3.2.2 函数的基本性质（第二课时 奇偶性）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2 函数的基本性质 第三章 函数的概念与性质 第二课时：奇偶性 目录 contents 1 函数的奇偶性 2 奇偶性的判断 3 提分训练 课程导入 01.生活中的对称：蝴蝶的双翅、人的左右脸、雪花图案，沿一条直线对折后左右完全重合，这就是轴对称。 02.数学中的对称：函数的图象也可能具有这种对称，怎样用f(−x)与f(x)的关系来刻画图象的对称？ 函数图象的对称，如何用自变量取相反数时函数值的关系来描述？               新知探究 1. 函数的奇偶性 ①奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。 几何意义：奇函数的图象关于原点对称。 核心点睛：自变量取相反数时，函数值也取相反数，即 f(−x)=−f(x)。 新知探究 图象特征 观察函数y=x-3的图象，它关于原点对称。 把图象绕原点旋转180°后能与自身重合， 这种对称叫做关于原点对称（中心对称）。 核心点睛：原点对称即绕原点旋转 180°后与原图象完全重合。 新知探究 ②偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内任意一个x，都有 f(−x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。 几何意义：偶函数的图象关于y轴对称。 核心点睛：先看定义域是否关于原点对称，再验证 f(−x)=f(x) 这一等式是否成立。 新知探究 图象特征 观察函数y=x²的图象，它关于y轴对称 如果函数f(x)的图象关于y轴对称，那么称f(x)为偶函数 对称的含义：把图象沿y轴翻折，左右两部分完全重合 核心点睛：偶函数的图象关于y轴对称，这是偶函数最直观的几何特征。         小试牛刀 例1：下列函数中为偶函数的是（ ） A. f(x)=x³ B. f(x)=x² C. f(x)=x+1 D. f(x)= B 小试牛刀 【分析】判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再计算f(−x)与f(x)的关系． 【解析】 解：A. f(x)=x³，f(−x)=(−x)³=−x³=−f(x)，是奇函数 B. f(x)=x²，f(−x)=(−x)²=x²=f(x)，是偶函数 C. f(x)=x+1，f(−x)=−x+1，既不等于f(x)也不等于−f(x)，非奇非偶 D. f(x)=，f(−x)=−=−f(x)，是奇函数 故选：B． 目录 contents 1 函数的奇偶性 2 奇偶性的判断 3 提分训练 新知探究 第一步：看定义域 先求定义域，判断它是否关于原点对称；不对称则直接判定为非奇非偶。 第二步：算f(−x)并比较 在对称定义域内计算 f(−x)：f(−x)=f(x) 为偶函数；f(−x)=−f(x) 为奇函数。 2.奇偶性的判断步骤： 核心点睛：若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0 新知探究 ①偶函数：定义域对称且 f(−x)=f(x)。 ②奇函数：定义域对称且 f(−x)=−f(x)。 ③非奇非偶：定义域不对称，或f(−x)既不等于f(x)也不等于−f(x)。 ④既奇又偶：同时满足两式，即f(x)=0（定义域关于原点对称） 核心点睛：既奇又偶的函数是零函数f(x)=0，且定义域关于原点对称 新知探究 4.性质法判断复合函数奇偶性： f(x),g(x)在公共区间上的奇偶性如下: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 小试牛刀 例2、已知奇函数f(x)在区间[2,3]上单调递增且有最大值f(3)，则f(x)在区间[−3,−2]上( ) A.单调递增，且最大值为f(−2) B.单调递增，且最大值为f(−3) C.单调递减，且最大值为f(−2) D.单调递减，且最大值为f(−3) A 小试牛刀 【分析】先利用奇函数单调性特征，奇函数在对称区间单调性相同，再逐一判断每个选项区间内函数增减性． 【解析】 解：任取 ， ， 又函数在区间 上单调递增， . 函数 为奇函数， , ， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为 . 目录 contents 1 函数的奇偶性 2 奇偶性的判断 3 提分训练 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 1、如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A. B. C. D. B 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 【解析】 解：对于A，函数为奇函数，为奇函数,由奇奇 奇, 可得 为奇函数. 对于B，由奇×奇偶,可得 为偶函数. 对于C，函数为偶函数，由（奇偶）不能确定奇偶性, 可得 一定为偶函数是不正确的. 对于D，由奇×偶奇,可得 为奇函数. 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 2、若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 A 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 【解析】 解：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，得b＝0. ∴g(x)＝ax3＋cx. ∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数． 故选：A． 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 3、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 B 提分训练 题型1 函数奇偶性定义与判断 【解析】 解：由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4. 两式相加，解得g(1)＝3. 故选：B. 提分训练 题型2 函数奇偶性的应用 4、奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0,1) D．[－1,1) A 提分训练 题型2 函数奇偶性的应用 【解析】 解：由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数， 所以f(x)在R上单调递增， f(x)<f(1)等价于x<1. 故选：A 提分训练 题型2 函数奇偶性的应用 5、已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) C 提分训练 题型2 函数奇偶性的应用 【解析】 解：∵函数f(x)为偶函数， ∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)． 又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数， ∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1). 故选：C 追求卓越 $