专题5 二次函数与一元二次方程、不等式综合专项（单元复习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题5 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 3 知识点二、二次函数与不等式的关系 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 5 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 6 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 6 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 7 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 8 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 9 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 10 【题型8 图像法解一元二次不等式】 11 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 12 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 13 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 14 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 15 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 20 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・抛物线与 x 轴交点和对应一元二次方程根的转化，判别式判断交点个数。 ・根据图象直接写出(y>0、y<0)时自变量的取值范围。 ・已知交点坐标求函数解析式，利用方程根求解抛物线相关参数。 ・结合函数图象，比较函数值，求解简单二次不等式。 ・含参数综合：根据交点情况求参数取值范围，数形结合推理。 ・基础命题：给出抛物线图象，判断与 x 轴交点个数、直接读取不等式解集；选择填空为主，难度偏低。 ・综合命题：结合交点个数求参数，方程根、函数图象相互转化；多为填空压轴或解答小问，考查数形转化。 ・素养命题：借助图象探究含参问题，不直接解方程，依托图形分析根的分布，侧重数形结合思维。 考情解码： ・模块地位：打通二次函数与一元二次方程，是数形结合典型板块，为二次函数几何综合铺垫。 ・考频与分值：期中期末必考；中考常作为二次函数大题小问，分值 4–8 分。 ・高频考法：判别式判断交点；由图象写不等式解集；交点与方程根互化；根据交点求参数。 ・失分规律：看错抛物线开口方向导致不等式解集写反；忽略参数前提条件；分不清交点横坐标与方程根，解集方向写反是高频丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知抛物线，则当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 【变式1-2】关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个不同的交点 【变式1-3】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向下 B．抛物线的对称轴在轴左侧 C．与轴正半轴可以相交 D．当时，随的增大而减小 【变式2-1】已知二次函数的图象全部在x轴的上方，那下列判断中正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-3】已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数，若，是关于的方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（   ） A．＜＜＜ B．＜＜＜ C．＜＜＜ D．＜＜＜ 【变式3-2】已知点P（m，n）在抛物线上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若n=-2，则点P的个数为0．乙：若n=-1，则点P的个数为1．丙：若n=4，则点P的个数为0．下列判断正确的是（     ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 【变式3-3】关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　） A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2 D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【变式4-1】二次函数图象上部分的对应值如下表，则时，x的取值范围是（     ） x 0 1 2 3 y 0 2 2 0 A． B．或 C． D．或 【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例5】已知二次函数的几组对应值如下表： x y 给出下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不对 【变式5-3】二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表： 其中正确的结论是（     ）． A．抛物线开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．当时， D．方程的负根在与之间 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 【例6】对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 【例7】根据表中二次函数的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程的其中一个解的取值范围是（     ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.12 A． B． C． D． 【变式7-1】根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-2】设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 【变式7-3】函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【题型8 图像法解一元二次不等式】 【例8】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【变式8-1】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 【例9】已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是(   ) A． B．0 C．2 D．4 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 【例10】如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 【变式10-1】如图所示，抛物线与直线相交于，两点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式10-2】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式10-3】如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 【例11】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式11-1】由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【变式11-3】观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（     ） x 0 1 2 3 4      5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．已知二次函数，下列结论错误的是（     ） A．抛物线开口向下，顶点为 B．抛物线开口向上，对称轴是直线 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，随增大而减小 2．如图，在中，，以为边向上作正方形．若阴影部分面积是面积的4倍，则关于x的二次函数的图象与x轴（     ） A．没有交点 B．有1个交点 C．有2个交点 D．交点个数由a，b取值决定 3．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，抛物线与x轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值是4 D．抛物线与轴没有交点 6．已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 8．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 9．已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 11．抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 12.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点． (1)有同学在研究了抛物线的解析式后，得出下面的结论：因为m是任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即点C可以在y轴任意位置上，你认为有道理吗？说出你的想法． (2)若，， ①求m的值； ②如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点，当时，求n的值； ③如图2，将直线绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线，请直接写出的值． 13．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 14．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题5 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 3 知识点二、二次函数与不等式的关系 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 5 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 7 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 9 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 11 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 15 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 17 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 19 【题型8 图像法解一元二次不等式】 21 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 25 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 28 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 30 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 31 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 49 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・抛物线与 x 轴交点和对应一元二次方程根的转化，判别式判断交点个数。 ・根据图象直接写出(y>0、y<0)时自变量的取值范围。 ・已知交点坐标求函数解析式，利用方程根求解抛物线相关参数。 ・结合函数图象，比较函数值，求解简单二次不等式。 ・含参数综合：根据交点情况求参数取值范围，数形结合推理。 ・基础命题：给出抛物线图象，判断与 x 轴交点个数、直接读取不等式解集；选择填空为主，难度偏低。 ・综合命题：结合交点个数求参数，方程根、函数图象相互转化；多为填空压轴或解答小问，考查数形转化。 ・素养命题：借助图象探究含参问题，不直接解方程，依托图形分析根的分布，侧重数形结合思维。 考情解码： ・模块地位：打通二次函数与一元二次方程，是数形结合典型板块，为二次函数几何综合铺垫。 ・考频与分值：期中期末必考；中考常作为二次函数大题小问，分值 4–8 分。 ・高频考法：判别式判断交点；由图象写不等式解集；交点与方程根互化；根据交点求参数。 ・失分规律：看错抛物线开口方向导致不等式解集写反；忽略参数前提条件；分不清交点横坐标与方程根，解集方向写反是高频丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 【变式1-1】已知抛物线，则当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】把代入计算的值，观察图象即可解答． 【详解】解：当时，， 解得，， 抛物线开口向上，时抛物线在轴下方两根之间的部分， ． 【变式1-2】关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个不同的交点 【答案】C 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项． 【详解】解：， 、对称轴是直线，故选项不符合题意； 、顶点坐标为，故选项不符合题意； 、图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 故选项符合题意； 、抛物线顶点在轴上，则与轴只有一个交点，故选项不符合题意． 【变式1-3】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向下 B．抛物线的对称轴在轴左侧 C．与轴正半轴可以相交 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 【变式2-1】已知二次函数的图象全部在x轴的上方，那下列判断中正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象全部在x轴的上方，可得抛物线开口向上，抛物线与轴没有交点，与轴的交点在正半轴，进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图象全部在x轴的上方， ∴抛物线开口向上，抛物线与轴没有交点，与轴的交点在正半轴， ∴，，， 故选项D正确． 【变式2-2】如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标，结合图象即可判断所在坐标系的原点． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为，与轴交点坐标为， 观察图象可知，坐标系的原点可能是点． 【变式2-3】已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐个分析求解即可． 【详解】解：由，得，，． 抛物线开口向下，故A错误． 抛物线顶点坐标为，故B错误， 抛物线开口向下，顶点纵坐标为，即抛物线最高点的纵坐标为，图象全部在轴下方 抛物线与轴没有交点，故C正确． 当时， 抛物线与轴交点坐标为，故D错误． 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和两点纵坐标相同，都在二次函数的图象上，因此是对应一元二次方程的两个根，利用方程解的定义变形所求代数式，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 把和两点坐标代入函数解析式中， 得，， 整理得，， 是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 又由得，， 将代入所求代数式中得， ． 【变式3-1】已知二次函数，若，是关于的方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（   ） A．＜＜＜ B．＜＜＜ C．＜＜＜ D．＜＜＜ 【答案】A 【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：、一定是一个最大、一个最小，而、一定介于、之间，从而解答本题． 【详解】解：∵二次函数的解析式是 ∴ ∴该二次函数的抛物线开口向上 ∵、是关于的方程的两个根 ∴当或时， ∵当或时， ∴、一定是一个最大、一个最小，而、一定介于、之间． 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答． 【变式3-2】已知点P（m，n）在抛物线上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若n=-2，则点P的个数为0．乙：若n=-1，则点P的个数为1．丙：若n=4，则点P的个数为0．下列判断正确的是（     ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【分析】根据不同的n的值，列出一元二次方程，根据根的判别式判断点P的个数． 【详解】解：若，令，得，整理得， ∵， ∴方程没有实数根，即点P的个数为0； 若，令，得，整理得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，即点P的个数为1； 若，令，得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，即点P的个数为2； ∴甲和乙是对的，丙是错的． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是利用一元二次方程根的判别式判断二次函数与直线交点的个数． 【变式3-3】关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　） A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2 D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值 【答案】A 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算当y=0时对应的方程的判别式的值即可判断A项，根据二次函数的性质即可判断B、D两项，把点（0，0）代入二次函数的解析式可得关于m的方程，解方程即可判断C项，进而可得答案． 【详解】解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，所以该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故本选项说法正确，符合题意； B．函数的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口向下，所以当x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意； C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故本选项说法错误，不符合题意； D．函数的对称轴为直线x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，即顶点的纵坐标最小值为1，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，需要同时满足二次项系数不等于、一元二次方程根的判别式，据此解答即可． 【详解】解：是二次函数， 二次项系数， 二次函数的图像与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 综上，的取值范围是且． 【变式4-1】二次函数图象上部分的对应值如下表，则时，x的取值范围是（     ） x 0 1 2 3 y 0 2 2 0 A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先根据表格数据判断出该函数图象的开口方向和对称轴，结合时的x值求解即可． 【详解】解：根据表格数据，该函数图象的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该函数图象的开口向下， 又当和时，， ∴当时，x的取值范围是． 【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由图象可得出，，由对称轴可得出，进而可判断①，由抛物线的对称性可判断②，方程等于抛物线与直线的交点， 由图象可得出，进而可判断③，由②可知，当时，， 代入，即可判断④，先得出，根据当时，，得出关于a的取值范围，进而可得出n的取值范围． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下， ∴， ∵图象与轴交点的纵坐标是2， ∴， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，且一个交点满足在， ∴，， ∵， ∴，故②正确； 方程的根等于抛物线与直线的交点横坐标， 由图象可知：， ∴直线在顶点下方， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线必有两个交点， 则方程一两个不相等的实数根，故③正确； ∵，即， ∴， ∵， ∴， 由②可知，当时，， ∴即， ∴， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， 由函数图象可知：当时，， 即， ∴， 解得：， 则， ∴ 即，故⑤正确， 综上：①②③⑤正确． 【变式4-3】如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得出对称轴为：，结合图形及点C的横坐标即可求解． 【详解】解：∵与x轴相交于点，点， ∴对称轴为：， ∵与 y轴相交于点C，点D在抛物线上，轴， ∴点C的横坐标为0， ∴点D的横坐标为6， ∴． 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例5】已知二次函数的几组对应值如下表： x y 给出下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再把解析式化为顶点式即可判断①②③；根据当和时的函数值都为0，得到二次函数与x轴有两个交点，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，故①②正确； ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ∵当和时的函数值都为0，即二次函数与x轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∴正确的有①②④，共3个． 【变式5-1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格信息估算一元二次方程的近似解即可. 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是. ∴C符合题意. 【变式5-2】函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不对 【答案】A 【分析】观察图象得：函数的最大值为4，可得函数的图象与直线有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：观察图象得：函数的最大值为4， ∴函数的图象与直线有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根． 【变式5-3】二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表： 其中正确的结论是（     ）． A．抛物线开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．当时， D．方程的负根在与之间 【答案】D 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，当时，，当时，，进而解得，，得到二次函数的解析式为，进而根据二次函数的图象和性质对各选项判断即可得到答案． 【详解】解；由表格数据可知，和的函数值都是，且当时，， 二次函数的对称轴为直线，即，即， 当时，， ，即， 代入，得，解得：，， 二次函数的解析式为：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，故选项错误； 当时，，故选项错误； 当时，；当时，， 方程的负根在与之间，故选项正确． 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 【例6】对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是,另一个是，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=－，再代入计算即可． 【详解】解：令时，， 解得：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是和， ∴AnBn=－ ∴ ＝． 故选D． 【点睛】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标． 【变式6-1】已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1•x2＝3，即可解答 【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m， 得到m＝3， 所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点， 设A(x1，y1)，b(x2，y2) ∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝3， ∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2； 故选B． 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入. 【变式6-2】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式6-3】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 【例7】根据表中二次函数的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程的其中一个解的取值范围是（     ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.12 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像中自变量的取值与函数值的关系分析求解，即可解题． 【详解】解：由表格可知，时，；时，； 又， 即时，可在与之间取值， 关于x的方程的其中一个解的取值范围是． 【变式7-1】根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】一元二次方程的解，就是二次函数的函数值时对应的x的取值，根据函数值与3的大小关系变化判断对应一元二次方程解的取值范围． 【详解】解：分析表格中函数值的变化： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知x在1.1到1.4之间逐渐增大时，y的值也逐渐增大，函数呈递增趋势；因此当函数值从2.29上升到3.76的过程中，必然存在一个x使得，该x的取值在1.3和1.4之间． 【变式7-2】设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格得 当时，， 当时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 【变式7-3】函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象的对称轴性质进行估算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 函数图象与轴的两个公共点关于直线对称． 公共点的横坐标约为， 另一个公共点的横坐标约为， 方程 的负的实数根约为． 【题型8 图像法解一元二次不等式】 【例8】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 【变式8-1】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【变式8-2】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 【变式8-3】如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 【例9】已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 【变式9-1】已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，根据，，结合抛物线开口方向利用抛物线的对称性可得，且，再根据即可解答． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴二次函数的图象开口向下． ∵，且， ∴，且． ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【变式9-2】对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 【变式9-3】已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是(   ) A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由时，x的取值范围为或，可得抛物线的对称轴为，从而可得b与a的关系，将代入二次函数解析式，用含a的代数式表示m，求出m的范围，进而求解． 【详解】当时，x的取值范围为或， ∴为抛物线上的点， ∴抛物线的对称轴为 ， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线经过点， ∴四个值中有可能为m的是4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图像上的点的坐标特征． 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 【例10】如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先由得出，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 【变式10-1】如图所示，抛物线与直线相交于，两点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和交点即可求解． 【详解】解：， 两边同时加可得， 由图象可知，不等式的解集为或． 【变式10-2】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【变式10-3】如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和系数之间的关系，判断①；根据对称轴和特殊点判断②；图象法判断③即可. 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵图象与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴，图象与轴的另一个交点为， ∴，， ∴，，故①②正确； 由图象可知，当时，或；故③错误； 综上：正确的有2个. 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 【例11】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格，找出的值由小于0.06变到大于0.06对应的x的范围即可． 【详解】解：∵当时， ，当 时， ， ∴方程 的一个解的范围是 ． 【变式11-1】由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，， 当时，，且， ∴方程的一个根的范围是． 【变式11-2】根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴方程的一个解的取值范围为． 【变式11-3】观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（     ） x 0 1 2 3 4      5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【详解】解：由表可以看出，当x的值为1和2之间的某个数时，，即这个数是方程的正数解， ∴该方程的正数解在1和2之间． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．已知二次函数，下列结论错误的是（     ） A．抛物线开口向下，顶点为 B．抛物线开口向上，对称轴是直线 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，随增大而减小 【答案】A 【详解】解：二次函数中， 故抛物线开口向上，对称轴为轴，即对称轴是直线，顶点为，函数图象与x轴没有交点， 当时，随增大而减小； ∴A选项说法错误，B、C、D选项说法正确． 2．如图，在中，，以为边向上作正方形．若阴影部分面积是面积的4倍，则关于x的二次函数的图象与x轴（     ） A．没有交点 B．有1个交点 C．有2个交点 D．交点个数由a，b取值决定 【答案】C 【分析】易得正方形的面积是面积的5倍，利用面积公式和勾股定理得到，进而得到，求出判别式的符号，即可得出结果. 【详解】解：由题意，正方形的面积是面积的5倍， ∵， ∴的面积为， ∴正方形的面积为， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点. 3．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，再由对称轴计算公式可得，据此可判断①③；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点，据此可判断②；当时，，根据对称性质可得，可判断④． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴，，故①错误；③正确 ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵对称轴是直线， ∵当时，， ∴当时，， 故④错误； ∴正确的为②③，共2个． 4．如图，抛物线与x轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口，与轴交点位置，以及对称轴判断符号，以及的关系，即可判定A、B、C，再由抛物线与轴的交点个数判断D． 【详解】解：由抛物线开口向上可得，， 抛物线与轴交点在轴负半轴，可得 对称轴，则 故，故A正确； 由，可得，，故，故B错误，符合题意； ，故C正确； 由于抛物线与轴有两个交点，故，故D正确． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值是4 D．抛物线与轴没有交点 【答案】B 【分析】根据二次项系数小于0可判断A；把解析式化为顶点式得到对称轴，根据增减性可判断B；抛物线开口向下，则函数没有最小值，据此可判断C；当时，，利用判别式判断方程是否有实数根即可判断D． 【详解】解：A、∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，原说法错误； B、∵， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，原说法正确； C、∵抛物线开口向下， ∴函数只有最大值，没有最小值，原说法错误； D、当时，，即， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法错误． 6．已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由开口方向，对称轴和与y轴的交点位置得到，，，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标得到，即可判断②；将代入得到，表示出，然后代入即可判断③；由图象得，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和0之间，另一个交点坐标为 ∴抛物线的对称轴 ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴ ∴ 由图象得，当时， ∴ 整理得，，故③正确； 由图象得，当时，，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为3． 7．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 8．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 9．已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意画出函数大致图象，利用抛物线与轴交点坐标得到对称轴范围，结合开口方向和交点特征，逐一判断各结论即可． 【详解】解：根据题意画出函数大致图象如下： ∵抛物线与轴交于点，，且 ， ∴抛物线对称轴为，可得 ． ∵，由，可得 ， ∵位于两个交点之间，抛物线开口向上， ∴时， ， ∴． 故①正确． 由，不等式同乘（，不等号方向改变）， 得，即， 故②正确． 二次函数的最小值为 ， ∵， 又∵ ， ， ， ， ∴函数的最小值小于． 故③错误． ∵在函数中，当时，，当时，， ∴抛物线与直线的交点为和 ． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线在直线上方时或 ， 即不等式解集为或， 故④错误． 故正确的结论有2个． 10．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 11．抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 12.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点． (1)有同学在研究了抛物线的解析式后，得出下面的结论：因为m是任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即点C可以在y轴任意位置上，你认为有道理吗？说出你的想法． (2)若，， ①求m的值； ②如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点，当时，求n的值； ③如图2，将直线绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线，请直接写出的值． 【答案】(1)没道理，理由如下： 在抛物线中，当时，， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点C的纵坐标最小值为， ∴无论m取何值，点C都不能到达以下的位置． (2)①1或4；②1；③ 【分析】（1）先求出点C的坐标为，从而得出点C的纵坐标最小值为，由此即可得出结论； （2）①将代入抛物线，计算即可得出结果；②由①可得，抛物线的解析式为，求出，从而可得，进而得出，即，求出，则，由题意可得，则，从而可得，计算即可得出结果；③由②可得，设的中点为，则，待定系数法求出直线的解析式为，将它向上平移个单位长度，得到直线的解析式为，设，则． 【详解】（1）略； （2）解：①将代入抛物线得， 整理得， 解得，， 故的值为或； ②由①可得，抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 轴， , ，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴； ③由②可得， 如图，设的中点为，则， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 将它向上平移个单位长度，得到直线的解析式为， 设，则． 13．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 14．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】(1) 直线 (2) 或 【分析】（1）先将抛物线一般式配方为顶点式，因为抛物线顶点式可直接得到对称轴表达式，所以代入即可计算对称轴． （2）首先明确时抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．问题转化为：取值范围内的所有点到对称轴的距离，都小于等于取值范围内的所有点到对称轴的距离，由此建立关于h的不等式组求解． 【详解】（1）解： ， 对称轴为直线． 当时，对称轴为． （2）解：，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大． 对任意，，都有， 将 代入顶点式得：， ， ， 要对所有范围内的 都满足这个不等式，只需要让范围内 的最大值小于等于 范围内 的最小值即可． 是开口向上的二次函数，范围内的最大值一定出现在端点处： 端点 处：， 端点 处：， 当 时，，最大值为 ； 当 时，，最大值为 ； 的范围是，令，则的范围是，开口向上，对称轴为； 当 时，，全为正，最小值在左端点，为 ； 当 时，，在范围内，最小值为； 当 时，，全为负，最小值在右端点，为； 情况1：当时，，展开整理得：，恒成立， 因此所有 都满足条件． 情况2：当 时，，展开整理得：， 解得 或 ，结合当前范围得． 情况3：当时，正数（ 的平方最大值），不可能成立，无解． 情况4：当时，，展开整理得：，解得 或 ，结合当前范围得 ． 综上所述 的取值范围是：或． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $