1.4.2 用空间向量研究距离问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学题型全归纳 1.4.2 用空间向量研究距离问题 1. 知识精讲 1.1 空间中的距离问题及其转化 空间中的距离主要包括：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行直线间的距离、直线到平面（平行时）的距离、两个平行平面间的距离.其中，两点间的距离即向量的模，可由坐标直接求得；点到直线的距离与点到平面的距离是最基础的两类，其余各类都可以转化为这两类： · 两条平行直线间的距离＝其中一条直线上任一点到另一条直线的距离（转化为点到直线的距离）； · 当直线与平面平行时，直线到平面的距离＝直线上任一点到平面的距离（转化为点到平面的距离）； · 两个平行平面间的距离＝其中一个平面上任一点到另一平面的距离（转化为点到平面的距离）. 1.2 点到直线的距离 设直线 外有一点 ， 是直线 上的一点， 是直线 的方向向量.设向量 在直线 上的投影向量为 ，则 为点 到直线 的垂足.在 中，由勾股定理可得 于是，点 到直线 的距离 若 为单位方向向量，则 . 1.3 点到平面的距离 设 是平面 外一点， 是平面 内的一点， 是平面 的法向量.过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则点 到平面 的距离 等于向量 在 方向上的投影向量的模，即 求平面的法向量：设平面 内两个不共线的向量为 ，平面的法向量 .由 且 ，得 且 ，联立解方程组，取一组非零解即为所求法向量. 1.4 直线到平面、两平行平面间的距离 当直线 时，直线 到平面 的距离等于直线上任意一点到平面 的距离；当平面 时，平面 与 间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.因此，求这两类距离都归结为求点到平面的距离，可直接套用点到平面的距离公式. 1.5 异面直线的距离 两异面直线之间的距离，指夹在这两条异面直线之间的公垂线段的长（公垂线是与两条异面直线都垂直且相交的直线）.这是教材未单列的拓展内容，用向量法求解较为方便. 设异面直线 的方向向量分别为 ，在 上分别取点 .作与 都垂直的向量 （即令 且 ，联立解方程组求出，与求平面法向量的方法相同），它就是公垂线的方向向量.两异面直线间的距离等于向量 在 方向上的投影向量的模，即 求异面直线间的距离，也可转化为：过其中一条直线作平行于另一条直线的平面，再求直线到该平面的距离（线面距）. 1.6 用空间向量（坐标法）求距离的一般步骤 用坐标法求空间距离，一般按“三步曲”进行： 1. 建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标； 2. 求出直线的方向向量（或平面的法向量），以及所需的相关向量； 3. 代入点到直线（或点到平面）的距离公式，计算并化简. 若图形不适合建系，也可选取一组基底，用基向量的数量积、模长运算求解（基向量法），其本质与坐标法一致. 2. 题型归纳 2.1 题型一　点到直线的距离 方法解读：求点 到直线 的距离，关键是选取直线 上的一点 和方向向量 ，利用公式 计算，其中 为从直线上点 指向点 的向量. 【例1】在棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求点 到直线 的距离. 【变式1】在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，求点 到直线 的距离. 2.2 题型二　点到平面的距离 方法解读：求点 到平面 的距离，关键是求出平面 的一个法向量 ，再在平面 内选取一点 ，利用公式 计算. 【例2】 为 所在平面外一点，且 平面 ，，，，，求点 到平面 的距离. 【变式2】（课本练习改编）已知平面 经过点 ，且 的一个法向量为 ，求点 到平面 的距离. 【变式3】在棱长为 的正方体 中，求点 到平面 的距离. 2.3 题型三　直线到平面、两平行平面间的距离 方法解读：当直线 平面 时，直线到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离；当两平面平行时，两平面间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.因此，这两类距离都转化为点到平面的距离来求. 【例3】在棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求直线 到平面 的距离. 【变式4】（两平行平面间的距离）在棱长为 的正方体 中，求平面 与平面 之间的距离. 2.4 题型四　异面直线的距离 方法解读：求异面直线 的距离，先分别取方向向量 ，再在两直线上各取一点 ，令 同时垂直于 （由 且 解方程组求得公垂线方向向量），利用公式 计算；也可转化为线面距（过一条直线作平行于另一条直线的平面）. 【例4】（异面直线的距离）在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 的距离. 【变式5】在长方体 中，，，，求异面直线 与 的距离. 3. 高考真题 3.1 真题1　（2023·天津卷·第17题）求点到平面的距离 题目：三棱台 中，已知 平面 ，，，，， 分别为 ， 的中点. · (1) 求证： 平面 ； · (2) 求平面 与平面 所成夹角的余弦值； · (3) 求点 到平面 的距离. 3.2 真题2　（2024·天津卷·第17题）求点到平面的距离 题目：已知四棱柱 中，底面 为梯形，， 平面 ，，其中 ，. 是 的中点， 是 的中点. · (1) 求证： 平面 ； · (2) 求平面 与平面 的夹角余弦值； · (3) 求点 到平面 的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学题型全归纳 1.4.2 用空间向量研究距离问题 1. 知识精讲 1.1 空间中的距离问题及其转化 空间中的距离主要包括：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行直线间的距离、直线到平面（平行时）的距离、两个平行平面间的距离.其中，两点间的距离即向量的模，可由坐标直接求得；点到直线的距离与点到平面的距离是最基础的两类，其余各类都可以转化为这两类： · 两条平行直线间的距离＝其中一条直线上任一点到另一条直线的距离（转化为点到直线的距离）； · 当直线与平面平行时，直线到平面的距离＝直线上任一点到平面的距离（转化为点到平面的距离）； · 两个平行平面间的距离＝其中一个平面上任一点到另一平面的距离（转化为点到平面的距离）. 1.2 点到直线的距离 设直线 外有一点 ， 是直线 上的一点， 是直线 的方向向量.设向量 在直线 上的投影向量为 ，则 为点 到直线 的垂足.在 中，由勾股定理可得 于是，点 到直线 的距离 若 为单位方向向量，则 . 1.3 点到平面的距离 设 是平面 外一点， 是平面 内的一点， 是平面 的法向量.过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则点 到平面 的距离 等于向量 在 方向上的投影向量的模，即 求平面的法向量：设平面 内两个不共线的向量为 ，平面的法向量 .由 且 ，得 且 ，联立解方程组，取一组非零解即为所求法向量. 1.4 直线到平面、两平行平面间的距离 当直线 时，直线 到平面 的距离等于直线上任意一点到平面 的距离；当平面 时，平面 与 间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.因此，求这两类距离都归结为求点到平面的距离，可直接套用点到平面的距离公式. 1.5 异面直线的距离 两异面直线之间的距离，指夹在这两条异面直线之间的公垂线段的长（公垂线是与两条异面直线都垂直且相交的直线）.这是教材未单列的拓展内容，用向量法求解较为方便. 设异面直线 的方向向量分别为 ，在 上分别取点 .作与 都垂直的向量 （即令 且 ，联立解方程组求出，与求平面法向量的方法相同），它就是公垂线的方向向量.两异面直线间的距离等于向量 在 方向上的投影向量的模，即 求异面直线间的距离，也可转化为：过其中一条直线作平行于另一条直线的平面，再求直线到该平面的距离（线面距）. 1.6 用空间向量（坐标法）求距离的一般步骤 用坐标法求空间距离，一般按“三步曲”进行： 1. 建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标； 2. 求出直线的方向向量（或平面的法向量），以及所需的相关向量； 3. 代入点到直线（或点到平面）的距离公式，计算并化简. 若图形不适合建系，也可选取一组基底，用基向量的数量积、模长运算求解（基向量法），其本质与坐标法一致. 2. 题型归纳 2.1 题型一　点到直线的距离 方法解读：求点 到直线 的距离，关键是选取直线 上的一点 和方向向量 ，利用公式 计算，其中 为从直线上点 指向点 的向量. 【例1】在棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求点 到直线 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，. 直线 的方向向量 ，取 为直线上的一点，则 . 所以点 到直线 的距离为 . 【变式1】在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，求点 到直线 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，， ，，.直线 的方向向量 ，取 为直线上一点，则 . 所以点 到直线 的距离为 . 2.2 题型二　点到平面的距离 方法解读：求点 到平面 的距离，关键是求出平面 的一个法向量 ，再在平面 内选取一点 ，利用公式 计算. 【例2】 为 所在平面外一点，且 平面 ，，，，，求点 到平面 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，. 平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 . 又 ，所以 所以点 到平面 的距离为 . 【变式2】（课本练习改编）已知平面 经过点 ，且 的一个法向量为 ，求点 到平面 的距离. 解析：取平面 内一点 ，则 . 所以点 到平面 的距离为 . 【变式3】在棱长为 的正方体 中，求点 到平面 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，. 平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，所以 . 又 ，所以 所以点 到平面 的距离为 . 2.3 题型三　直线到平面、两平行平面间的距离 方法解读：当直线 平面 时，直线到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离；当两平面平行时，两平面间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.因此，这两类距离都转化为点到平面的距离来求. 【例3】在棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求直线 到平面 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，. 平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 . 又直线 的方向向量 ，且 ，故 平面 .取直线上一点 ，则 ，所以 所以直线 到平面 的距离为 . 【变式4】（两平行平面间的距离）在棱长为 的正方体 中，求平面 与平面 之间的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，. 平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 .平面 的法向量与 平行，故两平面平行.取平面 上一点 ，其到平面 （方程为 ）的距离即为两平面间的距离： 所以平面 与平面 之间的距离为 . 2.4 题型四　异面直线的距离 方法解读：求异面直线 的距离，先分别取方向向量 ，再在两直线上各取一点 ，令 同时垂直于 （由 且 解方程组求得公垂线方向向量），利用公式 计算；也可转化为线面距（过一条直线作平行于另一条直线的平面）. 【例4】（异面直线的距离）在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，. ，.设公垂线方向向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 . 在 上取 ，在 上取 ，则 . 所以异面直线 与 的距离为 . 【变式5】在长方体 中，，，，求异面直线 与 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建系，则 ，，，. ，.设公垂线方向向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 . 在 上取 ，在 上取 ，则 . 所以异面直线 与 的距离为 . 3. 高考真题 3.1 真题1　（2023·天津卷·第17题）求点到平面的距离 题目：三棱台 中，已知 平面 ，，，，， 分别为 ， 的中点. · (1) 求证： 平面 ； · (2) 求平面 与平面 所成夹角的余弦值； · (3) 求点 到平面 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，. (1) 证明：平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 .又 ，，故 .而 不在平面 内，所以 平面 . (2) 解：平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 .由 (1) 知平面 的法向量 .设平面 与平面 所成的夹角为 ，则 所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 . (3) 解：由 (1) 知平面 的法向量 . 又 ，所以点 到平面 的距离 答案：. 3.2 真题2　（2024·天津卷·第17题）求点到平面的距离 题目：已知四棱柱 中，底面 为梯形，， 平面 ，，其中 ，. 是 的中点， 是 的中点. · (1) 求证： 平面 ； · (2) 求平面 与平面 的夹角余弦值； · (3) 求点 到平面 的距离. 解析：以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.由 ，， 且 ，得 ，，；由 得 ，，，. 为 中点，故 ； 为 中点，故 . (1) 证明：平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 .又 ，，故 .而 不在平面 内，所以 平面 . (2) 解：平面 内两向量 ，.设法向量 ，由 且 ，得 ，，取 ，则 ，，所以 .由 (1) 知平面 的法向量 .设平面 与平面 所成的夹角为 ，则 所以平面 与平面 的夹角余弦值为 . (3) 解：由 (1) 知平面 的法向量 . 又 ，所以点 到平面 的距离 答案：. 学科网（北京）股份有限公司 $