第二十五章 一元二次方程【章末复习】 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 第二十五章 一元二次方程 全章复习（人教版） ## ✅ 一、一元二次方程概念 ### 定义 只含有**一个未知数**，未知数最高次数是$\boldsymbol{(\boldsymbol{2})}$，且**二次项系数≠0**的整式方程。 一般形式： $$\boldsymbol{ax^(\boldsymbol{2})+bx+c=0\quad(a,b,c(\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\quad(a,b,c是常数，\boldsymbol{a≠0})})\boldsymbol{a≠0})}$$ - $ax^(\boldsymbol{2})$：二次项，$a$为二次项系数 - $bx$：一次项，$b$为一次项系数 - $c$：常数项 > > 注意： 1. 必须是**整式方程**；分母不能含未知数； (\boldsymbol{2}). 判断是不是一元二次方程，一定要先整理成一般形式，再看$a≠0$。 **例**：$(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-5x-1=0$，$a=(\boldsymbol{2}),b=-5,c=-1$ ## ✅ 二、一元二次方程四种解法 ### 1. 直接开平方法 适用：$x^(\boldsymbol{2})=p$ 或 $(mx+n)^(\boldsymbol{2})=p$ - $(p(>0))$：两个不等实根； - $(p=0)$：两个相等实数根； - $(p<0)$：无实数根。 ### (\boldsymbol{2}). 配方法 步骤：移常数项 → 二次项系数化为1 → 两边加上**一次项系数一半的平方** → 写成$(x+m)^(\boldsymbol{2})=n$，再开方。 用途：解方程；求二次三项式最值。 ### 3. 公式法（万能法） 先算判别式 $\boldsymbol{\Delta=b^(\boldsymbol{2})-4ac}$ $$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^(\boldsymbol{2})-4ac}}{(\boldsymbol{2})a}\quad(a≠0,\Delta\ge0)}$$ 判别式$\Delta$： - $\boldsymbol{\Delta(>0)}$：两个不相等实数根 - $\boldsymbol{\Delta=0}$：两个相等实数根 - $\boldsymbol{\Delta<0}$：没有实数根 ### 4. 因式分解法（优先选用） 原理：若$A\cdot (B=0)$，则$(A=0)$ **或** $(B=0)$ 步骤：移项使右边=0，左边因式分解，拆为两个一次方程求解。 > > ❗禁止两边直接除以含未知数的式子，会丢根。 > > 解法选择顺序：**因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法** ## ✅ 三、根与系数的关系（韦达定理） $ax^(\boldsymbol{2})+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_(\boldsymbol{2})$，前提：$\boldsymbol{\Delta\ge0}$ $$\boldsymbol{x_1+x_(\boldsymbol{2})=-\dfrac{b}{a}},\quad \boldsymbol{x_1x_(\boldsymbol{2})=\dfrac{c}{a}}$$ 常用变形： $x_1^(\boldsymbol{2})+x_(\boldsymbol{2})^(\boldsymbol{2})=(x_1+x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})x_1x_(\boldsymbol{2})$ $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_(\boldsymbol{2})}=\dfrac{x_1+x_(\boldsymbol{2})}{x_1x_(\boldsymbol{2})}$ $(x_1-x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})=(x_1+x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})-4x_1x_(\boldsymbol{2})$ ## ✅ 四、一元二次方程实际应用（三大必考模型） 应用题通用六步：**审→设→列→解→验→答** > > 检验：解要满足正数、符合现实意义，舍去不合理根 1. **平均变化率（增长率/下降率）** 基数$a$，两次变化后$b$ 增长：$\boldsymbol{a(1+x)^(\boldsymbol{2})=b}$ 下降：$\boldsymbol{a(1-x)^(\boldsymbol{2})=b}$ (\boldsymbol{2}). **传播问题** 1人患病，每轮1人传染$x$人，两轮总感染人数：$\boldsymbol{(1+x)^(\boldsymbol{2})}$ > > 注意初始传染源不一定是1！ 3. **几何面积问题** 矩形、道路平移、靠墙篱笆、剪正方形折无盖盒子；边长$(>0)$。 > > 补充：销售利润问题 > 单件利润=售价−进价；总利润=单件利润 × 销售量 ## ✅ 五、高频易错点汇总 1. 一元二次方程，**$a≠0$**是前提，参数题容易忽略； (\boldsymbol{2}). 求根公式：$x_1+x_(\boldsymbol{2})$有负号，最容易丢； 2. 因式分解法：必须移项让右边=0； 3. 增长率：是$(1+x)^(\boldsymbol{2})$，不是$1+x^(\boldsymbol{2})$； 4. 应用题解完**一定要检验**，负数、超出范围的值舍去； 5. 使用韦达定理，必须保证$\Delta\ge0$，参数题最后一定要检验判别式。 ## 📝 章末基础小测 1. 判断：$3x^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})x=1$是一元二次方程，化成一般式二次项系数3，一次项$-(\boldsymbol{2})$，常数项1（） (\boldsymbol{2}). 方程$x^(\boldsymbol{2})-6x+8=0$，$\Delta=$****，根为****____。 2. $x_1,x_(\boldsymbol{2})$是$(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-4x-1=0$两根，则$x_1+x_(\boldsymbol{2})=$****，$x_1x*(\boldsymbol{2})=$***_。 3. 原价(\boldsymbol{2})00元，连续两次涨价，增长率$x$，两次后(\boldsymbol{2})88元，方程：________。 答案 1. × 一般式$3x^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x-1=0$，常数项是$-1$ \(\boldsymbol{2}\).$4$；$x_1=\(\boldsymbol{2}\),x_\(\boldsymbol{2}\)=4$ 3.$\(\boldsymbol{2}\)，-\dfrac1\(\boldsymbol{2}\)$ 4.$\(\boldsymbol{2}\)00(1+x)^\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{2}\)88$ 要不要我给你一份**全章综合检测卷（带详细解析）**，或者精简版背诵提纲用来考前快速记忆？ 人教版（新教材）数学九年级上册 单元复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 Δ＝b2－4ac 知识梳理 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 实际问题 配方法 实际问题的答案 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的根 公式法 因式分解法 设未知数，列方程 解方程 检验 降次 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 一元二次方程的基本概念 3.项数和系数：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 5.一元二次方程的根： 使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值． 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2＝n(n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n) ＝0 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 解一元二次方程的方法 根的判别式、根与系数的关系 (1)根的判别式：Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根； 当Δ≥0时，方程有实数根． (2)根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 增长率问题 病毒传播问题 几何问题 销售问题 循环赛问题 1. 返回 下列方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B． ＋x－1＝0 C．2x2－9＝0 D．x2＝(x－1)(x－2) C 考点1　一元二次方程及相关概念 考试考法 9 返回 2. 若关于x的一元二次方程(k－3)x2－5x＋k2－9＝0的一个解为x＝0，则k＝________． －3 考试考法 返回 3. 【新考法 逆向思维法】已知方程x2－6x＋4＝□，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x－p)2＝7的形式，则印刷不清楚的数字是(　　) A．6 B．9 C．2 D．－2 C 考点2　一元二次方程的解法 考试考法 返回 4. 如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为(　　) C 考试考法 解下列方程： (1)(2x－1)2＝49； 返回 5. 解：直接开平方，得2x－1＝±7. ∴x1＝4，x2＝－3. (2)x2＋2x－1＝0； 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2. 考试考法 返回 考试考法 (4)3x(x－1)＝2－2x. 返回 解：移项，得3x(x－1)＋2x－2＝0. 因式分解，得(x－1)(3x＋2)＝0， ∴x－1＝0或3x＋2＝0， ∴x1＝1，x2＝ 考试考法 [北京中考]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 返回 6. C 考点3　一元二次方程根的判别式 考试考法 返回 7. [广州中考]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 考试考法 返回 8. 【新视角 条件开放题】[南通中考]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________________. 0(答案不唯一) 考试考法 返回 9. 【新视角 新定义题】[保定高碑店期中]若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称该方程为“归一方程”．例如：x2－4x＋3＝0就是“归一方程”． (1)一元二次方程2x2＋x－3＝0________“归一方程”；(填“是”或“不是”) 是 考试考法 19 (2)若关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求a和c的值． 返回 解：∵ax2－4x＋c＝0为“归一方程”， ∴ax2－4x＋c＝0有一个实数根为1， ∴a－4＋c＝0，∴c＝4－a. ∵方程ax2－4x＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4ac＝(－4)2－4a(4－a)＝0，整理， 得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2，∴c＝4－2＝2. 考试考法 返回 10. [乐山中考]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 C 考点4　一元二次方程的根与系数的关系 考试考法 21 返回 11. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) C 考试考法 22 返回 12. 若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则(1)a＋b的值为________； 4 1 考试考法 23 13. 毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A．40 B．30 C．29 D．39 B 返回 考点5　一元二次方程的实际应用 考试考法 14. [威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm. 返回 考试考法 15. 某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 返回 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意，得125(1－x)2＝80， 解得x＝0.2＝20%或x＝1.8(舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 考试考法 返回 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件， 由题意，得(125－25×2)m＋80(100－m)≤7 800， ∴75m＋8 000－80m≤7 800， 解得m≥40. 答：最少购进40件甲种商品． (2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 考试考法 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数.你能写出这些方程的一般形式吗？ 一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗? 求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况? 一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1，x2与系数a,b,c有什么关系？我们是如何得到这种关系的? 你能举例说明运用一元二次方程解决实际向题的过程吗? 谢谢观看 THANKS － ②x＝(b2－4ac≥0)　 A．＋1 B．－＋1 C．＋1或－＋1 D．无法确定 开平方，得x＋1＝±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)x2－x－＝0； 解：∵a＝1，b＝－，c＝－， ∴Δ＝(－)2－4×1×＝4>0， ∴x＝，即x1＝，x2＝. －. A. B．2 C． D．2 (2)＋的值为________． $