3.1.2 函数的单调性知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.2 函数的单调性　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 从图象的升下降到严格的代数定义：单调性、定义法证明、平均变化率与求最值 图 1　本节知识地图：单调性定义、单调区间、定义法三步、最值、斜率、平均变化率与常见函数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解增函数、减函数的定义，会用符号语言刻画“y 随 x 的增大而增大（减小）”； ② 掌握单调区间的概念，理解单调性是函数的局部性质； ③ 掌握用定义判断或证明函数单调性的一般步骤（作差法）； ④ 了解最大值、最小值的概念，会借助单调性求简单函数的最值； ⑤ 了解直线的斜率与函数的平均变化率，理解单调性与平均变化率的关系。 重点 增函数与减函数的定义；用定义法证明单调性；单调区间的写法。 难点 定义中“任意”二字的意义；作差以后的变形定号；平均变化率与单调性的关系。 本节位于第三章“函数的概念与性质”，上承函数的概念与表示方法。单调性是研究函数性质的第一块基石：只有说清了一个函数在哪些区间上递增、在哪些区间上递减，才能进一步讨论它的最值与变化快慢。 二、情境引入（艾宾浩斯记忆曲线） 德国心理学家艾宾浩斯经过实验研究，得到了记忆保持量随时间变化的规律。以 x 表示时间间隔（单位：时），y 表示记忆保持量，则 y 是 x 的函数。从曲线可以看出：随着时间间隔 x 的增大，记忆保持量 y 将减小。 这给我们一个重要启发：学过的东西要及时复习，否则遗忘速度先快后慢。 在初中，我们已经接触过类似的变化规律： 函数 图象特征 变化规律 过原点的一条直线，从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 两支曲线，在每一支上从左到右下降 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 内，y 都随 x 的增大而减小 “y 随 x 的增大而增大”“y 随 x 的增大而减小”是自然语言，不够精确。本节的任务是：把这两种变化规律上升为严格的数学定义，并掌握判断与证明的方法。 三、增函数与减函数的定义 一般地，设函数 的定义域为 D，且 I 是 D 的子集（I⊆D）： （1）如果对任意 , ∈I，当 < 时，都有 <，则称 在 I 上是增函数（也称在 I 上单调递增）； （2）如果对任意 , ∈I，当 < 时，都有 >，则称 在 I 上是减函数（也称在 I 上单调递减）。 从图象上看：增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。 记忆曲线下降先快后慢，在图象上表现为开始一段比较陡峭，后面逐渐平缓。“陡峭”与“平缓”刻画的是函数值随自变量变化的快慢，把这种直观感受精确化，就得到第八节要学习的平均变化率。 为什么要严格定义： 自然语言中的“增大”没有统一的检验标准，不同的人可能有不同的理解；符号定义给出一个可以操作的标准——在区间内任取两点，比较它们的函数值。 与“证明是”需要验证任意两点不同，“说明不是”只需举出一对反例：只要找到 < 而函数值大小关系不符合要求的两个点，即可否定。 依据本节内容，判断函数的单调性有三条常用路线： 路线 做法 特点与适用 图象法 观察函数图象从左到右是上升还是下降 直观、快捷；但手工作图往往不精确，只宜作初步判断 定义法 在区间内任取两点作差，比较函数值的大小 严格、可证明，是判断与证明单调性的基本方法 结论法 借用一次函数、二次函数、反比例函数等的已知结论 快捷；但只适用于已经证明过的常见函数 图 2　增函数与减函数的定义：区间 I 上任取两点，自变量越小函数值也越小的是增函数，反之是减函数 关键词拆解： ① “任意”：、 必须是区间 I 上的任意两点，证明时不能以特殊值代替一般情形； ② “当 < 时”：先规定自变量的顺序，再比较函数值；也可以规定 >，此时不等号方向要相应调整； ③ “都有 <”：注意是严格小于（或严格大于），不是小于或等于； ④ “同一区间”：比较函数值的两点必须同属于一个区间 I，跨区间的两点无法比较单调性。 同一个定义，可以用三种语言表述： 语言形式 增函数 减函数 自然语言 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 图形语言 图象从左到右上升 图象从左到右下降 符号语言 < 时，< < 时，> 四、单调性与单调区间 如果函数 在区间 I 上单调递增或单调递减，那么就说这个函数在 I 上具有单调性；当 I 为区间时，称 I 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间。 理解单调区间的四个要点： ① 单调区间是定义域的子区间，谈单调性首先要看定义域，单调性是函数的局部性质； ② 单调区间可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域的一部分（如二次函数），也可以没有单调区间（如常函数）； ③ 单调性是对于区间而言的，单个点无所谓单调性；端点属于定义域时，单调区间可开可闭，一般取闭区间； ④ 单调区间一般不能取并集： 在 (−∞,0) 与 (0,+∞) 上都递减，但在整个定义域内不是减函数。 想一想：能否说 在定义域内是减函数？为什么？ 答：不能。取 =−1，=1，则 <，但 =−1<=1，不满足减函数定义中“< 时 >”的要求，所以不能说它在定义域内是减函数。 五、图象法判断单调性 图 3　图象法判断单调性：观察图象从左到右的升降，分段写出单调区间 由上图可以看出，从函数的图象能方便地看出函数的单调性，只要观察图象从左到右是上升的还是下降的。 上图所示的函数，单调区间有 [−6,−4]、[−4,−2]、[−2,1]、[1,3]、[3,6]，其中在 [−6,−4]、[−2,1]、[3,6] 上是增函数，在 [−4,−2]、[1,3] 上是减函数。 但一般情况下，得到函数的图象并不容易，手工作出的图象也往往不精确，因此还要探讨怎样从函数的解析式出发，利用定义证明函数的单调性。 六、定义法证明单调性的一般步骤 利用函数单调性的定义和不等式的证明方法，可以从解析式出发判断或证明函数的单调性，一般分为三步： 步骤 内容 要领 第一步 , ∈I，并假定 < 任取两点、设定顺序 第二步 作差：考察 − 的符号 变形定号（因式分解、配方等） 第三步 指出函数在 I 上是增函数还是减函数 与定义对照，写出结论 书写规范：证明的每一步都要有依据——“任取”体现任意性，“作差”后必须“定号”，最后对照定义写结论，三步缺一不可。 例 1　求证：函数 f(x)=−2x 在 R 上是减函数。 证明：任取 , ∈R，且 <，则 −<0。 作差：−=(−2)−(−2)=2(−)>0， 从而 >。因此，函数 在 R 上是减函数。 七、函数的最值 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，且 ∈D： 如果对任意 x∈D，都有 f(x)≤，则称 f(x) 的最大值为 ， 称为 f(x) 的最大值点； 如果对任意 x∈D，都有 f(x)≥，则称 f(x) 的最小值为 ， 称为 f(x) 的最小值点。 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 几何意义：最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标，最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标。 不难看出，如果函数有最值，而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。 由此可得一个常用结论：如果函数在闭区间 [a,b] 上单调递增，它的最小值在左端点 a 处取得，最大值在右端点 b 处取得；单调递减时则相反。 例 2　判断函数 ，x∈[−1,6] 的单调性，并求这个函数的最值。 解：任取 , ∈[−1,6]，且 <，则 −<0，那么 −=(3+5)−(3+5)=3(−)<0， 所以 <，这个函数在 [−1,6] 上是增函数。 因此，当 −1≤x≤6 时，有 ≤≤，从而这个函数的最小值为 ，最大值为 。 另解（借助不等式的知识）：因为 −1≤x≤6，所以 −3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即 ≤≤，同样得到最小值为 2、最大值为 23。 八、函数的平均变化率 两点确定一条直线。在平面直角坐标系中，给定任意两点 A(, )、B(, )，当 ≠ 时，称 为直线 AB 的斜率；当 = 时，称直线 AB 的斜率不存在。 若记 Δx=−，相应的 Δy=−，则当 Δx≠0 时，斜率可记作 。直线的斜率反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度。 在图 4 左图中，直线 AB 的斜率即为 Rt△ACB 中 BC 与 AC 的比；斜率大于零的直线向上倾斜，斜率小于零的直线向下倾斜。 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在。 图 4　直线的斜率与函数的平均变化率：斜率的符号决定升降，平均变化率刻画区间上的平均变化 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，可以总结出一般规律： 函数在区间上递增，当且仅当它的图象上任意两点连线的斜率都大于 0； 函数在区间上递减，当且仅当它的图象上任意两点连线的斜率都小于 0。 一般地，若 I 是函数 的定义域的子集，对任意 , ∈I 且 ≠，记 =，=，则称 为函数 在区间 [, ]（< 时）或 [, ]（> 时）上的平均变化率。 通常称 Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量。 由上可知：函数 在 I 上是增函数，当且仅当平均变化率在 I 上恒大于 0；是减函数，当且仅当平均变化率在 I 上恒小于 0。 平均变化率有广泛的实际意义：把位移 s 看成时间 t 的函数 s=s(t)，平均变化率就是物体在时间段 [, ] 上的平均速度；把速度 v 看成时间 t 的函数 v=v(t)，平均变化率就是这段时间内的平均加速度。类似地，它还表示平均膨胀率等。 九、常见函数的单调性 （1）一次函数 （k≠0） 任取 , ∈R 且 <，则 −=(k+b)−(k+b)=k(−)。 因 −<0，所以当 k>0 时，−<0，即 <，一次函数在 R 上是增函数；当 k<0 时，−>0，即 >，一次函数在 R 上是减函数。 （2）反比例函数 求证：函数 在区间 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上都是减函数。 证明：任取 , ∈(−∞,0)，且 <。 −=−=。 因为 <<0，所以 −>0，>0，从而 −>0，即 >，函数在 (−∞,0) 上是减函数。 同理，任取 , ∈(0,+∞) 且 <，也有 −>0，>0，所以 >，函数在 (0,+∞) 上也是减函数。 特别地，当 k=0 时， 是常函数：对任意 < 都有 =，既不满足严格小于，也不满足严格大于，所以常函数既不是增函数，也不是减函数。 练一练　判断函数 在 R 上的单调性，并说明理由。 解：任取 , ∈R，且 <，则 −<0。 作差：−=(−3+1)−(−3+1)=−3(−)>0， 从而 >。因此，函数 在 R 上是减函数。 把上面的方法推广到 （k≠0）：任取 , 同在 (−∞,0) 或同在 (0,+∞) 且 <，则 −=。 由于 −>0 且 >0，所以当 k>0 时 −>0，函数在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上都是减函数；当 k<0 时 −<0，函数在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上都是增函数。 从图象上看， 的两支分别位于第一、第三象限，每一支上都是从左到右下降的；但两支分居原点两侧，跨两支取点时（如 =−1、=1）函数值的大小关系会颠倒。所以“在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上都是减函数”与“在整个定义域内是减函数”是两回事，后者并不成立（详见本节“想一想”）。 （3）二次函数 图 5　单调性与最值：二次函数 的单调区间与最小值；闭区间上一次函数的最值 例 3　证明函数 在 (−∞,−1] 上是减函数，在 [−1,+∞) 上是增函数，并求这个函数的最值。 证明：任取 , ∈(−∞,−1]，且 <。 −=()−()=()( 由 <≤−1，得 −<0，++2<0，所以 −>0，即 >，函数在 (−∞,−1] 上是减函数。 同理，任取 , ∈[−1,+∞) 且 <，则 −<0，++2>0，所以 −<0，即 <，函数在 [−1,+∞) 上是增函数。 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且当 x∈R 时 ≥ 恒成立，因此 是函数的最小值。 一般地，二次函数 （a≠0）的单调性为：当 a>0 时，在 (−∞, ] 上是减函数，在 [, +∞) 上是增函数；当 a<0 时正好相反。其中 是抛物线的对称轴。 十、本节小结与易错辨析 本节从图象的升降出发，把“y 随 x 的增大而增大（减小）”上升为严格的数学定义，并用平均变化率刻画，核心要点如下： 要点 关键内容 单调性定义 < 时 < 为增函数；> 为减函数 单调区间 定义域的子区间；端点可开可闭；一般不能取并集 图象法 看图象从左到右的升降；直观，但手工作图不精确 定义法 任取两点设序 → 作差 → 变形定号 → 下结论 最值 最大（小）值、最大（小）值点；借助单调性求最值 平均变化率 ；递增当且仅当恒大于 0，递减当且仅当恒小于 0 常见函数 一次函数看 k；二次函数看对称轴；反比例在每个分支上递减 易错提醒：① 忽略“任意”二字，用特殊值代替一般情形；② 忽略定义域，在定义域之外谈单调性；③ 把两个区间上的单调性并成一个（单调区间不能取并集）；④ 作差后没有定号就下结论；⑤ 说某函数是增（减）函数时不指明区间。 十一、巩固练习 题号 题目 1 判断：若函数 y=f(x) 在区间 I 上是增函数，则对任意 <（, ∈I），都有 <。（ ） 2 判断函数 在 R 上的单调性，并说明理由。 3 用定义证明：函数 在 R 上是增函数。 4 写出函数 的单调递增区间和单调递减区间。 5 求函数 的最小值。 6 求函数 ，x∈[−1,6] 的最大值和最小值。 7 求函数 在区间 [1,3] 上的平均变化率。 8 已知直线经过 A(1,2)、B(3,6) 两点，求这条直线的斜率。 9 判断：函数的单调区间可以取并集。（ ） 10 若函数 f(x) 在 R 上是减函数，试比较 与 的大小。 11 求函数 的最小值。 12 判断：若函数在定义域的两个区间上都是减函数，则它在整个定义域上也是减函数。（ ） 13 用定义证明：函数 在 (0,+∞) 上是增函数。 14 求函数 在 [0,3] 上的最大值与最小值。 15 已知函数 ，当自变量从 1 变到 1+Δx（Δx>0）时，求平均变化率。 参考答案 以下答案仅供核对：证明题的四步「任取、作差、变形、定号结论」要写全，最后的结论必须回扣定义；判断单调性不能只凭图象或个别函数值下结论。 1. （√）。这正是增函数定义的内容：区间 I 上任意两点，自变量小者函数值也小。 2. 是减函数。任取 <，−=(−3+2)−(−3+2)=−3(−)>0，所以 >，故在 R 上是减函数。 3. 证明：任取 <，−=(2+1)−(2+1)=2(−)<0，所以 <，故在 R 上是增函数。 4. ，开口向下：单调递增区间 (−∞, 1]，单调递减区间 [1, +∞)。 5. ，最小值为 −4（x=1 时取到）。 6. 在 [−1,6] 上递增，最小值 ，最大值 。 7. ==4。 8. ==2。 9. （×）。例如 在 (−∞,0) 与 (0,+∞) 上都递减，但在整个定义域内不是减函数。 10. 因为 −2<3，且 f(x) 在 R 上递减，所以 >。 11. ，最小值为 −1（x=−1 时取到），没有最大值。 12. （×）。可取 =−1，=1：<，但 <，不满足减函数的要求。 13. 证明：任取 , ∈(0,+∞)，且 <，则 −==(−)(+)。由 < 得 −<0；由 , >0 得 +>0，所以 −<0，即 <，故 在 (0,+∞) 上是增函数。 14. ，开口向下，对称轴为直线 ：函数在 [0,1] 上递增，在 [1,3] 上递减。因此最大值为 ；再比较两个端点，，，所以最小值为 。 15. 平均变化率为 ===2+Δx。 十二、方法归纳 回看本节，单调性的判断与证明有一条清晰的主线：图象给直观，定义给严格，平均变化率给量化。把反复用到的招式归纳起来，解题时可以少走弯路： 变形招法 适用场景 本节实例 提公因式 作差后两项有公因式，差的正负容易判断 ：−=2(−) 因式分解 作差后是二次式，分解成两个一次式的积 ：(−)(++2) 通分 作差后是分式，通分后看分子、分母的符号 ：差= 含参问题的讨论意识： 本节多次遇到含参数 k 的判断（一次函数、反比例函数）：作差定号后，符号由 k 决定，因此必须对 k>0 与 k<0 分别讨论，做到不重不漏，各自写出结论。 另外，谈单调性必须带上区间：同一个式子在不同区间上可能有相反的单调性（如二次函数在对称轴两侧），离开区间谈单调是没有意义的。 学科网（北京）股份有限公司 $