25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.2.3 因式分解法 专项练习（人教版，约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **因式分解法原理** 若$A\cdot \(\boldsymbol{B\(=0\)}\)$，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{A\(=0\)}\)}$ **或** $\boldsymbol{\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)}$。 把一元二次方程整理为**左边因式相乘，右边\(=0\)**的形式，转化为两个一元一次方程求解。 2. **适用形式** 方程能整理成：$\boldsymbol{(x-x_1)(x-x_2)\(=0\)}$ 常用因式分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 3. **解题步骤** ①移项：把所有项移到左边，使方程右边$\(=0\)$； ②分解：将左边多项式因式分解； ③降次：得到两个一次因式相乘等于0； ④转化：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ⑤求解，写出两根。 >易错提醒 ①**必须右边等于0**，不能直接两边同时除以含未知数的式子（会丢根）； ②“或”表示两个因式只要一个为0即可，不是同时等于0； ③提公因式注意符号； ④不要在等式两边直接约去含有未知数的因式。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 方程$(x-2)(x+3)\(=0\)$的解是（） A.$\(x=2\)$ B.$x=-3$ C.$x_1=2,x_2=-3$ D.$x_1=-2,x_2=3$ **答案：C** 2. 方程$x^2-3x\(=0\)$因式分解后正确的是（） A.$x(x-3)\(=0\)$ B.$x(x+3)\(=0\)$ C.$(x-3)^2\(=0\)$ D.$x^2=3x$ **答案：A** 3. $x^2-9\(=0\)$，因式分解得$(x+3)(\underline{\quad})\(=0\)$。 **答案：$x-3$** 4. 方程$x(x-1)\(=0\)$的根：________。 **答案：$x_1\(=0\),x_2=1$** 5. 解方程$2x^2=4x$，不能直接两边除以$2x$，原因：________。 **答案：会丢失根$x\(=0\)$** ## 三、能力提升（解答题，写出完整步骤） 6. 用因式分解法解方程：$x^2-5x\(=0\)$ **解** 左边提公因式：$x(x-5)\(=0\)$ $x\(=0\)$ 或 $x-5\(=0\)$ $\therefore x_1\(=0\),\ x_2=5$。 7. 用因式分解法解方程：$x^2-16\(=0\)$ **解** 平方差分解：$(x+4)(x-4)\(=0\)$ $x+4\(=0\)$ 或 $x-4\(=0\)$ $\therefore x_1=-4,\ x_2=4$。 8. 用因式分解法解方程：$x^2-6x+9\(=0\)$ **解** 完全平方公式：$(x-3)^2\(=0\)$ $x-3\(=0\)$ $\therefore x_1=x_2=3$。 9. 易错题 判断正误（对√，错×） ①$\(x(x+2)=4\)$，直接令$x\(=0\),x+2=4$（×，右边不是0，不能直接分解） ②解方程$x^2=2x$，两边同除以$x$，得到$\(x=2\)$（×，丢失$x\(=0\)$） ③$(2x-1)(x+3)\(=0\)$，则$2x-1\(=0\)$或$x+3\(=0\)$（√） ④$x^2-4x+4\(=0\)$，分解成$(x-2)^2\(=0\)$（√） ## 四、中考综合训练 10. 用因式分解法解方程：$3x^2-6x\(=0\)$ **解** 提公因式：$3x(x-2)\(=0\)$ $3x\(=0\)$ 或 $x-2\(=0\)$ $\therefore x_1\(=0\),\ x_2=2$。 11. 用因式分解法解方程：$(x-4)^2=25$ **解** 移项：$(x-4)^2-25\(=0\)$ 平方差：$(x-4+5)(x-4-5)\(=0\)$ $(x+1)(x-9)\(=0\)$ $x+1\(=0\)$或$x-9\(=0\)$ $\therefore x_1=-1,\ x_2=9$。 12. 解方程：$x^2-7x+12\(=0\)$ **解** 十字相乘分解：$(x-3)(x-4)\(=0\)$ $x-3\(=0\)$或$x-4\(=0\)$ $\therefore x_1=3,\ x_2=4$。 13. 解方程：$(2x+1)^2=(x-3)^2$ **解** 移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2\(=0\)$ 平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]\(=0\)$ $(3x-2)(x+4)\(=0\)$ $3x-2\(=0\)$或$x+4\(=0\)$ $\therefore x_1=\dfrac23,\ x_2=-4$。 ## 五、方法总结 因式分解法是**最快**的解法，优先使用； 解方程选择顺序：能因式分解优先因式分解，其次直接开平方法；配方法、公式法通用。 核心口诀：**移项使右边为0，左边分解成乘积，各因式等于0，一次方程来求解。** 高频陷阱： 1. 右边不为0，强行拆分因式； 2. 等式两边直接约掉含$x$的代数式，丢失根； 3. 十字相乘、平方差符号出错； 4. 混淆“且”和“或”。 因式分解法计算题中考常考，和一元二次方程应用题结合紧密。 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用该关系不解方程求出两根之和与两根之积. 通过求根公式推导和因式分解法验证，经历根与系数关系的探究过程，培养学生观察、归纳、推理的能力. 体会数学知识的内在联系，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生的探究兴趣. 学习目标 思考 上节课我们学习了一元二次方程的求根公式，谁能说一说求根公式是什么？它的适用条件是什么？ 对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个实数根： 求根公式直接给出了根与系数的关系，那么除了这种形式，两个根的和、积与系数之间有没有更简洁的关系呢？ 这就是本节课我们学习的主题——一元二次方程根与系数的关系 求根公式使用条件 求根公式 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程 (x − x1)(x − x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？ 若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ (x − x1)(x − x2) = 0 x2 − (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 猜想 x1 + x2 = −p， x1·x2 = q 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明： 前提：b2 − 4ac≥0 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 满足上述关系的前提条件： △=b2 − 4ac≥0. 注意 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 韦达（1540−1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2 −1 3 0 一元二次方程 x1 + x2 x1 · x2 x2 −2x −1 = 0 2x2 −3x + = 0 2x2 −6x = 0 3x2 =4 不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： 0 首先判断每个方程的判别式△=b2 − 4ac≥0. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = –7 , x1 x2 = 6. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (2) 2x2 − 3x − 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = −3 , c = −2. Δ= b2 − 4ac = (− 3)2 – 4 × 2 × (−2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = −1 . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知方程x2−(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4−2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= − 2 由根与系数关系，得2x1 ＝−3 k, 即 2 x1 ＝−6 ∴ x1 ＝−3 答：方程的另一个根是−3 , k的值是−2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 x1 + x2 = – , x1 x2 = . 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=−p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2−(x1+x2)x+x1x2=0. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解：首先化为一般式 则： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解： 利用根与系数的关系常见代数式求值 1. 返回 [广西中考]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　) A．－25 B．－20 C．20 D．25 C 举一反三 16 返回 2. [湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 举一反三 返回 3. 以2和－5为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0 C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0 C 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 是方程 x2−3x−4＝0 的两个实数根，则 的值为 . 0 解：根据题意得 α+β=3，αβ=−4， 所以原式 = α(α+β)−3α =3α−3α =0． 由题意 是方程 x2−3x−4＝0 的根，则 −3−4＝0，即＝34，所以原式＝34 =4 =−44 =0 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （2026·四川广安·中考真题）已知x1， x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则k的取值范围是_____． 解：由题意，方程的根的判别式 ， 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， ， ，代入得： ， 移项，系数化为1得： ， 综上，k的取值范围是 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果一元二次方程 的两个根互为相反数，那么m=_______. 解：设原一元二次方程的两根为 x1， x2， ∵两根互为相反数，∴ ， 该方程中 ， ，根据根与系数的关系可得 ， 因此得 ，解得 ． 当时，Δ=(m+1)²−4m=4>0，方程有两个实数根， ∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设x1，x2是方程 x2 −2(k − 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k − 1)2 − 4k2 ≥ 0 即 −8k + 4 ≥ 0，∴k≤ . 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k −1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(k −1)2 −2k2 = 2k2 −8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 − 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解： 已知 有两个不相等的实根； (1)求k的取值范围; (2)是否存在k，使两根的倒数和等于0？ (1) k≠0，且 (2) 则 即k=−1， 故不存在. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一元二次方程 的两个根为x1， x2，且x1 + x2 =4 ， ， 那么这个一元二次方程是_____. 解：由题意，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ∵x1 + x2 =4 ，x1 · x2 =3 ， ∴ ， ∴这个一元二次方程是 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一元二次方程 的两个根为x1， x2，且x1 + x2 = 4 ， ， 那么这个一元二次方程是_____. 以实数 x1，x2 为两根一元二次方程是 a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=0. 因此可设一元二次方程为m(x2−4x+3)=0, 对比 可知，m=1， ∴这个一元二次方程是 ． 返回 4. [教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－2＝0；　 (2)3x2－2x－6＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2. 举一反三 返回 (3)4x2＋1＝7x; (4)3x2＋5x－2＝2x＋3. 举一反三 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 返回 5. C 举一反三 已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 返回 6. B 举一反三 返回 7. [苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． －3 举一反三 返回 8. [眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________． －2 举一反三 返回 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________． 举一反三 32 返回 10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)x12x2＋x1x22；　　　 解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2. (1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10. 举一反三 33 返回 11. [河北中考]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 举一反三 34 返回 12. 若一矩形的长和宽是方程x2－14x＋48＝0的两根，则该矩形的对角线长为(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 A 举一反三 35 13. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 B 返回 举一反三 14. 【易错题】[内江中考]节选已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不等的实数根x1和x2，且x12＋x22＝2p＋1，则p的值为________． 3 返回 举一反三 15. [成都中考]若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________． 7 返回 举一反三 16. [遂宁中考]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 返回 证明：Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋8. ∵无论m取何值，m2＋8>0恒成立， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． 举一反三 (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m的值． 返回 解：∵x1，x2是方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1， ∴x12＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(m＋2)2－3(m－1)＝9， 解得m1＝1，m2＝－2. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程的根与系数 的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 x1 + x2 = – , x1 x2 = . 内容 应用 …… 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－2. 解：方程可化为3x2＋3x－5＝0， ∴x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－. 解：方程可化为4x2－7x＋1＝0， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝. m＞ (2)＋＝＝－. (2)＋. $