第二十五章 一元二次方程 章末复习 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程单元复习，以“实际问题—列方程—方程解法—求根—解决问题”的知识结构为主线，串联降次方法（配方法、公式法、因式分解法）等核心内容，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于通过“题型突破+技巧总结+分层练习”设计，如二次根式新定义运算（例12）培养推理意识，规律探究题（例13）发展创新意识，课堂练习涵盖基础题与综合题，既巩固知识又提升数学思维，助力教师精准教学。

第二十五章 一元二次方程 2026人教版·九年级上册 章末复习 知识结构 设未知数，列方程 实际问题 实际问题的答案 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 配方法 公式法 因式分解法 降次 题型突破 题型1 二次根式、最简二次根式、同类二次根式 例1．下列各式 中是二次根式的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如 的式子”，逐一判断各表达式即可． 题型突破 题型1 二次根式、最简二次根式、同类二次根式 例2．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【技巧总结】 1. 化简：根号内不含开得尽方因子、不含分母，分母无根号。 2. 判同类：先化最简，再看被开方数是否相同。 3. 运算：合并同类二次根式，乘法用 ，除法有理化分母。 题型突破 题型1 二次根式、最简二次根式、同类二次根式 题型突破 题型2 根据二次根式有意义条件求范围 例3．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≥-3 B．x≥3 C．x≠-3 D．x≠3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条件作答即可． B 题型突破 题型2 根据二次根式有意义条件求范围 例4．若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ） A．x>-3 B．x=-3 C．x≠-3 D．x≥-3 A 【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数不能为负数． 根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 题型突破 题型2 根据二次根式有意义条件求范围 【技巧总结】 1. 偶次根式：被开方数需≥0，分母含根式时不能为0。 2. 奇次根式：被开方数为全体实数。 3. 分式组合：同时满足分母不为0和根式有意义，取交集。 4. 隐含条件：化简前先依原式列不等式，避免漏解。 题型突破 题型3 根据二次根式有意义求值与化简 例5.若 ，则x-y的值为 ． 【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零． -1 题型突破 题型3 根据二次根式有意义求值与化简 例6．若 ，则x2025+2025y ． 2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得x-1≥0且1-x≥0，解得x=1，再代入求出y的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型突破 题型3 根据二次根式有意义求值与化简 【技巧总结】 1. 由意义列式：偶次根式被开方数≥0，结合分母≠0，求出字母范围。 2. 化简代入：范围常隐含非负性（如a-2≥0, 2-a≥0得a=2），直接化简原式求值。 3. 注意零与正负：避免平方开方时丢符号。 题型突破 题型4 含隐含条件的参数范围化简二次根式 例7．化简： = ． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简． 题型突破 例8．化简二次根式 = ． 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 题型4 含隐含条件的参数范围化简二次根式 【技巧总结】 1. 抓隐含条件：由被开方数非负、分母非零及等式约束（如a-3与3-a同时有意义）推出参数具体值或范围。 2. 判断符号：利用范围确定根号内字母的正负，去根号时加绝对值。 3. 化简合并：根据符号去掉绝对值，再合并同类项。 题型突破 题型4 含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型突破 题型5 复杂的复合二次根式化简 题型突破 题型5 复杂的复合二次根式化简 题型突破 题型5 复杂的复合二次根式化简 【技巧总结】 1. 配方法：将根号内化为 ，关键找两数积为根号下整数部分，和为有理数。 2. 设元法：整体平方或设 解方程。 3. 消去法：利用平方差公式或共轭有理化，将嵌套逐层拆解。 题型突破 题型6 二次根式的混合运算 例10．计算： 题型突破 题型6 二次根式的混合运算 例10．计算： 题型突破 题型6 二次根式的混合运算 【技巧总结】 1. 先化简：各根式化为最简，合并同类二次根式。 2. 巧用公式：乘法分配律、平方差、完全平方公式简化计算。 3. 分母有理化：遇分式乘共轭因式化去分母根号。 4. 整体代换：复杂式子先变形再代入，避免繁琐计算。 题型突破 题型7 二次根式中的分母有理化 题型突破 题型7 二次根式中的分母有理化 题型突破 题型7 二次根式中的分母有理化 题型突破 题型7 二次根式中的分母有理化 【技巧总结】 1. 单一项：分子分母同乘根号本身，如 。 2. 两项和差：乘共轭因式（ 互为共轭），用平方差消根号。 3. 复杂分母：先分解部分分式或提取公因式，再有理化。 题型突破 题型8 二次根式运算中的新定义型问题 例12．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n= （1）计算48※75的结果； （2）计算(3※2)×(8※12)的结果. 【技巧总结】 1. 读定义：明确新运算规则（如a⊕b= ）。 2. 代公式：按规则代入数字或式子，保留括号。 3. 化简计算：严格进行二次根式化简、分母有理化等常规步骤。 4. 验结果：检查是否符合定义域及最简形式。 题型突破 题型8 二次根式运算中的新定义型问题 题型突破 题型9 二次根式运算中的规律探究问题 例13．观察下列各式及其验证过程： (1)按照上述规律，直接写出 的结果是_________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明． (1)按照上述规律，直接写出 的结果是_________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明． 题型突破 题型9 二次根式运算中的规律探究问题 题型突破 题型9 二次根式运算中的规律探究问题 【技巧总结】 1. 观察特例：计算前几项结果，化为最简二次根式。 2. 找变与不变：注意根号内整数、系数的变化模式，区分循环或递推规律。 3. 猜想通项：用n表示规律，验证首项。 4. 合并化简：运用平方差、分母有理化简化通项表达式。 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（B　） A. x2＋2y－1＝0 B. x2－1＝0 C. D. x＋3＝0 B 课堂练习 2. 关于x的方程5x2－mx－1＝0的一根为1，则m的值为（ B） A. 6 B. 4 C. －4 D. －6 B 3. 已知关于x的一元二次方程（k＋4）x2＋3x＋k2＋3k－4＝0的一个根为0，则k的值为 ⁠. 1 课堂练习 4. 小红、小星在解方程2（x－3）＝（x－3）2时，解答过程如下： 小红的解法 解：第一步：两边同除以x－3，得：2＝x－3. 第二步：x＝5. 小星的解法 解：第一步：2（x－3）－（x－3）2＝0. 第二步：（x－3）（2－x－3）＝0. 第三步：x－3＝0或2－x－3＝0. 第四步：x1＝3，x2＝－1. 课堂练习 4. 小红、小星在解方程2（x－3）＝（x－3）2时，解答过程如下： （1）上述小红、小星的解法是否正确？若不正确，判 断从第几步开始出现错误； 解：（1）小红、小星的解法都是错误的.判断如下：小 红的解法第一步开始出现错误，小星的解法第二步开始 出现错误； （2）请用一种合适的方法解此方程. 解：（2）∵2（x－3）＝（x－3）2， ∴2（x－3）－（x－3）2＝0， ∴（x－3）（2－x＋3）＝0，∴x1＝3，x2＝5. 课堂练习 5. 解下列一元二次方程： 课堂练习 （2）(x–3)2=6–2x. 解：方程变形，得 (x–3)2+2(x–3)=0. 左边分解因式，得 (x–3)(x–3+2)=0， 即(x–3)(x–1)=0. 于是 x–3=0，或 x–1=0， 即 x1= 3，x2= 1. （1）(x–3)2–49=0； 解：移项，得 (x–3)2=49， 由此可得 x–3=±7， 即 x1=10， x2= –4. 课堂练习 6. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　D　） A. k≥4 B. k＞4 C. k≤4 D. k＜4 D 7. 关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 8. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m－2＝0. （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的 实数根； （1）证明：依题意可得： Δ＝（2m＋1）2－4（m－2）＝4m2＋9＞0，故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 课堂练习 课堂练习 （2）若方程有两个实数根x1，x2，且 x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值. （2）解：由根与系数的关系可得： x1＋x2＝－（2m＋1），x1x2＝m－2，由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－（2m＋1）＋3（m－2）＝1，解得m＝8. 9. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成 （这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”.如图所示（单位：cm）的手卷长1000 cm，宽40 cm，“引首”和“拖尾”完全相同，其宽度都为100 cm.若“隔水”的宽度为x cm，“画心”的面积为15200 cm2，则x＝ ⁠. 10 课堂练习 10. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，其地 92 号汽油价格三月底是 6.2 元/升，五月底是 8.9 元/升设该地 92 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 x，根据题意列出方程，正确的是 ( ) A. 6.2(1 + x)2 = 8.9 B. 8.9(1 + x)2 = 6.2 C. 6.2(1 + x2) = 8.9 D. 6.2(1 + x) + 6.2(1 + x)2 = 8.9 A 课堂练习 下 课 $