第2讲条件概率与全概率公式讲义-2027届高三数学一轮复习

条件概率与全概率公式 概率与统计 · 专题篇 一 条件概率的定义与直接计算 一、条件概率的定义。 在事件 已发生的条件下，事件 发生的概率为 ，其中 。 识别特征：题干出现「已知……」「在……的条件下」「若已知……」。 二、缩小样本空间。 等可能概型下 —— 分母换成 的样本空间，不再用原来的总数 。 ★ 本节台州-05、泉州-12、天河-06、辽阳-06 都走这一步：先数清「条件缩小后的总数」，再数符合条件的。 三、三个必算的量。 分子 是「 与 同时发生」；分母 是「条件本身发生」；两者必须在同一个样本空间里数。 ★ 有放回抽样 ；不放回抽样要用抽走之后的剩余球数。 四、两处最容易混淆。 「已知其中一个是红球」指的是「至少有一个红」，不是「指定的那一个是红」。 「至少有一题是几何」的对立事件是「两题都是代数」，不是「两题都是几何」。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「已知其中一个是红球」是条件，条件概率的样本空间只剩「至少一个红球」的取法。 【关键】从 球中取 球共 种；两球全黑的只有 种，故「至少一个红球」有 种。 分子是「两球都是红球」，只有 种。故 ，选 A。 【易错】若把「已知一个是红球」当成「指定的某一个球是红」，分母会变成 ，算出 —— 这正是干扰项 C。「有一个」说的是存在，不是指定。 【答案】 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______。 【切入点】不放回依次抽两人，第一次的结果已知 —— 直接看剩下的 人。 【关键】第一次抽走一名男生后，小组剩 人：男生 名、女生 名。第二次抽到女生的概率为 。 【易错】不要再用原来的 。条件已发生，总数从 降到 ，分子 不变。 【答案】 变式1-2（填空·★★★★☆） 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球。每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______。 【切入点】两空分两步：第一空是普通古典概型，第二空才是条件概率。 【关键】第一空：第一次取红 ，第二次在剩 球（ 红 白）中取红 ，故 。 第二空：第一次的红球已被取走，剩 红 白，故 。 【易错】第一空是「两次都红」，要连乘两次；第二空是「第一次红已发生」，不再乘第一次。两空答案不同就在这一步。 【答案】； 变式1-3（填空·★★★☆☆） 袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球。 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________。 【切入点】不放回抽 个球，第一空用组合数，第二空用条件概率。 【关键】第一空：。 第二空：前两个都是红球，已取走 红，剩 红 白共 球，故 。 【易错】第二空的分母是 不是 。若用公式验算，，，相除也得 ，两条路要对得上。 【答案】； 变式1-4（填空·★★★★☆） 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______。 【切入点】两空分别对应「有放回」与「不放回」，抽样方式不同，算法不同。 【关键】有放回：两次独立，颜色不同分「先白后红」与「先红后白」，。 不放回：，，故 。 【易错】有放回时条件概率等于无条件概率，两次互不影响；不放回时第二次的概率必须按剩余球重算。第一空的两种情况要相加，不能只算一种。 【答案】； 变式1-5（单选·★★★☆☆） 在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「至少有一题是几何」这句话本身就是条件，先数它的对立面更省事。 【关键】抽 题共 种；两题都是代数有 种，故「至少一题几何」有 种。 分子是「两题都是几何」，只有 种。故 ，选 B。 【易错】分母不是 —— 条件已把「两题都代数」的 种排除掉。另外「至少一题几何」的对立面是「两题都代数」，别写成「两题都几何」。 【答案】 变式1-6（单选·★★★☆☆） 小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三次拨号，已知第一次错 —— 后两次都只能在「错的号码」里挑。 【关键】；「第一次错且第三次对」还要求第二次也错，故 。 ，选 B。 【易错】第二次必须错，所以要乘 ；漏掉这一步会算成 。 【答案】 变式1-7（单选·★★★☆☆） 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 且 恰一个元素 —— 按 的元素个数分四类数。 【关键】设 有 个元素，则 必含「 中不属于 的那 个元素」，再在 中任取若干个添上。 分母（ 且 ）依次为 、、、，合计 ；分子（ 恰一个）依次为 、、、，合计 。 故 ，选 B。 【易错】 时 ， 不能等于 ，故是 种而不是 。另外 恰一个元素，等价于「 在 里只多取一个」，与「 中不属于 的那部分」无关。 【答案】 变式1-8（填空·★★★☆☆） 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子。魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位。假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动。完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________。 【切入点】两步操作后只看末状态，初始摆法只有 种 —— 全部列举。 【关键】用 、、 代表勺、筷、杯。六种初始摆法经两步后的末状态为：，，，，，。 杯在右位的末状态有 种（除 ），其中筷在中位的只有 一种。故 。 【易错】两步顺序不能颠倒（先筷后杯）。「筷已在最左」「杯已在最右」时本次不动，这两种情形最容易漏。 【答案】 二 条件概率与独立性的综合 一、比赛型（ 局 胜制）。 设每局甲胜率为 ，「甲获胜」= 赢下最后一局且此前已赢 局。 局 胜时化简为 ，其中 对应 、 对应 。 二、恰有 次型。 把「恰有 场赢」拆成互斥的几种具体胜负序列，逐个乘、再相加；分子只取其中含指定事件的那几项。 ★ 济宁-05、宿州-05、潍坊(2)-07 都是这条路，写法固定：先列序列，再算两个概率。 三、计数型（分派、排列、子集）。 分母数「条件成立」的方案数，分子数「条件与目标同时成立」的方案数，比出来即可。 ★ 东营-05 数甲去 的分派，扬州-05 数奇偶交替的六位数，常州-08 数 的有序对。 四、状态转移型。 先写清一步转移的概率（在 时怎么走、不在 时怎么走），再用乘法公式串起来，最后用条件概率公式收口。 ★ 景德镇-14、岳阳(2)-14、兴安盟-14 都是「先算 与 ，再相除」，枚举要穷尽。 例2（单选·★★☆☆☆） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 局 胜，甲胜分「」与「」两条，其中只有「」才打了 局。 【关键】。 「甲胜且打满 局」就是 那条，。 故 ，选 C。 【易错】 有两种序列（胜负胜、负胜胜），前面要乘 。另外分母含 那一项 ，分子不含 —— 两者的差就在这里。 【答案】 变式2-1（单选·★★★☆☆） 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛。决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立。则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 2 同构，把「比赛打了几局」换成「第一局是否获胜」。 【关键】甲胜： 概率 ， 概率 ，故 。 「甲胜且第一局胜」= 加上 里的「胜负胜」，。 故 ，选 D。 【易错】 里只有「胜负胜」满足第一局胜，「负胜胜」要排除 ——这是分子与分母唯一的差别，也是 A、C 两个干扰项的来源。 【答案】 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛。宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立。则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三场胜率各不相同，「恰有两场赢」要拆成三条互斥的具体序列。 【关键】设三场赢为 、、，恰两场赢为 。三条互斥序列分别对应「输第一场」「输第二场」「输第三场」，概率为 、、，三项相加得 。 「第一场赢且恰两场赢」为后两项之和（输的是第二场或第三场），即 。 故 ，选 B。 【易错】三项里「输」的位置不同，取的是三个不同的概率（、、），不能统一代一个数。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】四人到三站、每站至少一人 —— 人数分配只能是 ；条件为「甲在 」。 【关键】甲单独在 ：其余三人分到 、 且每站至少一人，有 种。 甲与另一人在 ：先选同行者 ，另两人分到 、，共 种。故分母共有 种。 分子「甲乙同在 」：另两人分到 、，有 种。故 ，选 A。 【易错】甲在 时其余三人不能全挤到 或 一边（那样会空出一站），两种情形都要数到，漏一种分母就错。 【答案】 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先数「相邻奇偶不同」的六位数，再数其中「 与 相邻」的。 【关键】三个偶数先排 ，三个奇数插空，骨架只有「偶奇偶奇偶奇」与「奇偶奇偶奇偶」两种，故分母为 。 「、 相邻」分个位奇偶两类：个位为偶数 种，个位为奇数 种，共 种。故 ，选 C。 【易错】插空骨架只有两种，不是 种。数 时要按「 在不在个位」「 在不在个位」分开讨论，否则会重会漏。 【答案】 变式2-5（填空·★★★☆☆） 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______。 【切入点】六次抛掷共 种，「出现了正面」把「全反」那一种排除。 【关键】。 按正面次数数「无连续三正」：正 次 、 次 、 次 、 次 ，、 次为 ，另加全反 ，共 。去掉全反得 。 故 。 【易错】分母是 不是 ；分子也要跟着去掉全反那一个，否则分子分母不同源。正面 次要减去 （三正连在一起的排列），正面 次只有 种，别按 数。 【答案】 变式2-6（填空·★★★★☆） 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 = __________。 【切入点】正四面体每个顶点连三条棱：从 出发下一步必不在 ，从非 出发回 的概率是 。 【关键】，，故 。 又 。从非 出发三步回 有两条路：「非」贡献 ，「非非」贡献 ，两条相加得 ，故 。 ，故 。 【易错】第一，「从非 出发三步回 」有两条路（非 与 非非），漏一条就少 。第二，最后求的是 在 已发生的条件下，分子用 而不是 。 【答案】 变式2-7（填空·★★★★☆） 一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 = ____________． 【切入点】四次运动共 条路线，条件「仅 次经过 」——逐条列举。 【关键】只经过 一次的路线共 条：、、、、、、。 其中第 次回到 的有 、、 三条。故 。 【易错】「经过 」指落点在 ，不把出发点 算进去。 末点在 、 末点在 ，都不算回到 ，别数进去。 【答案】 三 全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式。 设 两两互斥且并为全集，则 。 识别特征：题目先按「批次／车床／袋／城区」分成几类，再问「任取一个」的概率。 二、贝叶斯公式。 。 识别特征：「已知取到的是次品（合格品／阳性），求它来自第 类」。 ★ 分母就是全概率结果，第一问算过就直接复用，不要重算。 三、三步写法。 先设事件并写出各 与 ；再用全概率公式求 ；最后用贝叶斯公式反推。 ★ 本节河北区-13、邵阳-07、南阳-13、昆明-17 全部按这三步写，不要跳步。 四、反求占比型。 把全概率公式当成关于未知占比的方程： 已知、 已知，解出 。 ★ 龙岩-03 解 、崇左(2)-17 解接种率，都是「设未知、列方程、解出来」。 例3（填空·★★★★☆） 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为。将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______。 【切入点】先按批次分三类，再问任取一件是次品 —— 全概率公式；第二空反过来问「来自哪一批」—— 贝叶斯公式。 【关键】设 为「取自第 批」， 为「取到次品」。、、，、。 。 。 【易错】第二空的分母就是第一空的 ，不用重算；分子只取「第一批且次品」这一项，不是三批之和。 【答案】； 变式3-1（单选·★★★★☆） 有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、。任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三台车床的占比与次品率都给全了，问「次品来自甲」—— 贝叶斯。 【关键】。 ，选 C。 【易错】分子只取甲这一项 。若直接把 当答案，就漏掉了「已知是次品」这个条件。 【答案】 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品。三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和。若市场上该产品的次品率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】饼图给出三家占有率 、、，混合后的次品率已知 —— 用全概率公式反解 。 【关键】设任取一件为次品是事件 ，则 。 两边同除 ，得 ，解得 ，选 C。 【易错】占有率要从饼图读出，不能想当然按 处理；三个百分数相加时单位是「百分点」，与右边的 两边要一致。 【答案】 变式3-3（填空·★★★☆☆） 采购员要购买某种电器元件一包（12个）。他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包。假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______。 【切入点】先分「含 个次品的包」与「含 个次品的包」两类，再算各自被拒绝的概率 —— 全概率。 【关键】、。 「拒绝购买」= 抽到的 个里至少一个次品，用对立事件算：，。 故 。 【易错】 要算对；两个条件概率的分母相同（都是 ），分子分别是 、，别搞反。 【答案】 变式3-4（填空·★★★★☆） 某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、。若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________。 【切入点】第一空只在 区内部，是独立重复；第二空跨两个区，才是全概率。 【关键】第一空：。 第二空：人口占比 、，故 。 【易错】第一空不能用全概率（只涉及 区），走对立事件「三人都未感染」最快；第二空不能把两个感染率平均成 ，必须按人口占比加权。 【答案】； 变式3-5（解答·★★★★☆） 某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查．从混合的零件中任取1个．（ⅰ）求这个零件是合格品的概率；（ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率． 【切入点】两台车床的产量占比与次品率都给全了，问「任取一件合格」——全概率公式；再问「合格品来自甲」—— 贝叶斯公式。 【关键】设 为「甲车床加工」、 为「乙车床加工」、 为「取到合格品」。、，、。 （ⅰ）。 （ⅱ）。 【易错】题给的是次品率，条件概率要先转成合格率 、；直接把 、 代进去算出来是次品的概率。另外（ⅱ）的分母用刚算出的 ，不要再按 算。 【答案】； 变式3-6（解答·★★★★☆） 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球．先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，若已知取出的2个球都是红球，求这2个球来自乙袋的概率． 【切入点】「任选一袋再取两球」，取出的结果已知全红，问来自哪一袋 ——典型的贝叶斯。 【关键】设 为「选中乙袋」、 为「取出的两球都是红球」。，，。 。 ，即 。 【易错】两袋被选中的概率都是 ，不能按袋中球数加权；分子只取「选中乙袋且两球全红」这一项。另外已知是两球全红，不是「至少一球红」，条件概率别写错。 【答案】 变式3-7（解答·★★★★☆） 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率.若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【切入点】已知患病率与两种接种状态下的患病率，反求接种率 ——把全概率公式当成方程解。 【关键】从甲社区 人中 人患病，得 （ 为「患该疾病」）。 设 为「接种了疫苗」，则 、。 由 得 ，解得 。 【易错】 是未知量，不能当 ；方程右边两个系数 与 分别对应「接种后」「未接种」的患病率，与 、 的搭配不能对调。 【答案】 变式3-8（解答·★★★★☆） 现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）． 【切入点】「检测阳性的人中未患病的比例」—— 分母是阳性，分子是「未患病且阳性」，贝叶斯。 【关键】设 为「检测阳性」、 为「患病」。、，、。 。 故 。 【易错】误诊率的分母是 不是 。「 呈阴性」要转成 ，不是 。本题分母只有 ，是因为健康人基数极大 —— 这正是误诊率高的原因。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 条件概率与全概率公式 概率与统计 · 专题篇 一 条件概率的定义与直接计算 一、条件概率的定义。 在事件 已发生的条件下，事件 发生的概率为 ，其中 。 识别特征：题干出现「已知……」「在……的条件下」「若已知……」。 二、缩小样本空间。 等可能概型下 —— 分母换成 的样本空间，不再用原来的总数 。 ★ 本节台州-05、泉州-12、天河-06、辽阳-06 都走这一步：先数清「条件缩小后的总数」，再数符合条件的。 三、三个必算的量。 分子 是「 与 同时发生」；分母 是「条件本身发生」；两者必须在同一个样本空间里数。 ★ 有放回抽样 ；不放回抽样要用抽走之后的剩余球数。 四、两处最容易混淆。 「已知其中一个是红球」指的是「至少有一个红」，不是「指定的那一个是红」。 「至少有一题是几何」的对立事件是「两题都是代数」，不是「两题都是几何」。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______。 变式1-2（填空·★★★★☆） 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球。每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______。 变式1-3（填空·★★★☆☆） 袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球。 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________。 变式1-4（填空·★★★★☆） 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______。 变式1-5（单选·★★★☆☆） 在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（ ） A. B. C. D. 变式1-6（单选·★★★☆☆） 小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（ ） A. B. C. D. 变式1-7（单选·★★★☆☆） 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-8（填空·★★★☆☆） 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子。魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位。假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动。完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________。 二 条件概率与独立性的综合 一、比赛型（ 局 胜制）。 设每局甲胜率为 ，「甲获胜」= 赢下最后一局且此前已赢 局。 局 胜时化简为 ，其中 对应 、 对应 。 二、恰有 次型。 把「恰有 场赢」拆成互斥的几种具体胜负序列，逐个乘、再相加；分子只取其中含指定事件的那几项。 ★ 济宁-05、宿州-05、潍坊(2)-07 都是这条路，写法固定：先列序列，再算两个概率。 三、计数型（分派、排列、子集）。 分母数「条件成立」的方案数，分子数「条件与目标同时成立」的方案数，比出来即可。 ★ 东营-05 数甲去 的分派，扬州-05 数奇偶交替的六位数，常州-08 数 的有序对。 四、状态转移型。 先写清一步转移的概率（在 时怎么走、不在 时怎么走），再用乘法公式串起来，最后用条件概率公式收口。 ★ 景德镇-14、岳阳(2)-14、兴安盟-14 都是「先算 与 ，再相除」，枚举要穷尽。 例2（单选·★★☆☆☆） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛。决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立。则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛。宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立。则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 变式2-5（填空·★★★☆☆） 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______。 变式2-6（填空·★★★★☆） 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 = __________。 变式2-7（填空·★★★★☆） 一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 = ____________． 三 全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式。 设 两两互斥且并为全集，则 。 识别特征：题目先按「批次／车床／袋／城区」分成几类，再问「任取一个」的概率。 二、贝叶斯公式。 。 识别特征：「已知取到的是次品（合格品／阳性），求它来自第 类」。 ★ 分母就是全概率结果，第一问算过就直接复用，不要重算。 三、三步写法。 先设事件并写出各 与 ；再用全概率公式求 ；最后用贝叶斯公式反推。 ★ 本节河北区-13、邵阳-07、南阳-13、昆明-17 全部按这三步写，不要跳步。 四、反求占比型。 把全概率公式当成关于未知占比的方程： 已知、 已知，解出 。 ★ 龙岩-03 解 、崇左(2)-17 解接种率，都是「设未知、列方程、解出来」。 例3（填空·★★★★☆） 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为。将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______。 变式3-1（单选·★★★★☆） 有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、。任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品。三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和。若市场上该产品的次品率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式3-3（填空·★★★☆☆） 采购员要购买某种电器元件一包（12个）。他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包。假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______。 变式3-4（填空·★★★★☆） 某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、。若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________。 变式3-5（解答·★★★★☆） 某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查．从混合的零件中任取1个．（ⅰ）求这个零件是合格品的概率；（ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率． 变式3-6（解答·★★★★☆） 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球．先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，若已知取出的2个球都是红球，求这2个球来自乙袋的概率． 变式3-7（解答·★★★★☆） 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率.若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 变式3-8（解答·★★★★☆） 现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）． 学科网（北京）股份有限公司 $