3.1 椭圆（4）中午30min限时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1椭圆（4）中午30min限时练 1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下正确的是（     ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 C．椭圆上存在点，使得 D．为椭圆上一点，，则的最小值为 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则____________ 6．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求： （1）椭圆C的方程； （2）弦的长度． 7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． （1）求椭圆的方程； （2）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率． 答案 1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 3．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．（多选）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下正确的是（     ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 C．椭圆上存在点，使得 D．为椭圆上一点，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】A选项，由题意得， 故离心率为，A错误； B选项，根据椭圆定义可得 ， 故的周长为8，B正确； C选项，以为圆心，为直径作圆，即， 与的交点即为使得的点， 联立与，可得， 故存在点，使得，C正确； D选项，由椭圆定义可知，，故， 则，   要想取得最小值，只需取得最小值， 联立与椭圆交点即为所求，此时， 故的最小值为，D正确. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则____________ 【解析】将直线与椭圆联立， 消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）． 6．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求： （1）椭圆C的方程； （2）弦的长度． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由被椭圆截得的弦长为， 得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得，即弦的长度为． 7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． （1）求椭圆的方程； （2）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题意可知，，， ∵，∴，，∴椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y得，， 则， 若四边形为平行四边形，则，设 ∴，， ∵点P在椭圆上，∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为． 学科网（北京）股份有限公司 $