3.1 椭圆 同步测试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学选择性必修一 3.1椭圆 测试 一、单选题 1．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 （    ） A． B． C．2 D． 3．椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 7．已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，点到直线的距离为2，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（    ） A．是等腰直角三角形 B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2 C．是等边三角形，且椭圆的离心率为 D．设椭圆的焦距为4，点在圆上 10．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 11．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_____ 13．已知点，是椭圆C：的两个焦点，点M在椭圆C上，则的周长为__________. 14．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为______，的最大值为______． 四、解答题 15．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点． 16．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 17．已知椭圆的离心率为，过点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程. 18．已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段的中垂线交x轴于点，求实数m的取值范围. 19．已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 2026-2027学年高二数学选择性必修一 3.1椭圆 测试教师版 一、单选题 1．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C【详解】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以． 2．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】A【详解】 可得：， 又     故椭圆的左右焦点分别为：， 和是椭圆的左右焦点 由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得： 根据正弦定理：，“角化边”， 3．椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的一个焦点为，且， 所以，解得，因此该椭圆的离心率为. 4．已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与轴的交点为，即．又椭圆的离心率为， ∴，故，则，∴椭圆的标准方程为． 5．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 6．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】联立，则 所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交 7．已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设其标准方程为，则，从而． 又三点不共线，∴点不在轴上，点的轨迹方程为． 8．已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，点到直线的距离为2，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得.又，当时，可得，即有，由椭圆的定义可得，，则点到的距离为.由题意，，得，所以由，得，，所以椭圆的标准方程为. 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（    ） A．是等腰直角三角形 B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2 C．是等边三角形，且椭圆的离心率为 D．设椭圆的焦距为4，点在圆上 【答案】BD【详解】对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程； 对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由 所以，所以椭圆标准方程为，故B正确； 对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果； 对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以， 由，所以，所以椭圆方程为，故D正确 10．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】ACD【详解】设椭圆的左焦点为，则 所以为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， 所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得， 又因为，∴ 所以为直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确. 11．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：，易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确.    三、填空题 12．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_____ 【答案】【详解】由得，，所以，， 所以，设，，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以的面积为. 13．已知点，是椭圆C：的两个焦点，点M在椭圆C上，则的周长为__________. 【答案】18 【详解】 因为椭圆，所以, 由椭圆定义可得，， 所以的周长为. 14．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 四、解答题 15．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点． 【答案】(1)或．(2)或． 【详解】（1）由题意知，，所以， 又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴， 故椭圆的标准方程为或． （2）由题意可得，设，，，则． 又椭圆经过的点为其顶点， 故若点为长轴顶点，则，，椭圆的标准方程为； 若点为短轴顶点，则，，椭圆的标准方程为． 16．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设，则，， 因为，所以，即，故， 所以， 因为P是圆上的点，所以，即； （2）过点且斜率为的直线方程为， 与联立得：，易得， 设直线与的两交点坐标分别为， 则，， 故被C所截线段的长度为. 17．已知椭圆的离心率为，过点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ），且过点. ∴， ∴ ∴椭圆的标准方程为：；   （Ⅱ）当斜率不存在时，设:， 得,显然不满足条件. 当斜率存在时设:，、 联立整理得：， ∴， 因为，所以即： 整理得 化简： ∴直线方程为. 18．已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段的中垂线交x轴于点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由已知可得，解得所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，设直线的方程为. 与椭圆方程联立得消去y，可得. ，设， 则. 所以线段的中点为. ①当时，直线为y轴，此时. ②当时，直线的方程为， 化简得. 将点坐标代入，得.所以. 综上所述，实数m的取值范围为. 19．已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； （2）如图所示，    不妨令直线，， 联立，得， 所以，解得， 又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $