平分． ． 在中，由三角形内角和定理： 在中，， ∴ 是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍． ∴，即， ∴． ▌知识点04：作三角形的内切圆 作法：作三角形任意两个内角的平分线，交于一点I，I即为内心。 过I作一边的垂线，垂足为D，则ID为内切圆半径。 以I为圆心、ID为半径作圆，即得三角形的内切圆。 原理：角平分线上的点到角两边距离相等，故I到三边距离都等于ID。 只需作两条角平分线即可确定内心，第三条必过同一点。 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，请用尺规作图法求作三角形的外接圆和内切圆．（保留作图痕迹，不写作法）      【答案】 解：如图所示，即为三角形的外接圆， 如图所示，即为三角形外切圆， 【分析】分别作三角形两条边的垂直平分线相交于点O，连接点O和三角形顶点A，以点O为圆心，为半径作圆，则即为所求，分别作三角形两个内角的角平分线相交于点E，作三角形一条边的垂线段，以点E为圆心，为半径作圆，则即为所求． 【详解】略 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆； （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 15．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1) 如图所示，为所求： (2) 四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (3)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 16．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，中，，，． (1)请画出的内切圆，与，，分别相切于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求，，的长． 【答案】(1) 如图即为所求： (2)，， 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， （1）作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； （2）根据切线长定理得，再结合，，，可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵的内切圆与，，分别相切与点D，E，F， ； ， ， ， 解得：， ， ． ▌知识点05：三角形内切圆半径与面积的关系 公式：S＝，即三角形面积等于周长的一半乘以内切圆半径，也可写成（p为半周长）。 推导：连接内心与三个顶点，把三角形分成三个以边为底、r为高的小三角形，面积相加即得。 应用：已知三边和面积可求；已知r和周长可求面积。 常与切线长定理结合，用于求三角形各边被切点分成的两段长度。 17．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 19．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． ▌知识点06：直角三角形内切圆半径的计算 设直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则内切圆半径。 推导方法一：由切线长定理，斜边被切点分成(a－r)与(b－r)两段，故(a－r)＋(b－r)＝c，解得。 推导方法二：由，同样解得。 两个公式都可直接使用，已知两边时先用勾股定理求第三边。 21．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（    ） A．1步 B．2步 C．3步 D．2.5步 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 如图，，，，为的内切圆，分别与三边切于点，连接，，设半径为，根据切线的性质，，证明矩形是正方形，得到，所以，求出的值，从而得到的半径． 【详解】解：如图，，，， 为的内切圆，分别与三边切于，连接，， 设半径为， 与相切， ， 四边形为矩形，而， 矩形为正方形， ， ，， ，， ，， ， ， 解得， 的半径为2步， 故选： B． 22．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）若是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质与配方法的综合应用，解题的关键是通过配方法将原式转化为平方和为的形式，从而求出三边长，再利用直角三角形内切圆半径公式求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，，， 直角三角形的直角边为和，斜边为， 角平分线的交点到一条边的距离即为的内切圆半径：． 故答案为：． 23．（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】(1)A (2)A (3) (4) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键． （1）根据圆的性质得到相关结论． （2）根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心． （3）利用三角形的内切圆半径公式分别表示出 和 的内切圆半径，进而求解 的长． （4）根据三角形内切圆的性质求解． 【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． （2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． （3）已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ， 设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． （4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确． 对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 24．（25-26八年级上·上海·期末）已知在中，，是边上的中线．点P在射线上（点P不与点B重合），连接． (1)如图1，当点P在延长线上时，如果，求证：是直角三角形； (2)当时，如图2，如果点P是的内心，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 即是直角三角形． (2)； 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线及等腰三角形的性质得出相关角度的表达式，再由已知条件证得，即可得证； （2）过点P作，由三角形中线可得，再由三角形内心的性质得出，利用勾股定理求得的长度，证明出，利用等腰直角三角形的性质得出，进而求得结果； 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点P作， ∵，是边上的中线， ∴， 又∵点P在中线上，且是的内心， ∴点P到，，三边的距离相等， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴(直角三角形全等的判定定理)， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ▌知识点07：与内心有关的角度计算 核心结论：I为△ABC的内心，则∠BIC＝90°＋∠A。 推导：∠IBC＋∠ICB＝(∠B＋∠C)＝(180°－∠A)，故∠BIC＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A。 易错对比：外心O满足∠BOC＝2∠A（同弧圆心角），两公式不要混淆。 应用：已知一角求内心处两线夹角，或反向由夹角求三角形的角。 25．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 26．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，，是的内切圆，半径为，连接，，过点任意作一条直线交边于点，交边于点，图中阴影部分的面积和为________． 【答案】 【分析】根据三角形内切圆的性质得出、分别平分、，根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，则，然后根据阴影部分可以拼接成圆心角为，半径为3的扇形求解即可. 【详解】解：是的内切圆， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和为. 28．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为_． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解； （2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可． 【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则， ， 设，则，， 由内切圆可得，， ，， ， ， 解得， ，即斜边长为， 故答案为：； （2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接， 大的直径为， ， ， ，， ， ，， ， 要使的周长最小，则求最小值即可， 如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即当时，有最小值， 此时， 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模型的掌握是解题的关键． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 点是的内心， 平分， ， ， 平分，平分， ， ． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 二、填空题 5．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 7．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F是边，上两点，且，与相交于点G，点O是的内心，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先证明，从而得出，进而证得；然后根据三角形内心的性质求出，确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧；接着确定该圆弧所在圆的圆心位置和半径，最后利用点与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴ ， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 设该圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则， ∵， ∴在中，，即， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， ∵， 且点在正方形内部（即右侧）， ∴圆心在的左侧，且到的距离等于的一半， ∴，连接，交圆于点，此时即为的最小值， ∴， ∴ ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【详解】（1）略 （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $