概率与统计专题 第7讲 统计案例：回归与独立性检验 讲义-2027届高三数学一轮复习

统计案例：回归与独立性检验 概率与统计 · 专题篇 一 线性回归方程与预测 一、两个系数。 ，。 二、回归直线必过样本中心点。 一定在回归直线上 ——这是「已知方程求参数」「已知参数求预测」的唯一入口。 ★ 本节宁德-04、九江(2)-03、温州普通-07、赤峰-04、聊城(2)-03 全靠这一条。 三、残差。 残差等于「观测值减预测值」，即 ，符号不能反。 ★ 泰州-03 的观测值 、预测值 ，残差是 ；写成 是最常见的错。 四、非线性化线性。 两边取对数得 ，令 就变成 关于 的线性回归；同理 令 。 ★ 济宁-06 是这一条；注意回归出来的截距是 ，还要再取指数还原。 例1（解答·★★★★☆） 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值。参考公式：相关系数，。参考数据：，，。 【切入点】题干已把三个「离差和」都给了 —— 不必重算，直接代公式。 【关键】，；，，。（1）。（2），，故 ；当 时 。 【易错】 与 的分子相同，只差分母 —— 的分母是两个标准差之积， 的分母只是 的离差平方和。另外 与 必须同号，可以用来自检。 【答案】（1）；（2），预测值为 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 变量关于变量的经验回归方程为。若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】残差等于「观测值减预测值」，先算预测值。 【关键】，观测值为 ，故残差为 ，选 C。 【易错】残差的符号是「观测减预测」，写成 就落进干扰项 B。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 由如表所示的变量之间的一组数据，得之间的线性回归方程为，则（ ） 6 8 10 12 7 5.5 4.5 A. 点一定在回归直线上 B. 每增加1个单位，大约增加0.5个单位 C. D. 去掉这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大 【切入点】表里有未知数 ，而回归直线过样本中心点 —— 用这一条定 。 【关键】，，代入 得 ，故 ，C 对。A 错： 代入方程得 ，不在直线上；B 错：斜率 表示「 每增 ， 约减 」；D 错： 恰在直线上，去掉它不影响方程。故选 C。 【易错】回归直线过的是「样本中心点」，不是「某个样本点」；斜率为负时「增加」要读成「减少」。 【答案】 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表。 1 2 3 4 5 10 15 19 23 28 根据上表可得线性回归方程为，则 = （ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.5 D. 5 【切入点】已知截距求斜率 —— 先算样本中心点，再代方程。 【关键】，，代入 得 ，选 B。 【易错】 的平均别算漏项（ 个数和为 ）；方程写成 时截距是 ，不要与斜率互换。 【答案】 变式1-4（单选·★★★☆☆） 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元。 /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 【切入点】两问合一：先用中心点求 ，再代入 求预测值。 【关键】，，代入 得 。当 时 ，选 C。 【易错】 已超出样本范围（样本只到 ），属于外推预测 ——本题按题意照算，但要清楚这是「估计」不是「必然」。 【答案】 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 【切入点】中心点 已给 —— 直接代方程求 ，再算 。 【关键】 得 ，故 ；当 时 ，选 B。 【易错】 是「每个零件约 小时」； 远超样本量级，属于外推，只能作估计。 【答案】 变式1-6（单选·★★★☆☆） 用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（ ）（参考数据，） A. 1.2 B. 0.92 C. 0.3 D. 0.4 【切入点】 取对数变线性 —— 先由中心点定截距，再把截距还原成 。 【关键】 得 ，即 。由 与 对照得 、，故 （题给 ），选 D。 【易错】回归出来的截距是 不是 ，最后必须取指数还原； 是 关于 的斜率，不是 的增长倍数。 【答案】 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为。已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（ ） A. 1cm B. cm C. 4cm D. cm 【切入点】截距未知，但中心点 已给 —— 先求 。 【关键】 得 ，故 ； 时 ，残差为 ，选 D。 【易错】残差是「观测减预测」，即 ，不是 ；这一步的顺序决定符号。 【答案】 变式1-8（解答·★★★★☆） 儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示。 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 （1）儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）；（2）能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由。参考数据：。参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。 【切入点】第（2）问考的是「回归能不能外推」—— 样本只覆盖 到 岁，把它用到 岁属于远超样本范围的外推。 【关键】身高随年龄增长不是严格的函数关系（同龄人差异很大），故是相关关系。、，，故 ，，得 。（2）不能。样本只取 到 岁， 岁远在样本范围之外，而人的身高在成年后基本停止增长，用线性模型外推会得到荒谬的结果。 【易错】第（1）问要先判断「相关还是函数」，再求方程 ——漏掉判断会丢分；第（2）问的理由要落在「超出样本范围」上，只说「不准」不够。 【答案】（1）相关关系，；（2）不能，理由见解析 变式1-9（解答·★★★★☆） 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系。（运算结果保留小数点后两位数字） （1）请求出加工时间关于零件数的经验回归方程；（2）该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励。已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断：（ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟）（ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？附：参考数据：，，，。对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。 【切入点】题干把四个求和都给了 —— 直接用「含和」的公式算 ，第（2）问是「预测值 vs 标准值」的比较。 【关键】、，，，故 。（2）（ⅰ） 时 ，低于现行标准时间。（ⅱ）预测值比标准少约 分钟，说明现行标准偏松、工人容易拿奖励，应调低。按预测折算为 分/个比较合适。 【易错】 的分子是 ，分母是 ，两处都要减 倍；第（ⅱ）问要先说「调低」再给数值，只给数不表态会丢分。 【答案】（1）；（2）（ⅰ）低于现行标准；（ⅱ）应调低，约 分/个 变式1-10（解答·★★★★☆） 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；（2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数。参考公式：相关系数，，，参考数据：，，，。 【切入点】三个离差和都给了 —— 与 共用同一个分子，一次算两问。 【关键】、；。，，故 。当 时 ，故估计百粒发芽数约为 。 【易错】 的分母是 而不是 ；结果要按题目「精确到 」写 ；预测值取整要看情境（粒数取整）。 【答案】（1）；（2），估计值为 二 相关系数、残差与模型评价 一、相关系数 。 越接近 ，线性相关越强； 正相关、 负相关； 接近 则线性相关很弱。 ★ ，所以「 与 比强弱」这类题先要把 压到 内。另： 与 一定同号。 二、残差与残差图。 残差为 。残差图的带状区域越窄、越均匀地分布在 附近，说明模型拟合得越好。 三、决定系数。 等于 减去「残差平方和与总偏差平方和之比」，越接近 拟合越好。 ★ 同一个样本上，残差平方和越小 越大 ——汕头-12 就是靠这条判出「谁算错了」。 四、模型选择看散点图形状。 散点在直线附近：线性；增长越来越快：指数型 ；增长逐渐变缓：对数型 。 例2（解答·★★★★☆） 某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数（单位：人），得到如下样本数据： 天数（序号） 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数，并据此判断变量与之间线性相关关系的强弱（结果保留两位小数）。参考公式：，参考数据：。 【切入点】题干把三个离差和都列出来了 —— 逐项算出来代公式即可。 【关键】、；，，。，约等于 （题给 ），即 。因 非常接近 ，故变量 与 之间具有很强的线性相关关系（且为负相关）。 【易错】分母是 ，题给的 要再乘 ；结论要同时写「强弱」与「正负」，只写「相关」不完整。 【答案】，变量 与 具有很强的线性相关关系 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知甲、乙两组变量的相关系数分别为，，若乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强，则的一个值可以为____________。 【切入点】相关系数的范围是 ——「 的相关性更强」意味着 且两者都合法。 【关键】由 得 ；又 给出 。两个条件取交集，得满足 即可，如 （答案不唯一）。若按题库的较宽口径，只要 即可，此时 也符合题意。 【易错】 这个限制最容易漏 ——只解不等式会给出 而不设上限，得到 这种非法答案。 【答案】（答案不唯一，只要 即可） 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图。用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为。参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 【切入点】两个模型的决定系数都给了： 是线性、 是指数型 —— 指数型更好，选带 的。 【关键】，故指数型模型更适宜；再按参考数据算出的系数，应选 ，故选 D。 【易错】决定系数越大越好，不要看方程形式「是否简单」；两个指数型选项的系数不同，要用参考数据算出的斜率与截距来挑。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 下列命题：①回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；③在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强。④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大。其中正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【切入点】四个命题分别考「斜率符号」「残差图」「相关系数」「 的解读」——逐条判断。 【关键】① 对：斜率为 ，故负相关。② 对：残差带越窄，拟合精度越高。③ 对： 越接近 线性相关越强。④ 错： 越大才说明「有关」的把握越大， 小只能说明证据不足。正确的有 ①②③，故选 B。 【易错】④ 是把 的解读说反了 —— 越大越有把握判定「有关」； 小不等于「无关」，只是「不能认为有关」。 【答案】 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差。将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919 【切入点】表中 、 未知，但残差之和可用「回归直线过中心点」整体求出。 【关键】； 之外，还需用 与 相等，得 ，即 。第 、 个月残差之和 即 ，选 C。 【易错】不必分别求出 、，整体求 更快；第 个月预测值是 ，第 个月是 。 【答案】 变式2-5（填空·★★☆☆☆） 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程。为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________。（填“甲”或“乙”或“丙”） 【切入点】三人的结论都指向「模型①更好」，但残差平方和与决定系数必须互相自洽 ——找一个违反自洽关系的。 【关键】同一组数据上，残差平方和越小 决定系数越大。乙说模型①的残差平方和更小（），丙却给出 —— 两者矛盾，故丙算错。 【易错】甲、乙的结论彼此相容，只有丙与乙冲突；判断依据是「残差平方和与 反向变化」，不是比较谁的数大。 【答案】丙 变式2-6（单选·★★★☆☆） 下列说法中错误的有（ ）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好；④若随机变量服从正态分布，若则实数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【切入点】四个命题横跨回归、列联表、决定系数、正态分布 —— 逐条判断，数错的个数。 【关键】① 错：回归直线过 ，但不保证过任何一个样本点。② 对： 而 ，则判「有关」时犯错的概率不超过 。③ 对： 越大拟合越好。④ 对：由正态分布关于 对称，，故条件等价于 ，即 ，解得 ，与命题一致。只有 ① 错，故错误的有 个，选 A。 【易错】① 的错在「至少过一个样本点」——回归直线只保证过样本中心点 ，而中心点一般不是某个样本点。④ 的关键是用对称性把两个概率化成「同一侧」。 【答案】 变式2-7（解答·★★★★☆） 水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带。此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合。（1）根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；（3）若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里。参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中，参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。 【切入点】散点图显示「增长越来越快」—— 指数型；再把 取对数化成线性。 【关键】（1）藻类面积随时间增长得越来越快，故 更适宜（对数型是「越来越慢」）。（2）两边取常用对数：，令 ，则 关于 线性。、、、。，，故 ，即 。（3） 时 （平方公里）。 【易错】取的是常用对数（题给 ），不是自然对数；还原时 ，把 与指数拆开写才符合答案形式。 【答案】（1） 更适宜；（2）；（3）约 三 独立性检验 一、统计量。 ，其中 。 二、判断口径（最容易说错的一句）。 ：认为两变量有关联，此推断犯错的概率不超过 ；：不能认为有关联 —— 不是「证明无关」。 ★ 济南(2)-09 四个选项全在考这个口径；回答时一定要带「犯错的概率不超过 」。 三、三步写法。 ① 写零假设：两变量无关联；② 算 并与临界值比较；③ 下结论，并说明推断犯错的概率。 ★ 少了第 ① 步不影响判分，但少了第 ③ 步的「概率」一定会扣。 四、常见后续问。 条件概率、分层抽样后再抽、二项最值 —— 都是「列联表 + 概率」的拼接，先把表补全，后面的概率就是老套路。 例3（解答·★★★★☆） 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件 = “选到的观众是男性”，事件 = “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义。，。 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【切入点】表格缺两个合计格，先补成 ；再算 ，最后比两个条件概率。 【关键】补全后：男 喜欢、 不喜欢（合计 ）；女 喜欢、 不喜欢（合计 ）；喜欢合计 、不喜欢合计 ，。 的分子是 ，分母是 ，故 ，依据 认为喜欢与性别有关联，此推断犯错的概率不超过 。（2），，故 。意义：男性喜欢该节目的比例高于女性。 【易错】 的分母是四个「合计」相乘，不是四个格子；第（2）问的分母分别是男、女的总人数 ，不是总人数 。 【答案】（1）与性别有关联；（2），意义见解析 变式3-1（多选·★★★☆☆） 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ）附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【切入点】只给了 ，考的是「与临界值怎么比」。 【关键】 的临界值是 ，而 ，故认为有关，推断犯错的概率不超过 —— B 对、A 错。 的临界值是 ，而 ，故不能认为有关 —— C 对、D 错。故选 BC。 【易错】「 小于临界值」只能得「不能认为有关」，不能写成「无关」；D 把「小于」误判成「有关」，正好相反。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n=a＋b＋c＋d； A. 依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C. 随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【切入点】列联表已给全，四个选项分别考「检验结论」「男生概率」「条件概率」「分层抽样后取两件」。 【关键】 的分子是 ，分母是 ，故 ，认为参加与性别有关，A 错。B 对：男生中参加的概率为 。C 对：。D 对：参加者中男女比 ，抽 人得男 、女 ；、，故至少一名男生的概率为 。故选 BCD。 【易错】A 的方向反了（ 大于临界值应判「有关」）；C 的分母是 ，不是 。 【答案】 变式3-3（多选·★★★☆☆） 某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中。 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（ ） A. 若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B. 从所有患者中随机抽取1人，设事件 = “该人在中青年组”，事件 = “该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【切入点】表已给全，先算 定型，再逐项判断。 【关键】，故认为疗效与年龄有关、犯错概率不超过 ，C 对。A 对：老年组有效 、无效 ，按疗效分层抽 人得有效 、无效 ；至少一名无效的概率为 。B 错：、，而 ，不独立。D 错：改动后 ，反而变小。故选 AC。 【易错】B 里两个边缘概率恰好相等，容易被误判成独立 ——独立性要看 ，不是看两个边缘概率是否相等。 【答案】 变式3-4（解答·★★★☆☆） 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍。（1）根据题中信息，完成下面列联表；单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？附：。 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【切入点】列联表是空的，要靠两句文字条件把它补出来 ——「共 人喜爱」「不喜爱女性是喜爱男性的 倍」。 【关键】设喜爱节目的男性有 人，则不喜爱节目的女性有 人；喜爱节目的女性为 ，故不喜爱节目的女性为 。由 得 。故男：喜爱 、不喜爱 ；女：喜爱 、不喜爱 。，故依据 不能认为喜爱情况与性别有关。 【易错】补表时「不喜爱节目的女性」要由 减去喜爱女性，不是直接等于喜爱男性； 分母里 、 是男女各 。 【答案】（1）男：喜爱 、不喜爱 ；女：喜爱 、不喜爱 ；（2）不能认为有关 变式3-5（解答·★★★☆☆） 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示。 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率。附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【切入点】第（1）问直接算 ；第（2）问是「不合格品中的条件概率」——范围缩到不合格的 件里。 【关键】，故认为质量与工艺有关，犯错概率不超过 。（2）不合格的 件中，甲 件、乙 件。记 为「至少一件为甲」， 为「恰有一件为乙」——「恰一件乙」即「两甲一乙」，必然满足 。，，故 。 【易错】条件概率的分母是 ，要用对立事件「全是乙」来算；分子 的顺序别写反。 【答案】（1）质量与工艺有关；（2） 变式3-6（解答·★★★☆☆） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【切入点】第（1）问是列联表里的条件概率；第（2）问是常规 判断。 【关键】（1）检查结果不正常者共 人，其中患病的 人，故 的估计值为 。（2） 的分子中 ，平方后乘 得 ；分母为 。故 ，依据 认为检查结果与患病有关。 【易错】 要按「患病—正常」的顺序取，符号反了不影响平方但会影响中间过程； 很大时不必算出精确值，写「远大于临界值」即可。 【答案】（1）；（2）有关 变式3-7（解答·★★★★☆） 某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 满意 不满意 男业主 40 10 女业主 30 20 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？（2）从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值。附：。 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【切入点】表格只给了四个格子， 要自己加；第（2）问是「已知不满意，求是女业主」的条件概率。 【关键】补全：男 满意、 不满意；女 满意、 不满意；合计满意 、不满意 ，。（1），故依据 能认为男女业主的评价有差异。（2），。 【易错】 的分母是不满意的人数 ，不是总人数 ；两个条件概率的分母不同（ 与 ）。 【答案】（1）能认为有差异；（2）， 变式3-8（解答·★★★☆☆） 智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 （1）从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关。附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【切入点】第（1）问是「驾龄不超过 年」这个子群体里的条件概率；第（2）问照常规算 。 【关键】（1）驾龄不超过 年的共 人，其中经常使用的 人，故概率为 。（2），故依据 认为使用情况与驾龄有关。 【易错】（表里总数给了），分母四个合计分别是 、、、；第（1）问的分母是 不是 。 【答案】（1）；（2）有关 变式3-9（解答·★★★★☆） 为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 （1）求的值；（2）以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率；（3）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异。附：，其中为样本容量。 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【切入点】表里有两个字母，先用「行和等于合计」把 、 定出来，再算 。 【关键】（1） 是国产那一行的合计：； 是良品那一列的合计：。也可用总数校验：。（2）国产共 台，次品 台，故次品率估计为 。（3），故依据 不能判断两者质量有差异。 【易错】、 的定义要看表头（一个是行合计、一个是列合计）；结论只能写「不能判断有差异」，不能写「质量相同」。 【答案】（1），；（2）；（3）不能判断有差异 变式3-10（解答·★★★★☆） 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一。足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为。（1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值。附：， 【切入点】表格里 、 未知，先用「喜爱概率为 」和总人数定出来；第（3）问是二项分布的最可能值。 【关键】（1）喜爱总人数为 ，故 ，；女合计 ，男合计 ，故 。（2），故依据 不能认为喜爱足球与性别有关。（3）喜爱者中男生占 ，故 。最可能的 是 的整数部分，即 。 【易错】 要用「男合计 = 」间接求；第（3）问的最可能值取 的整数部分，不是 。 【答案】（1），；（2）不能认为有关；（3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 统计案例：回归与独立性检验 概率与统计 · 专题篇 一 线性回归方程与预测 一、两个系数。 ，。 二、回归直线必过样本中心点。 一定在回归直线上 ——这是「已知方程求参数」「已知参数求预测」的唯一入口。 ★ 本节宁德-04、九江(2)-03、温州普通-07、赤峰-04、聊城(2)-03 全靠这一条。 三、残差。 残差等于「观测值减预测值」，即 ，符号不能反。 ★ 泰州-03 的观测值 、预测值 ，残差是 ；写成 是最常见的错。 四、非线性化线性。 两边取对数得 ，令 就变成 关于 的线性回归；同理 令 。 ★ 济宁-06 是这一条；注意回归出来的截距是 ，还要再取指数还原。 例1（解答·★★★★☆） 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值。参考公式：相关系数，。参考数据：，，。 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 变量关于变量的经验回归方程为。若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 由如表所示的变量之间的一组数据，得之间的线性回归方程为，则（ ） 6 8 10 12 7 5.5 4.5 A. 点一定在回归直线上 B. 每增加1个单位，大约增加0.5个单位 C. D. 去掉这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表。 1 2 3 4 5 10 15 19 23 28 根据上表可得线性回归方程为，则 = （ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.5 D. 5 变式1-4（单选·★★★☆☆） 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元。 /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 变式1-6（单选·★★★☆☆） 用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（ ）（参考数据，） A. 1.2 B. 0.92 C. 0.3 D. 0.4 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为。已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（ ） A. 1cm B. cm C. 4cm D. cm 变式1-8（解答·★★★★☆） 儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示。 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 （1）儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）；（2）能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由。参考数据：。参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。 变式1-9（解答·★★★★☆） 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系。（运算结果保留小数点后两位数字） （1）请求出加工时间关于零件数的经验回归方程；（2）该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励。已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断：（ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟）（ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？附：参考数据：，，，。对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。 变式1-10（解答·★★★★☆） 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；（2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数。参考公式：相关系数，，，参考数据：，，，。 二 相关系数、残差与模型评价 一、相关系数 。 越接近 ，线性相关越强； 正相关、 负相关； 接近 则线性相关很弱。 ★ ，所以「 与 比强弱」这类题先要把 压到 内。另： 与 一定同号。 二、残差与残差图。 残差为 。残差图的带状区域越窄、越均匀地分布在 附近，说明模型拟合得越好。 三、决定系数。 等于 减去「残差平方和与总偏差平方和之比」，越接近 拟合越好。 ★ 同一个样本上，残差平方和越小 越大 ——汕头-12 就是靠这条判出「谁算错了」。 四、模型选择看散点图形状。 散点在直线附近：线性；增长越来越快：指数型 ；增长逐渐变缓：对数型 。 例2（解答·★★★★☆） 某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数（单位：人），得到如下样本数据： 天数（序号） 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数，并据此判断变量与之间线性相关关系的强弱（结果保留两位小数）。参考公式：，参考数据：。 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知甲、乙两组变量的相关系数分别为，，若乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强，则的一个值可以为____________。 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图。用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为。参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 下列命题：①回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；③在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强。④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大。其中正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差。将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919 变式2-5（填空·★★☆☆☆） 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程。为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________。（填“甲”或“乙”或“丙”） 变式2-6（单选·★★★☆☆） 下列说法中错误的有（ ）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好；④若随机变量服从正态分布，若则实数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 变式2-7（解答·★★★★☆） 水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带。此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合。（1）根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；（3）若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里。参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中，参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。 三 独立性检验 一、统计量。 ，其中 。 二、判断口径（最容易说错的一句）。 ：认为两变量有关联，此推断犯错的概率不超过 ；：不能认为有关联 —— 不是「证明无关」。 ★ 济南(2)-09 四个选项全在考这个口径；回答时一定要带「犯错的概率不超过 」。 三、三步写法。 ① 写零假设：两变量无关联；② 算 并与临界值比较；③ 下结论，并说明推断犯错的概率。 ★ 少了第 ① 步不影响判分，但少了第 ③ 步的「概率」一定会扣。 四、常见后续问。 条件概率、分层抽样后再抽、二项最值 —— 都是「列联表 + 概率」的拼接，先把表补全，后面的概率就是老套路。 例3（解答·★★★★☆） 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件 = “选到的观众是男性”，事件 = “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义。，。 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 变式3-1（多选·★★★☆☆） 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ）附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 变式3-2（多选·★★★☆☆） 某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n=a＋b＋c＋d； A. 依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C. 随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 变式3-3（多选·★★★☆☆） 某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中。 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（ ） A. 若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B. 从所有患者中随机抽取1人，设事件 = “该人在中青年组”，事件 = “该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 变式3-4（解答·★★★☆☆） 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍。（1）根据题中信息，完成下面列联表；单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？附：。 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 变式3-5（解答·★★★☆☆） 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示。 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率。附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式3-6（解答·★★★☆☆） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 变式3-7（解答·★★★★☆） 某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 满意 不满意 男业主 40 10 女业主 30 20 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？（2）从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值。附：。 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 变式3-8（解答·★★★☆☆） 智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 （1）从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关。附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 变式3-9（解答·★★★★☆） 为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 （1）求的值；（2）以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率；（3）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异。附：，其中为样本容量。 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 变式3-10（解答·★★★★☆） 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一。足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为。（1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值。附：， 学科网（北京）股份有限公司 $