概率与统计 第1讲 随机变量及其分布列 基础讲义-2027届高三数学一轮复习

随机变量及其分布列 分布列的求法、数学期望与方差 离散型随机变量的分布列 把随机试验的结果数量化之后，最要紧的是把「能取哪些值」与「取到每个值的可能性」一次说清楚。离散型随机变量的分布列干的就是这件事：把所有可能的取值按从小到大排好，每个取值下面写上对应的概率。它是一张表，也是一份完整的信息 ——有了它，关于这个随机变量的问题原则上都有了答案。所以题目要求「求分布列」，实际是要求把这份信息一次交齐。 写分布列有三个动作，次序不能颠倒。第一是定取值：把所有可能的取值一个不漏地找出来，并确认它们互不相容 —— 任何一次试验的结果只能落在其中一个取值上。第二是求概率：对每个取值，把「取到这个值」翻译成一个具体的事件再算概率。第三是列表：按取值排好，把概率填进去。第一个动作最容易漏，尤其是最大取值由「至多几次」决定的时候，边界要单独想一遍。 求每个取值的概率，用的还是前面学过的几件工具：等可能情形直接数基本事件，分步完成用乘法，分类完成用加法，涉及「已经发生某件事」时用条件概率。关键是先把事件说清楚。同一个取值往往对应好几种互不相同的走法，它们之间是「或者」的关系，要把各自的概率加起来，不能只算最常见的那一种。 最后一步是校验，而且必须真的去做。分布列有两条硬性质：每个概率都大于零，以及所有概率之和恰好等于一。概率为零的取值说明它根本取不到，应当从表里删掉。把自己算出来的数加一遍，花不了几秒钟，却能挡住整段推导里任何一处的漏项或重算。题目给出的分布列若带着待定参数，这两条性质同时也是解参数的方程。 例1（单选·★★☆☆☆） 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望 = （ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 【切入点】题目直接给了一张分布列表，两行分别是取值与概率。要求期望，先把表里的待定参数定下来 —— 靠的是「概率之和等于一」。 【关键】由分布列的性质，，得 。于是取到 的概率是 ，取到 的概率是 。由期望的定义式，。故选 C。 【易错】一是把 当成已知的数直接代入。表里只有两个概率、一个未知量，「概率和为 」就是那个方程。二是算期望时漏乘取值本身，只把概率相加。三是题目问的是数学期望，不是某一个取值的概率 ——选项里的 、 都是取值本身，不是期望。 【答案】C 变式1-1（填空·★★★☆☆） 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 【切入点】两人各选 个场馆，各自是等可能的二元子集。求「并集大小」的期望，可以把随机变量拆成四个「该场馆是否被参观」的指示量之和。 【关键】对某一个固定的场馆，甲不选它的概率是 ，乙同样，且两人独立。故它被参观的概率是 。四个场馆地位相同，由期望的线性性质，。故填 。 【易错】一是直接去数两人选的集合有多少种搭配， 种，硬数容易漏。二是以为两人选的场馆不会重合，认为随机变量只会取 或 ，忽略了两人可能选到同一批。三是忘了两人独立。 【答案】 变式1-2（填空·★★★☆☆） 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【切入点】随机变量是「被选中的课程数」，每一门课要么被选中、要么没有。把它拆成 个只取零和一的量之和，用期望的线性性质，就不必去管各门课之间的相关性。 【关键】对某一门固定的课，甲不选它的概率是 ，乙同样。两人独立，所以这门课一次都没被选中的概率是 ，被至少一人选中的概率是 。 门课地位相同，故 。故填 。 【易错】一是以为「被甲选中」与「被乙选中」互斥，把概率写成两个分式相加 —— 两人可以选到同一门课，直接用加法会把重复部分多算一次。二是忘了两人独立，把平方漏掉。三是算出单门课的概率之后忘了乘回 。 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 设集合，记样本空间，从中随机抽取一个角，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【切入点】样本空间是有限个等可能的角，随机变量是这些角的一个函数。做法固定：把样本空间里的每个角逐个代入，把随机变量的全部取值列出来，再按等可能求期望。 【关键】 中的角依次为 、、、、、、、，去掉 后样本空间里还剩 个角，每个被取到的概率都是 。逐个算 ： 处为 ， 处为 ， 处为 ， 处为 ， 处为 ， 处为 ， 处为 。七个数相加，，所以 。故选 B。 【易错】一是忘了去掉 ，按 个角去算。 处 ，加进去结果就变了。二是第三、四象限的角， 与 的符号要逐个看清，错一个符号整题就偏了。三是 与 在求和时会相消，不必先化成小数。 【答案】B 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望 = ______． 【切入点】每次抽到 的概率是 ，抽到 或 的概率各是 。记三个数字出现的次数之和恒为 ，随机变量是三者中的最大者。 【关键】把所有可能的次数三元组按最大值分组算概率，分母都是 。最大值为 的只有「四个全是 」「四个全是 」「四个全是 」，概率和为 ；最大值为 的有六种三元组，概率和为 ；最大值为 的有六种三元组，概率和为 。三类相加 ，正好归一。所以 。故填 。 【易错】一是把「最大值」当成「抽到 的次数」。二是只考虑了最大值出在 上的情形，漏掉最大值出在 或 上的三元组。三是算完不做归一校验，漏项会一直藏到最后。 【答案】 例3（填空·★★★☆☆） 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 【切入点】「不放回依次取」等价于把所有球随机排成一列。于是随机变量就是两个黄球在队列中较靠后的那个位置 ——取球问题换成了数位置的问题。 【关键】随机排列下，两个黄球的位置构成 到 的一个等可能的二元子集，所以随机变量就是这两个位置中较大的那个。八个位置中任取两个共有 种。对每一个 ，较大位置恰为 的取法有 种（另一个位置从 里选）。所以 。故填 。 【易错】一是把随机变量理解成「取出黄球的次数」或「第一个黄球的位置」。二是以为红球与黑球各有多少个有影响 ——它们只决定总数是 ，只要黄球是 ，答案就一样。三是别去逐项枚举排列， 太大，要换成「两个位置」的模型。 【答案】 变式3-1（填空·★★★☆☆） 如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上。记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为__________. 【切入点】车位排成一排，正好空一个位。可以把「空哪个位」与「黑白车怎么排」分开看，而随机变量只取决于两辆黑车在已停的车中排第几、第几。 【关键】空位有 种选法；剩下的 个位置停 辆车，两辆黑车占其中两个位置。无论空位落在哪，黑车在已停的 辆车中的序号总是一个等可能的二元子集，所以随机变量就是这两个序号之差再减一。从 到 中任取两个位置共 种，把两序号之差减一逐个列出：，相加得 。所以 。故填 。 【易错】一是把「两黑车之间的白车数」算成两黑车之间的距离，那样期望会翻倍。二是以为空位的位置会影响答案 ——空位只改变车距，不改变黑车在车列中的相对序号。三是黑车之间不可能是黑车（只有两辆），所以中间的每一个位置都是白车，不必再分类。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球。现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【切入点】第一空是条件概率，第二次已经确定是黄球，样本空间缩小到剩下的 个球。第二空是「取到某条件就停」的截断型分布列。 【关键】第一次取出黄球后，盒中剩 白 黄 红共 个球，第三次等可能地取一个，取到红球的概率为 。记停止时的取球数为 ，它只能取 。用 最省事：前三项 、、 都是 ；三次就取齐三色，等价于三次取到「白、黄、红各一个」，共 种取法，其中取齐的只有 种，故 ；取 次还未取齐，只可能是唯一的那只白球被留到了最后，概率为 ，故 。所以 。故依次填 与 。 【易错】一是第一空忘了「第二次已经是黄球」这个条件，还按 个球算。二是第二空逐项枚举三个取值的概率，比用求和式麻烦得多，还容易漏掉最大那一项。三是没注意到白球只有一只 ——「取不齐三色」只有这一种可能。 【答案】； 数学期望与方差 数学期望刻画的是一个随机变量在大量重复试验下的平均取值，但它不是把各个取值简单平均，而是按概率加权的平均 ——出现得多的取值，话语权就大。定义式写出来就是：把每个取值乘以它自己的概率，再全部加起来。所以只要分布列已经写好，求期望只是一次乘加运算；真正容易出错的地方，还是分布列本身。 期望有两条用起来最顺的性质。一条是常数可以提出、平移不影响：把每个取值都乘上同一个数再加同一个数，期望也照同样的方式变。另一条是期望可以拆开相加：几个随机变量之和的期望，等于各自期望之和，它们之间相不相关都不影响。第二条尤其有用 —— 很多题里的随机变量看起来复杂，拆成几个简单量之和以后，每一部分的期望都很好算。 方差刻画的是取值的离散程度，也就是数据围绕期望的波动有多大。它的定义是「偏差平方的加权平均」：把每个取值与期望的差求平方，再乘上这个取值的概率，全部加起来。按定义直接算，中间容易出错，所以实际计算常用快捷式：平方的期望减去期望的平方。两者由期望的线性性质连接，结果必然相同，可以互相印证。 最后有三件事要提醒。一是期望是一个数，不一定等于某个取值 —— 分布列里可以没有它。二是方差的单位是原单位的平方，要还原成与原数据同单位的量，就得开方，得到标准差。三是方差对线性变换的反应与期望不同：平移不改变方差，乘上常数则方差要乘这个常数的平方，因为偏差也同步放大了。 例4（填空·★★★☆☆） 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望 = ______________． 【切入点】三人的选择相互独立、每人用英语的概率相同，所以用英语的人数服从二项分布，两问都可以直接套二项分布的公式，不必逐个枚举。 【关键】记用英语的人数为 ，它服从参数为 与 的二项分布。（1）至少两人用英语，即恰有两人或三人全用英语：。（2）由二项分布的期望公式，。故依次填 与 。 【易错】一是把「至少两人」漏成「恰有两人」，少了三人全用英语的那一项。二是忘了二项分布的期望公式，去把四个取值的概率逐个算出再加权，白费功夫。三是用二项分布的前提是「各人独立且概率相同」，题面这句话必须读到。 【答案】； 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（ ）。 A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小，减小 【切入点】表里有一个待定参数，先用「概率之和等于一」把它定下来 ——会发现它其实是个常数。然后把期望与方差都写成 的函数，再看单调性。 【关键】由 ，并注意 ，得 ，与 无关。。。所以 。记 ，它在 到 上从 增到 。期望 随 增大而减小；方差 同样随 增大而减小。故选 D。 【易错】一是没先定出 ，以为它含 。二是算平方的期望时漏掉取值 要平方成 。三是把 与 的单调性混为一谈 ——在 到 上两者都递增，代入后方向要重新看。 【答案】D 变式4-2（多选·★★★☆☆） 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 【切入点】这一题不涉及具体计算，逐项对照期望的含义与性质判断即可。 【关键】选项 A 说「样本估计总体时，总体的均值一定为 」——用样本估计总体总有误差，估计值不一定等于真值，何况「一定为」这种绝对说法本身就站不住，故 A 错。选项 B 说 反映了取值的平均水平 ——这正是数学期望的含义，故 B 对。选项 C 说的是平方的期望不小于期望的平方 ——由 及方差非负即得，故 C 对。选项 D 说服从两点分布时 ——两点分布只有 与 两个取值，，故 D 对。故选 BCD。 【易错】一是碰到「一定」「必然」这类绝对表述没多留一个心眼 ——估计量可以偏离真值。二是选项 C 是从方差非负反过来看出来的，想不到这一层会觉得两边没关系。三是多选题要看完整四个选项再落笔，别看到一个对的就收手。 【答案】BCD 例5（填空·★★★☆☆） 2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动。三人一组，每人可向AI助手提问。甲、乙、丙三人体验AI问答系统。活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是。第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响。则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【切入点】第一空是「先选人、再答题」的两步结构，按谁抢到麦克风分类，用全概率公式。第二空三人各自答对、互不影响，期望可以直接相加。 【关键】（1）三人抢到麦克风的概率都是 ，所以得到正确答案的概率为 。（2）第二环节三人各自独立答题，答对人数是三个只取零和一的量之和，由期望的线性性质，。故依次填 与 。 【易错】一是第一空里把三人的答对概率直接平均，忘了「先抢到麦克风」这一步各自的权重都是 。二是第二空里想先把分布列写出来再求期望 ——三人独立时期望直接相加即可。三是两个环节的答对率不同，别把第一环节的 用到第二环节。 【答案】； 变式5-1（单选·★★★☆☆） 甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同。先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次。记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】停止条件是「连续摸出两个红球」，所以只要盯住每一次摸到的是不是红球。注意各次的红球概率并不相同：第 次在甲袋摸，红球概率是 ；第 次在乙袋摸，红球概率是 。 【关键】随机变量 可取 。停在 ：两次都红，。停在 ：第 次红、第 次红、第 次非红，。停在 ：第 次与第 次都红、第 次非红，概率为 。停在 ：第 次与第 次都红、第 次非红，且第 、 次没有同时为红，概率为 。剩下 。于是 。故选 D。 【易错】一是把各次的红球概率一律当成 或一律当成 —— 奇数次在甲袋、偶数次在乙袋。二是算「停在 」时只用「第 与第 次都红」，忘了还要保证前面没有更早地出现连续两红。三是最大只到 （最多摸 次），不会取到 。 【答案】D 变式5-2（多选·★★★☆☆） 某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D. 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 【切入点】先用全概率公式算出「任一轮答对」的概率，再逐项核对。每轮答题相互独立，所以若干轮里答对的轮数服从二项分布。 【关键】任一轮答对的概率为 ，选项 A 正确。选项 B 不正确：从 类里抽题且未答对的概率为 ，而未答对的概率为 ，两者相除得 ，故 B 项错。选项 C 正确：三轮里只答对一道的概率为 。选项 D 正确：十六轮答对的轮数服从二项分布，期望为 。故选 ACD。 【易错】一是选项 B 里把条件概率的分母写成 或写成答 类的概率 ——条件概率的分母是「答错」这一事件的概率。二是选项 C 忘了乘组合数 。三是选项 D 用二项分布期望公式之前，要先确认「十六轮各自独立」这个前提成立。 【答案】ACD 例6（填空·★★★☆☆） 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 【切入点】三个人抽奖的条件完全相同且相互独立，所以中奖人数服从二项分布。先算一个人中奖的概率 —— 三次抽取共 个等可能结果，把和为 的倍数的结果数数出来。 【关键】三次所取号码之和最小为 、最大为 ，是 的倍数的只有 、、。和为 ：把 拆成三个 到 的正整数，共 组；和为 ：先按正整数分拆有 组，减去某个数超过 的 组，得 组；和为 ：先按正整数分拆有 组，减去某个数超过 的 组，再加回两个数同时超过 的 组，得 组。所以一个人中奖的概率为 。三人独立同分布，故 。故填 。 【易错】一是只数了和等于 的情形，漏掉 与 。二是和为 、 时忘了扣掉某个数超过 的情形，那样会把不可能的结果算进来。三是忘了三个人概率相同，直接把单人的概率乘以 。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望 = （ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【切入点】「每天至少戴一件」是一条确定成立的条件，它说明同一天里「戴帽子」与「戴墨镜」这两件事并不独立 ——两个边缘概率加上这条约束，就能把「只戴帽子」的概率定死。 【关键】设「两件都戴」的概率为 。由「至少戴一件」可知「两件都不戴」的概率为 ，于是「只戴帽子」的概率为 ，「只戴墨镜」的概率为 。三者相加等于 ：，解得 。所以只戴帽子的概率为 。各天的穿戴情况相互独立，故 。故选 A。 【易错】一是默认两件事独立，直接算 ，那会得到 天，不在选项里。二是把「各天穿戴的情况独立」当成「同一天内两件事独立」——前者指不同天之间，后者已被「至少戴一件」破坏。三是解出 之后忘了回到「只戴帽子」的概率，停在中途。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 随机变量及其分布列 分布列的求法、数学期望与方差 离散型随机变量的分布列 把随机试验的结果数量化之后，最要紧的是把「能取哪些值」与「取到每个值的可能性」一次说清楚。离散型随机变量的分布列干的就是这件事：把所有可能的取值按从小到大排好，每个取值下面写上对应的概率。它是一张表，也是一份完整的信息 ——有了它，关于这个随机变量的问题原则上都有了答案。所以题目要求「求分布列」，实际是要求把这份信息一次交齐。 写分布列有三个动作，次序不能颠倒。第一是定取值：把所有可能的取值一个不漏地找出来，并确认它们互不相容 —— 任何一次试验的结果只能落在其中一个取值上。第二是求概率：对每个取值，把「取到这个值」翻译成一个具体的事件再算概率。第三是列表：按取值排好，把概率填进去。第一个动作最容易漏，尤其是最大取值由「至多几次」决定的时候，边界要单独想一遍。 求每个取值的概率，用的还是前面学过的几件工具：等可能情形直接数基本事件，分步完成用乘法，分类完成用加法，涉及「已经发生某件事」时用条件概率。关键是先把事件说清楚。同一个取值往往对应好几种互不相同的走法，它们之间是「或者」的关系，要把各自的概率加起来，不能只算最常见的那一种。 最后一步是校验，而且必须真的去做。分布列有两条硬性质：每个概率都大于零，以及所有概率之和恰好等于一。概率为零的取值说明它根本取不到，应当从表里删掉。把自己算出来的数加一遍，花不了几秒钟，却能挡住整段推导里任何一处的漏项或重算。题目给出的分布列若带着待定参数，这两条性质同时也是解参数的方程。 例1（单选·★★☆☆☆） 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望 = （ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 变式1-1（填空·★★★☆☆） 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 变式1-2（填空·★★★☆☆） 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 例2（单选·★★★☆☆） 设集合，记样本空间，从中随机抽取一个角，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望 = ______． 例3（填空·★★★☆☆） 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 变式3-1（填空·★★★☆☆） 如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上。记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为__________. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球。现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 数学期望与方差 数学期望刻画的是一个随机变量在大量重复试验下的平均取值，但它不是把各个取值简单平均，而是按概率加权的平均 ——出现得多的取值，话语权就大。定义式写出来就是：把每个取值乘以它自己的概率，再全部加起来。所以只要分布列已经写好，求期望只是一次乘加运算；真正容易出错的地方，还是分布列本身。 期望有两条用起来最顺的性质。一条是常数可以提出、平移不影响：把每个取值都乘上同一个数再加同一个数，期望也照同样的方式变。另一条是期望可以拆开相加：几个随机变量之和的期望，等于各自期望之和，它们之间相不相关都不影响。第二条尤其有用 —— 很多题里的随机变量看起来复杂，拆成几个简单量之和以后，每一部分的期望都很好算。 方差刻画的是取值的离散程度，也就是数据围绕期望的波动有多大。它的定义是「偏差平方的加权平均」：把每个取值与期望的差求平方，再乘上这个取值的概率，全部加起来。按定义直接算，中间容易出错，所以实际计算常用快捷式：平方的期望减去期望的平方。两者由期望的线性性质连接，结果必然相同，可以互相印证。 最后有三件事要提醒。一是期望是一个数，不一定等于某个取值 —— 分布列里可以没有它。二是方差的单位是原单位的平方，要还原成与原数据同单位的量，就得开方，得到标准差。三是方差对线性变换的反应与期望不同：平移不改变方差，乘上常数则方差要乘这个常数的平方，因为偏差也同步放大了。 例4（填空·★★★☆☆） 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望 = ______________． 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（ ）。 A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小，减小 变式4-2（多选·★★★☆☆） 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 例5（填空·★★★☆☆） 2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动。三人一组，每人可向AI助手提问。甲、乙、丙三人体验AI问答系统。活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是。第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响。则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同。先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次。记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望 = （ ） A. B. C. D. 变式5-2（多选·★★★☆☆） 某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D. 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 例6（填空·★★★☆☆） 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 变式6-1（单选·★★★☆☆） 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望 = （ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 学科网（北京）股份有限公司 $