25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.2.2 公式法 专项练习（人教版\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **求根公式推导** 对于一元二次方程 $\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a≠0)}$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)通过配方法推导出求根公式： $$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$ 2. **根的判别式** $\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$（读作德尔塔） - $\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等**的实数根； - $\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等**的实数根； - $\boldsymbol{\Delta<0}$：**无实数根**。 3. **公式法解方程步骤** ①化一般形式：整理成 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$； ②确定系数：写出$\(a,b,c\)$（**带前面正负号**）； ③算判别式：$\Delta=b^2-4ac$； ④判断：$\Delta\ge0$代入求根公式；$\Delta<0$直接写无实数根； ⑤代入公式计算\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)写出两根。 >易错提醒 ①先化成一般式\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)再找$\(a,b,c\)$； ②$b$为负数时\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b$变成正数\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)极易符号出错； ③根号下是$\Delta$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)不要漏写根号； ④分母是$2a$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)不是$2$； ⑤只有$\Delta\ge0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)才能使用求根公式。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 一元二次方程$2x^2-5x-1=0$中\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\(a,b,c\)$的值是（） A.$a=2,b=-5,c=-1$ B.$\(a=2,b=5,c=1\)$ C.$a=-2,b=-5,c=-1$ D.$a=2,b=-5,c=1$ **答案：A** 2. 方程$x^2-2x-3=0$的判别式$\Delta$等于（） A.$-8$ B.$8$ C.$16$ D.$-16$ **答案：C** 3. 方程$x^2-4x+4=0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta=$____\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)根的情况：两个相等实数根。 **答案：0** 4. 方程$x^2-2x+5=0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta$____0\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)方程无实数根。 **答案：<** 5. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$求根公式：________。 **答案：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$** ## 三、能力提升（解答题\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)写出完整步骤） 6. 用公式法解方程：$x^2-2x-8=0$ **解** $a=1,b=-2,c=-8$ $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$ $$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{2\pm6}{2}$$ $x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2$ $\therefore x_1=4,\ x_2=-2$。 7. 用公式法解方程：$2x^2+5x-3=0$ **解** $a=2,b=5,c=-3$ $\Delta=5^2-4\times2\times(-3)=25+24=49>0$ $$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{-5\pm7}{4}$$ $x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3$ $\therefore x_1=\dfrac12,\ x_2=-3$。 8. 用公式法解方程：$x^2-4x+4=0$ **解** $a=1,b=-4,c=4$ $\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$ $$x=\dfrac{4\pm\sqrt{0}}{2}=2$$ $\therefore x_1=x_2=2$。 9. 易错题 判断正误（对√\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)错×） ①方程$3x^2-2x=1$直接取$a=3,b=-2,c=1$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)先移项\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$c=-1$） ②求根公式分母是$2$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)分母$2a$） ③$\Delta=b^2-4ac<0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)方程没有实数根（√） ④$x^2-x-2=0$中\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b=-1$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b=1$） ## 四、中考综合训练 10. 用公式法解方程：$3x^2-2x-2=0$ **解** $a=3,b=-2,c=-2$ $\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-2)=4+24=28>0$ $$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{28}}{2\times3}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$$ $\therefore x_1=\dfrac{1+\sqrt7}{3},\ x_2=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$。 11. 不解方程\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)判断$2x^2-5x+4=0$实数根情况。 **解** $a=2,b=-5,c=4$ $\Delta=(-5)^2-4\times2\times4=25-32=-7<0$ ∴方程没有实数根。 12. 已知关于$x$方程$x^2-2x+m=0$有两个不相等实数根\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)求$m$取值范围。 **解** $a=1,b=-2,c=m$ 方程有两个不等实根\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta>0$ $\Delta=(-2)^2-4\times1\times m>0$ $4-4m>0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)解得$\(m<1\)$。 答：$\(m<1\)$。 13. 解方程：$x(x-2)=3$ **解** 整理为一般式：$x^2-2x-3=0$ $a=1,b=-2,c=-3$ $\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$ $$x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}$$ $x_1=3,\ x_2=-1$。 ## 五、方法总结 公式法万能\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)**任何一元二次方程都能用**\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)优先判别式判断根的情况。 做题顺序：整理一般式$\rightarrow$找$\(a,b,c\)$$\rightarrow$算$\Delta$$\rightarrow$代入公式。 高频陷阱： 1. 没化成一般形式\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)直接找$\(a,b,c\)$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)常数项符号出错； 2. $b$带负号时\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b$计算错误； 3. 判别式算错符号； 4. 化简根式不彻底； 5. 分母忘记乘以$a$。 判别式是中考高频考点\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)既可以解方程\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)也可以根据根的情况求参数范围。 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？继续写25.2.3因式分解法？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.2.2 公式法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 掌握求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程. 理解求根公式的推导过程；理解根的判别式与根的情况的内在联系. 经历从配方法到求根公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力. 学习目标 新课引入 思考 上节课我们学习了用配方法解一元二次方程，你还记得配方法完整的解题步骤吗？ 配方法解方程步骤： 二次项系数化为 1→移项→配方（两边加一次项系数一半的平方）→开平方→求解. 每解一个方程都要重复这五步，能不能用配方法对方程的一般形式 进行配方，得到一个通用的求根公式，直接代入计算呢？ 这就是本节课学习的主题——公式法. 情境导入 3 用配方法解方程：3x2+8x–3=0. 解：移项，得 3x2+8x=3. 二次项系数化为1，得x2+x=1. 配方，得 x2+x+()2=1+()2，(x+)2=. 由此可得 x+=±，即x1= – 3，x2= . 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 情境导入 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2−4ac 的符号有以下三种情况： (1) b2−4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) b2 − 4ac = 0， (3) b2 − 4ac ＜0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = . 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ = b2 − 4ac. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 判别式的情况 根的情况 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）方程2x2+x−6=0中，a= ，b= ， c= ； b2−4ac= . （2）方程5x2−4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . （3）方程4x2−4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . −4 1 −6 49 5 −4 −12 236 4 2 1 0 先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c： 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 按要求完成下列表格： 方程 Δ的值 根的 情况 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据方程根的情况， 确定方程中的字母的取值范围 不解方程， 判断方程根的情况 应用判别式证明方程根的情况 一元二次方程根的判别式的应用 1. 返回 [石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(　　) A．28 B．4 C．25 D．16 B 举一反三 12 返回 2. 关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(　　) A．m2－12 B．m2＋12 C．m2－3 D．m2＋3 B 举一反三 返回 3. [扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( ) A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 有两个实数根 解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ， 因为 Δ= (−5)2−4×1×7= −3<0， 所以此方程没有实数根.故选A. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于 x 的一元二次方程 x2−4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( ) A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2−4x＋5＝a有实数根， 方程转化为（x−2) 2+1= a ，要使方程成立，即a−1≥0， 解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ． k<2且k 0 解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根， 所以 k≠0且Δ＞0，即 (−4)2−4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， 所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ = 4 + 4k≥0 k≥−1 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 解：方程整理得(b+c)x2−2ax−(b−c)=0， 因为方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， 所以Δ=4a2−4(b+c)·[−(b−c)]=0， 即a2+b2=c2， 根据勾股定理的逆定理得，此三角形为直角三角形 所以此三角形为直角三角形． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用公式法解下列方程: (1) 5x2−3x−1=0; 解：(1) ∵a=5,b=−3,c=−1 ∴Δ =b2−4ac=(−3)2−4×5×(−1)=29>0 方程有两个不相等的实数根. 即 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∴Δ =b2−4ac= (2) 方程化为 故方程无实数根. 用公式法解下列方程: (2) 一元二次方程的求根公式 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 Δ = b2 − 4ac≥0 时，才可以用求根公式. 注意 公式法解方程的步骤 01 02 03 04 1. 变形： 化已知方程 为一般形式； 2. 确定系数： 用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算： b2 − 4ac 的值； 4. 判断： 若 Δ = b2 − 4ac≥0， 则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0， 则方程没有实数根. 公式法解方程的步骤 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2−4ac Δ≥0？ 无实数根 否 套公式求解 是 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 方程有两个相等的实数根. a=−2,b=−8,c=−8 △=b2−4ac=(−8)2−4×(−2)×(−8)=0 (3) 方程化为−2x2−8x−8=0 用公式法解下列方程: (3) x2−8x=3x2+8; 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用公式法解下列方程: (4) 3x−x2= 5x−7. 解：(4) 整理，得 ，∵a=1,b=2,c=−7， ∴ 方程有两个不相等的实数根. 即 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 m为实数，关于x的方程为 ． (1)判断方程根的情况． (1)解：原方程为一元二次方程，可化为 ． 无论m为何实数，m2都是非负数．即 ． ∴原方程总有两个实数根． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：由(1)，原方程的根 ． 或 ． 若 ，则 ， ． 若 ，则 ， ． 综上，m的值为2或−1． m为实数，关于x的方程为 ． (2)若方程的两根为 ，当 时，求m的值． 返回 4. [上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D 举一反三 [教材P17习题T4变式]不解方程，判断下列方程的根的情况： 返回 5. 举一反三 解：方程整理得3x2－8x－1＝0， 则a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－1)＝64＋12＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)8x＝3x2－1； 返回 举一反三 返回 举一反三 (4)5x2＋5x＝4x2－10. 解：方程整理得x2＋5x＋10＝0， 则a＝1，b＝5，c＝10， ∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×10＝－15＜0， ∴方程无实数根． 返回 举一反三 用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是(　　) A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3 返回 6. B 举一反三 返回 7. [邢台襄都区期中]若某一元二次方程的根为x＝ ，则该一元二次方程可以为(　　) A．2x2＋3x＋1＝0 B．2x2－3x＋1＝0 C．2x2－3x－1＝0 D．2x2＋3x－1＝0 A 举一反三 返回 8. 用公式法解方程：2x2＋4x＝x＋2. 解：方程化为一般形式，得______________． a＝________，b＝________，c＝________． Δ＝b2－4ac＝________． 方程有________________实数根， 为x＝ ＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 2x2＋3x－2＝0 2 3 －2 25>0 两个不相等的 －2 举一反三 返回 9. [教材P11例3变式]用公式法解下列方程： (1)x2＋4x－6＝0； 解：∵a＝1，b＝4，c＝－6， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－6)＝40＞0， 举一反三 37 返回 举一反三 (3)2x2＋3＝3x. 返回 解：方程化为一般形式得2x2－3x＋3＝0， 则a＝2，b＝－3，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×3＝－15＜0， ∴方程无实数根． 举一反三 返回 10. [内江中考]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1 C 举一反三 40 返回 11. 嘉琪在解一元二次方程●x2－4x＋2＝0时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程无实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是(　　) A．－1 　 B．1 C．2 D．3 D 举一反三 41 返回 12. [河北中考]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　　) C 举一反三 42 13. 已知a，b，c分别是三角形的三边长，且关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，则该三角形是________三角形． 直角 返回 举一反三 14. 已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)试判断方程的根的情况； 返回 解：∵a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2，∴Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0，∴此方程总有两个实数根． 举一反三 (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 返回 解：方程的根为x＝ 即x1＝k－1，x2＝2. ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴0<k－1<1，∴1<k<2. 举一反三 15. [南充中考]已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不等的实数根． (1)求k的取值范围； 返回 解：∵关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4>0，解得k＞1. 举一反三 (2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 解：由(1)得k＞1.∵k＜5，∴1＜k＜5，∴整数k的值有2，3，4. 当k＝2时，方程为x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3(都是整数，符合题意)； 当k＝3时，方程为x2－6x＋7＝0，解得x＝3± (不是整数，舍去)； 当k＝4时，方程为x2－8x＋13＝0，解得x＝4± (不是整数，舍去)． 综上所述，k的值为2. 返回 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根的情况 公式法 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 − 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） Δ =b2 − 4ac > 0 务必将方程 化为一般形式 求根公式 步骤 有两个不等的实数根 Δ =b2 − 4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ =b2 − 4ac < 0 原方程没有实数根 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：∵a＝1，b＝－1，c＝， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝1－1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． (1)x2－x＋＝0; (3)x2－2 x＋4＝0; 解：∵a＝1，b＝－2 ，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×4＝－4＜0， ∴方程无实数根． ∴x＝＝＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)6x2－2 x＋1＝0； 解：∵a＝6，b＝－2 ，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×6×1＝0， ∴x1＝x2＝－＝－＝. A．1　 B．－1　 C．＋1　 D．1或＋1 ， $