精品解析：陕西汉中中学2026-2027学年高三上学期第二次诊断数学试卷

2027届高三第二次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2 3. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 7. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 10. 已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为． B. 为函数的一个对称轴 C. 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则________________________． 13. 已知不等式的解集为，则的最小值为_____． 14. 用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图，已知圆锥的侧面积为，它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面，使圆锥轴与平面成45°角，此时平面截圆锥侧面所得图形记为抛物线C，则抛物线C的焦点到准线的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了解学生是否喜欢绘画与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢绘画的人数是300，喜欢绘画的男生比女生少60人. （1）完成下面的列联表； 喜欢绘画 不喜欢绘画 总计 男生 女生 总计 （2）根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢绘画与性别有关吗？ 附：.临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为.已知. （1）求； （2）若，证明：为直角三角形； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第二次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的几何意义求解即可． 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 3. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 故两焦点之间的距离． 4. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示求得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】易知， 由， 得，解得或（舍去）， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求的定义域，并判断奇偶性，可排除不满足相应对称性的图像，再通过判断相应区间函数值的正负，即可选出答案． 【详解】因为，所以的定义域为，且关于原点对称． 又， 所以是奇函数，则排除选项A，D； 当时，，当时，，排除选项B， 故选：C． 6. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 7. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论. 【详解】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确； 若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 8. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 又函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数 在 处取得极小值，故A正确； 因为，所以函数最小值为 ，故B正确； 因为，，所以函数最大值为3，故C正确； 因为 在区间单调递增，故D错误. 10. 已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为． B. 为函数的一个对称轴 C. 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象求出，确定函数解析式，再结合三角函数性质逐项判断即可. 【详解】由图可得，； 根据正弦函数图象的对称性，阴影部分的面积，即，得， 结合，，解得； . 由图可得，，解得；结合，得. . 对于A，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，当时，，取得最小值，为函数的一个对称轴，故B正确； 对于C，函数向右平移个单位长度，得到，故C错误； 对于D，当时，；由，且正弦函数在上单调递增，得函数在区间上单调递增，故D正确. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数递推关系推导函数周期，再利用周期性将转化为已知解析式区间内的函数值计算. 【详解】当时，. 令，得. 由，得 ， 所以，因此函数是周期为的周期函数. 故. 13. 已知不等式的解集为，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式解集结合韦达定理得和，然后由基本不等式求得的最小值. 【详解】由题意可知，，， ，，当且仅当时，等号成立． 故答案为：. 14. 用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图，已知圆锥的侧面积为，它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面，使圆锥轴与平面成45°角，此时平面截圆锥侧面所得图形记为抛物线C，则抛物线C的焦点到准线的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求解. 【详解】设圆锥底面半径为，因为轴截面为等腰直角三角形. 所以，母线长为， 所以侧面积为：， 解得， 如图： 取的中点，过作，连接，易知， 由圆锥的结构特点易知，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， 所以即为圆锥轴与平面成45°角， 即，. O为AB的中点，M是中点， 所以OM为中位线，所以, 所以. 又. 以M为原点，MO为x轴建立坐标系如图示，则. 可设抛物线，把带入抛物线方程可得：， 所以抛物线为：，焦点， 所以焦点到准线的距离为， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了解学生是否喜欢绘画与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢绘画的人数是300，喜欢绘画的男生比女生少60人. （1）完成下面的列联表； 喜欢绘画 不喜欢绘画 总计 男生 女生 总计 （2）根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢绘画与性别有关吗？ 附：.临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表为: 喜欢绘画 不喜欢绘画 总计 男生 120 80 200 女生 180 20 200 总计 300 100 400 （2）有的把握可以认为喜欢绘画与性别有关【解析】 【分析】（1）根据题意，很容易得到喜欢绘画的男生为120人，女生为180人，即可填表；（2）将列联表中的数据代入计算公式算出结果，再与小概率0.001对应的临界值10.828比较即可判断结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中列联表得: 所以有的把握认为是否喜欢绘画与性别有关. 16. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由  翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为.已知. （1）求； （2）若，证明：为直角三角形； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由余弦定理得， 结合，得， 即，即，故， 代入，得， 因此，则，即为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）结合三角形面积公式和向量数量积公式化简，可得，即可得，结合B的取值范围即可求解； （2）结合余弦定理建立边与角的关系，对已知等式变形，可得，再结合勾股定理逆定理，即可证明； （3）利用锐角三角形的条件确定自变量的取值范围，根据b的值和余弦定理得到的关系式，结合三角形面积公式和周长表达式将​表示为关于边的函数，最后结合三角函数恒等变换以及三角函数性质求解函数的取值范围即可. 【小问1详解】 由于，的面积, 结合，得， 而，故，又，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若为锐角三角形，则 即； 故，， 由余弦定理得，即得， 则， 则； 又，则， 故 ， 结合，则，则， 则， 故. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） （2）在区间上为增函数，在区间上为减函数 （3）证明如下： 变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 【解析】 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【小问1详解】 ，所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： 【小问2详解】 的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $