3.3 函数的应用（一） 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.3 函数的应用（一）　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 常见函数模型、数学建模与审题建模求模还原四步 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 了解函数模型的概念，知道一次函数、二次函数、分段函数、对勾函数是实际中最常见的几类函数模型； ② 了解数学建模的基本过程，掌握解决函数应用问题的四个步骤：审题、建模、求模、还原； ③ 会用待定系数法确定一次函数、二次函数模型中的参数； ④ 能运用二次函数求实际问题中的最值，并注意自变量的取值范围； ⑤ 会建立分段函数模型，解决阶梯水价一类的实际问题； ⑥ 会用均值不等式求对勾型函数的最小值，解决平均成本一类的实际问题。 重点 二次函数模型与分段函数模型的建立和求解；实际问题中自变量取值范围的确定。 难点 把实际问题抽象为函数模型，特别是选择哪一种模型；把求得的数学结果还原为实际问题的答案。 二、情境引入：三种投资方案 某人准备做一项为期 30 天的短期投资，有三种方案可供选择：方案一每天固定回报 40 元；方案二第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。 三个方案 30 天的总回报相差有多大？先算一算： 算一算： 方案一：每天 40 元，30 天共 （元）； 方案二：第 n 天回报 元，30 天共 （元）； 方案三：第 n 天回报 元，30 天共 （元），约 4.29 亿元。 同样的 30 天，总回报相差如此悬殊，原因在于每天的回报随天数变化的规律不同：方案一的日回报是常数；方案二的日回报可以看成天数的一次函数（每天等量增加）；方案三的日回报每天乘 2，越到后面增长得越快。要描述、比较和预测这样的变化，就要选择合适的函数模型，建立模型并求解——这正是本节的任务。 三、常见函数模型 实际问题的数量关系，常常可以归结为几类最常见的函数。先把这几类函数模型集中梳理如下： 函数模型 解析式 主要特征 典型应用 一次函数模型 （） 图象是直线；两个量均匀变化 匀速运动、线性预测 二次函数模型 （） 图象是抛物线；有最值 面积、利润、用料优化 对勾函数模型 （） x>0 时有最小值 平均成本、容器用料 分段函数模型 定义域分若干段，每段各有一个解析式 各段不同，整体是一个函数 阶梯电价、阶梯水价 图 1　本节知识地图：常见函数模型、数学建模四环节、解题四步与易错警示 四、数学建模与解题步骤 把实际问题转化为函数问题、再通过解决问题获得实际答案的过程，称为数学建模。教材把数学建模的过程概括为四个环节： 数学建模的四个环节： ① 发现问题、提出问题——从实际情境中提炼出可以研究的数量关系； ② 分析问题、建立模型——抓住主要因素，忽略次要因素，把实际问题数学化，建立函数模型； ③ 确定参数、计算求解——利用已知数据确定模型中的参数，进行数学计算； ④ 验证结果、改进模型——把计算结果放回实际情境中检验，必要时修正模型。 对应到解题书写上，解决函数应用问题通常分四个步骤：审题、建模、求模、还原。 解题四步： 审题：读懂题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系，设定自变量和因变量，并写出它们的实际意义与单位； 建模：根据数量关系的特点选择函数类型，用已知数据求出解析式，得到函数模型； 求模：运用函数的性质（如最值）或解方程、解不等式，得到数学结论； 还原：把数学结论翻译成实际问题的答案，并联系实际意义检验是否合理。 四个步骤中，「建模」是核心，「还原」最容易被忽略——求出的数学结果必须回到实际情境中检验：是否符合实际意义，是否落在自变量的取值范围内。 五、一次函数模型：由数据估计未来 图 2　一次函数模型：由我国城镇人口数据估计未来 如图 2，1978 年、2013 年的城镇人口对应坐标系中的两个点，每年的增加量都相等，因此可以选用一次函数模型。当两个量的变化大致均匀时（平均变化率为常数），可以选择一次函数模型。模型中有两个待定系数，通常需要两组对应值，用待定系数法确定。 例 1（教材例 2）　由数据估计未来：我国城镇人口 据统计，1978 年我国城镇人口约为 1.7 亿，2013 年约为 7.3 亿。设 1978 年为第 0 年，1978 年以后第 t 年的城镇人口为 y 亿。 (1) 建立 y 关于 t 的一次函数模型； (2) 用这个模型预测 2017 年的城镇人口（该年实际约为 7.94 亿，可用来检验模型）。 解：(1) 设 （）。由 t=0 时 y=1.7，得 b=1.7；由 t=35 时 y=7.3，得 ，所以 。因此 。其中 t 取非负整数，且根据实际背景 t<40。 (2) 2017 年对应 t=39，（亿），与实际数据一致，说明这个模型是可靠的。 待定系数法求一次函数模型： ① 设出解析式 （）； ② 把两组已知的对应值分别代入，得到关于 k、b 的两个方程； ③ 解方程组求出 k、b，写出解析式； ④ 根据实际背景写出自变量的取值范围（如 t 为整数、非负、有上限等）。 练一练：一根弹簧在弹性范围内，所挂物体质量 x（kg）与弹簧长度 y（cm）的关系可以看成一次函数。不挂物体时弹簧长 12 cm，挂 3 kg 物体时弹簧长 21 cm。求 y 关于 x 的解析式，并求挂 5 kg 物体时弹簧的长度。 答案：设 ，由 (0,12)、(3,21) 得 ，，所以 ；挂 5 kg 时 （cm）。 模型来之不易，检验不可省略：把用模型得到的结果与实际情况对照，偏差在可以接受的范围内，模型才可以使用；偏差较大时，要分析原因、改进模型。 六、二次函数模型：定价、用料与面积 图 3　二次函数模型：农家客房定价与日总收入 如图 3，客房定价提高时，日总收入先增后减，图象是一条抛物线。面积、利润、用料一类问题中，两个量往往一个增加、一个减少，设出自变量后常得到二次函数。二次函数有最值，正好回答「最多」「最少」一类问题。 例 2（教材例 3）　客房定价与日总收入 一家宾馆有客房 160 间。当每间每日定价为 200 元时，每天可全部入住。市场调查表明：定价每提高 20 元，每天入住的客房数减少 10 间。不考虑其它因素，每间每日定价为多少时，日总收入最高？最高日总收入是多少？ 解：设定价在 200 元的基础上提高 x 个 20 元，则每间每日定价为 元，每天入住 间。由 ，得 。 日总收入 ，化简并配方： 。 二次项系数为负，函数在 处取得最大值，且 x=3 在取值范围 内。所以每间每日定价为 （元）时，日总收入最高，最高日总收入为 33800 元。 例 3（教材例 4）　围墙围矩形：何时面积最大 用长为 l 的篱笆围成一个矩形场地（不靠墙），怎样围能使面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形的长和宽分别为 a、b，则 ，面积 。 由均值不等式（2.2.4 已学：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值），，即 ，当且仅当 a=b 时取等号。 所以当矩形为正方形（长、宽都为 ）时面积最大，最大面积为 。 二次函数模型求最值的要点： ① 设自变量时写清它的实际意义与单位； ② 按「一边增、一边减」列出解析式，化为 的形式，并配方成 ； ③ 由 a 的符号判断是最大值（a<0）还是最小值（a>0）； ④ 顶点的横坐标必须落在自变量的取值范围内；若不在范围内，最值在端点处取得（见巩固练习第 4 题）。 用「四步」回看例 2： 审题：定价 200 元时入住 160 间，每提高 20 元少 10 间； 建模：设提高 x 个 20 元，得 ，； 求模：配方得 ，x=3 时 y 最大； 还原：定价为每间 260 元，最高日总收入为 33800 元。 四步环环相扣：审题不清会选错模型，还原不做会答非所问。 练一练：某商品每个进价 60 元，售价为每个 80 元时每天可售出 100 个；售价每降低 1 元，每天多售出 10 个。设售价为每个 (80−x) 元（x≥0）。(1) 求 y 关于 x 的解析式；(2) 售价定为多少元时每天利润最大？(3) 若要求每天利润不低于 2000 元，售价应限定在什么范围？ 答案：(1) ，即 ；(2) 时 y 最大，售价定为 75 元，最大利润为 2250 元；(3) 由 得 ，即售价在 70 元至 80 元之间。 七、分段函数模型：阶梯水价 图 4　分段函数模型：阶梯水价的水费与用水量 如图 4，阶梯水价的水费与用水量的关系是一条折线：每一段都是一次函数，整体是一个分段函数。阶梯电价、阶梯水价、出租车计程、包裹资费等问题中，同一个量在不同的区间按不同的标准计价，需要分段写出解析式，这就是分段函数模型。 例 4（教材例 1）　阶梯水价的水费 某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量为 x 立方米时，所应交水费为 y 元，收费规则如下： (1) 当 时，水价为每立方米 3.45 元； (2) 当 时，前 220 立方米按每立方米 3.45 元，超出部分按每立方米 4.83 元； (3) 当 时，前 220 立方米按每立方米 3.45 元，第 220 至 300 立方米部分按每立方米 4.83 元，超出 300 立方米部分按每立方米 5.83 元。 求 y 关于 x 的函数解析式，并计算某户用水 260 立方米时应交的水费。 解：(1) 当 时，。 当 时，，即 。 当 时，，即 。 阶梯水价模型：（）； （）； （）。 (2) 因为 ，用水量落在第二段，所以 （元）。 即该户应交水费 952.2 元。 分段函数模型的注意： ① 每一段的解析式只在该段内使用，求函数值时先判断自变量落在哪一段； ② 分段的界点要检验：本题中 x=220 时两段都给出 ，x=300 时后两段都给出 ，水费在界点处是连续的； ③ 实际意义检查：用水量不能为负，定义域要写明（本题 ）。 八、对勾函数模型：平均成本最低 图 5　对勾函数模型：月产量与平均成本 如图 5，平均成本先减后增，图象呈「对勾」形状，最低点在 Q=100 处。「固定成本分摊到每一件」随产量增加而减少，「可变成本分摊到每一件」随产量增加而增加，两者相加常得到 （）型的函数，称为对勾函数模型，在平均成本、容器用料等问题中很常见。 例 5（教材例 5）　平均成本最低的月产量 某工厂生产某种产品，月产量为 Q 件时，总成本为 元。已知 Q=100 时总成本为 6000 元。 (1) 求 a 的值； (2) 月产量为多少时，平均成本最低？最低平均成本是多少？ 解：(1) 由 ，得 ，所以 。 (2) 平均成本 （）。 由均值不等式，当 时，=60，当且仅当 ，即 ， 时取等号。 所以月产量为 100 件时平均成本最低，最低平均成本为每件 60 元。 对勾函数模型： 形如 （）的函数图象关于原点对称，是奇函数； 当 x>0 时，，当且仅当 ，即 x= 时取等号； 所以 x>0 时最小值为 ，x<0 时最大值为 ； 用均值不等式求最值的口诀「一正二定三相等」：先看各项为正（一正），再看和或积为定值（二定），最后检验等号能否成立（三相等）。 九、易错警示与定义域意识 易错点 错因 对策 模型选择不当 见到「最多」「最少」就套二次函数 先判断变化规律：均匀变化选一次，一边增一边减选二次，分段计价选分段，两项相除选对勾 忽略自变量取值范围 求出顶点就下结论，不看顶点是否在范围内 顶点在范围内才取顶点；不在则比较端点，有时还要按实际意义取整数 单位不统一 把「提高 20 元」当成「提高 1 元」处理 设自变量时写清单位和含义，列式后代入题目数据检验 只建模不还原 求出 x=3 就当作最终答案 把数学结果翻译成实际答案：定价每间 260 元、日收入 33800 元 分段函数漏段错段 把一段的解析式用在整个定义域 分段设、分段求，分界点单独检验 不顾实际意义 出现件数为负、人数为小数一类的解 用实际意义检验：件数、人数取正整数，边长、体积为正数 十、巩固练习 题号 题目 1 某文具厂生产一种文具盒，每个成本 6 元，固定投入 30000 元。若每个售价 12 元，至少生产多少个才能不亏本？ 2 某报亭批发报纸：批发价每份 0.24 元，零售价每份 0.40 元，当天卖不掉的每份退回可得 0.08 元。据统计，一个月（30 天）中，有 20 天每天可卖出 400 份，有 10 天每天可卖出 250 份。设每天批发 x 份，月利润为 y 元。(1) 当 时，求 y 关于 x 的解析式；(2) 每天批发多少份时月利润最大？最大月利润是多少？ 3 某商店购进一种商品，每个进价 45 元。按每个 50 元销售时每天可售出 50 个；售价每上涨 1 元，每天少售出 2 个。设售价为每个 (50+x) 元（x≥0），每天利润为 y 元。求 y 关于 x 的解析式，并求每天利润最大时的售价。 4 某水果店以每个 40 元的进价购进一种水果。售价为每个 50 元时每天可售出 90 箱；售价每提高 1 元，每天少售出 3 箱。设售价为每个 (50+x) 元，每天利润为 y 元。(1) 求 y 关于 x 的解析式；(2) 若售价限定在 50～55 元之间，售价定为多少时利润最大？最大利润是多少？ 5 火车站为旅客免费托运行李：行李质量不超过 30 kg 时不收费；超过 30 kg 时，超过部分每千克收 0.2 元。设行李质量为 x kg，托运费为 y 元。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 行李 40 kg 应交费多少元？交费 5.4 元时行李质量是多少？ 6 某市实行阶梯电价：月用电量 x 度不超过 180 度时，电价为每度 0.52 元；超过 180 度且不超过 400 度时，前 180 度每度 0.52 元，超出部分每度 0.57 元；超过 400 度时，前 400 度按前两段计费，超出部分每度 0.82 元。(1) 写出电费 y 关于 x 的解析式；(2) 月用电 250 度时应交电费多少元？ 7 按规定，个人稿费不超过 800 元时不纳税；超过 800 元时，超过部分按 14% 纳税。设稿费为 x 元，应纳税款为 y 元。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 稿费 4000 元应纳税多少元？ 8 某商店销售一种商品，每天销量 Q 件与售价 x 元的关系为 Q=500−5x，商品每个进价 30 元。求每天利润 y 关于售价 x 的函数解析式，并求利润最大时的售价。 9 一列火车从甲地开往乙地，火车距乙地的路程 s（km）与行驶时间 t（h）的关系为 s=480−120t。(1) 求自变量 t 的取值范围；(2) 行驶 2 小时后，火车距乙地还有多远？(3) 火车到达乙地需要多长时间？ 10 用 24 m 长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），中间加两道与墙垂直的隔墙，把菜园分成三个小矩形。设垂直于墙的边长为 x m，菜园总面积为 S 平方米。(1) 求 S 关于 x 的函数解析式；(2) 垂直于墙的边长为多少时，菜园总面积最大？最大面积是多少？ 11 某村去年工农业总产值 4320 万元，人口 2000 人。预计今后总产值每年增加 160 万元，人口每年增加 20 人。n 年后该村人均产值 万元。(1) 分别计算今年（n=1）和 10 年后（n=10）的人均产值（精确到 0.01 万元）；(2) 照此发展，大约几年后人均产值可超过 2.5 万元？ 12 已知 x>0，求下列函数的最小值，并求取最小值时 x 的值：(1) ；(2) 。 13 解决实际问题的函数应用四步是：审题、______、求模、______；数学建模四环节是：______、分析问题建立模型、确定参数计算求解、______。（在横线上填上合适的内容） 14 下列实际问题分别适合选择哪类函数模型？(1) 匀速运动中路程与时间的关系；(2) 周长一定的矩形，面积与一边长的关系；(3) 阶梯电价中电费与用电量的关系；(4) 平均成本与月产量的关系。 15 某商品每个进价 80 元，每个 100 元时每月售出 500 个；售价每上涨 1 元，每月少售 10 个。设售价为每个 (100+x) 元，月利润为 y 元。(1) 求 y 关于 x 的解析式；(2) 定价多少元时月利润最大？最大利润是多少？ 十一、参考答案 1. 设总成本为 元。不亏本要求 ，即 。所以至少生产 5000 个。 2. (1) 当 时，20 天每天卖出 x 份，每份赚 0.16 元；10 天卖出 250 份、退回 份，每份亏 0.16 元。因此 。 (2) 当 时 ；当 时 。所以每天批发 400 份时月利润最大，最大月利润为 1440 元。 3. ，化简得 。所以售价定为 60 元时每天利润最大，最大利润为 450 元。 4. (1) ，化简得 。 (2) 顶点的横坐标 x=10 不在 内，且抛物线开口向下、对称轴在区间右侧，所以 时 y 最大。售价定为每个 55 元，最大利润为 元。 5. (1) （）；（）。(2) 行李 40 kg：（元）；交费 5.4 元：，（kg）。 6. (1) （）；（）；（）。(2) 250 度落在第二段，（元）。 7. (1) （）；（）。(2) （元）。 8. ，化简得 。所以售价定为 65 元时每天利润最大，最大利润为 6125 元。 9. (1) 由 得 ，所以 。(2) （km）。(3) 令 ，得 （h）。 10. (1) 垂直于墙的边有 4 段（两边加两道隔墙），所以平行于墙的边长为 m，，即 （）。 (2) 顶点 x=3 在取值范围内，所以垂直于墙的边长为 3 m 时总面积最大，最大面积为 36 平方米。 11. (1) 今年 （万元），10 年后 （万元）。 (2) 令 ，得 ，，n 不小于 6.2。所以 7 年后人均产值可超过 2.5 万元。 12. (1) 当 x>0 时，=6，当且仅当 时取等号。 (2) 当 x>0 时，=12，当且仅当 ，即 时取等号。 13. 四个步骤：审题、建模、求模、还原；四个环节：发现问题提出问题、分析问题建立模型、确定参数计算求解、验证结果改进模型。 14. (1) 一次函数模型；(2) 二次函数模型；(3) 分段函数模型；(4) 对勾函数模型。 15. ，化简得 。所以售价定为 115 元时月利润最大，最大月利润为 12250 元。 十二、方法归纳 任务 步骤 关键句式 建立一次函数模型 设解析式、代入两组对应值解方程组、写取值范围 “设 y=kt+b，由 t=0 时 y=1.7 得 b=1.7；由 t=35 时 y=7.3 得 k=0.16，所以模型为 y=0.16t+1.7” 二次函数求最值 设自变量、列解析式、配方、判顶点是否在取值范围内 “配方成顶点式，x=3 在取值范围内，所以定价每间 260 元时日总收入最高，为 33800 元” 分段计价问题 分段设解析式、分界点验算、按所在段计算 “260 落在第二段，y=4.83×260−303.6=952.2 元” 均值不等式求最值 配成 ax 与 b 除以 x 的和、用均值不等式、验等号条件 “两项之积为定值 900，所以和有最小值 60，当且仅当两项相等即 Q=100 时取得” 数学建模四步 审题、建模、求模、还原 “设定价为 200+20x 元，日收入 y=(200+20x)(160−10x)，化简配方后比较顶点与取值范围” 解题时有两个常用「翻译」：「每……多（少）……」对应自变量的系数，「不超过」对应小于或等于；求出的结果不要忘记「还原」——说明它对应的实际含义，并用实际意义检验（件数为正整数、价钱为正数等）。 本节边界：本节以常见函数模型为工具，经历数学建模的完整过程，核心是「审题、建模、求模、还原」四个步骤。下一课时的数学建模活动将综合运用这些方法；把实际问题数学化、用模型回答问题的思想，还将在今后的学习和工作中反复使用。 学科网（北京）股份有限公司 $