第20讲 简单的三角恒等变换专项训练-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第20讲 简单的三角恒等变换-2027届高考数学一轮复习 知识整合　体系重构 激活思维 1．计算：cos＝(　　) A．　 B． C．　 D． 2．若cos θ＝－且θ∈，则sin的值为(　　) A．　 B．－ C．　 D． 3．(多选)下列等式成立的是(　　) A．sin＝cos 2 B．cos 73°cos 28°＋sin 73°sin 28°＝ C．tan 15°＝2－ D．sin 40°＋cos 40°＝sin 70° 4．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝____． 5．已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)的值为________． 聚焦知识 1．两角和、差公式 (1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)． (2) 辅助角公式 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值确定． 2．二倍角公式 S2α sin 2α＝__________； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝__________＝__________ ＝___________； 降幂公式：cos2α＝___________， sin2α＝__________ T2α tan 2α＝ *3．半角公式 sin＝±；cos＝±； tan＝±＝＝． 题型突破　思维拓展 举题说法 和、差、倍角公式的直接应用 例1　(1) 已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos＝(　　) A．　 B． C．　 D． (2)已知tan－tan＝4，则＝(　　) A．2　 B． C．　 D．3 (3)(多选)若cos αcos β＝，cos(α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝　 B．cos(α－β)＝ C．tan αtan β＝－　 D．sin 2αsin 2β＝ (1) 利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征． (2) 利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 和、差、倍角公式的逆用与变形应用 视角1　公式的逆用 例 2－1　(1) 下列函数值为的是(　　) A．sin2－sin2　 B． C．sin 105°sin 15°　 D．－ (2)(多选)下列等式正确的是(　　) A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．＝ D．cos215°－sin215°＝ 视角2　公式的变形应用 例 2－2　(1) 计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°的值为(　　) A．　 B． C．－　 D．－ (2)若cos＝，则sin 2α＝(　　) A．－　 B． C．－　 D． (1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2) 注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． (3) 和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4) 倍角公式变形： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝； 配方变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2． 1．下列式子的运算结果不等于的是(　　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°) C． D． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝(　　) A．13　 B．14 C．15　 D．16 3．已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m　 B．－ C．　 D．3m 4．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝____． 辅助角公式的应用 例3　(1)已知sin＋cos α＝，则cos＝(　　) A．－　 B． C．－　 D． (2)已知α是锐角，sin α＋2cos α＝，则sin α＝_________． (3) 若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为____． 辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征． 变式3　(1)函数f(x)＝sincos x的最小值为_________． (2) 函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x(x∈[0，π])的单调递减区间为__________． 三角恒等式的求值 视角1　给角求值 例 4－1　(1)计算：tan 70°cos 10°·(tan 20°－1)＝____． (2) 计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝____． 视角2　给值求值 例 4－2　已知sin＝，且0＜α＜，则sin2α＝( 　) A．　 B． C．　 D． 视角3　给值求角 例 4－3　(1) 已知sin α＝，α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　　) A．　 B． C．　 D． (2) 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝____． 常见的缩小角的范围的方法 一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围． 变式 4(1)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝____． (2)计算：－＝(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 　积化和差与和差化积公式 1．积化和差 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]， sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， 2．和差化积 sinα＋sinβ＝2sincos， sinα－sinβ＝2cossin， cosα＋cosβ＝2coscos， cosα－cosβ＝－2sinsin． 例5(1) 计算：sin20°＋sin40°－sin80°＝____． (2) 计算：(sin20°－sin40°)2＋3sin20°·cos50°＝(　　) A．　 B． C．　 D．－3 (3) 已知tan＝，tanαtanβ＝，则cos(α－β)＝____． 随堂内化 1．若(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则tan(α＋β)＝(　　) A．0　 B． C．1　 D．4 2．已知sin(α－β)＝－，＝，则sin(α＋β)＝___________． 3．计算：＋4cos220°＝____． 配套精练 简单的三角恒等变换——练习1 一、单项选择题 1．若cos 2α＝sin2α，则sin α＝(　　) A．　 B．± C．　 D．± 2．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin αcos β＝(　　) A．　 B．－ C．－　 D． 3．若α∈，tan α＝，则sin＝(　　) A．　 B． C．　 D． 4．已知sin α＝2cos，则tan2α－cos2α＝(　　) A．　 B． C．　 D． 5．已知α∈，sin＝，则cos α＝(　　) A．　 B． C．　 D． 6．已知sin(α＋β)＝，tan α＝2tan β，则sin(α－β)＝(　　) A．　 B． C．　 D． 7．已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A．　 B． C．　 D． 8．若角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α＋β)＝1　 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1　 D．tan(α－β)＝－1 二、多项选择题 9．下列等式能够成立的有(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D．sin 15°＋cos 15°＝1 10．已知0＜α＜＜β＜π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则下列选项正确的有(　　) A．sin(α＋β)＝±　 B．cos β＝－ C．cos 2β＝－　 D．sin(α－β)＝－ 11．下列等式正确的是(　　) A．＝－1 B．若cos 2α＝，则sin4α－cos4α＝ C．若tan α＝3，则sin 2α＝ D．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝－ 三、填空题 12．已知α，β∈，sin(α－β)＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝________． 13．已知α，β∈[0,2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)．写出满足条件的一组α，β的值α＝_________，β＝__________． 14．已知tan＝，则sin＝________． 15．已知α＋β＝，tanα＋tanβ＝3，则cos(α－β)＝_________． 16．已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tanαtan＝2－，则β＝____． 简单的三角恒等变换——练习2 一、单项选择题 1．已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝(　　) A．　 B． C．　 D． 2．若3sin(2α－β)＝sinβ，且α－β≠＋kπ，α≠，k∈Z，则＝(　　) A．－3　 B．－ C．－2　 D．－ 3．sin 18°cos 36°＝(　　) A．　 B． C．　 D． 4．已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tan αtan＝2－，则β＝(　　) A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题 5．已知0＜α＜β＜，且3cos α＋cos β＝3,3sin α－sin β＝2，则(　　) A．cos(α＋β)＝　 B．sin(α＋β)＝ C．tan(2α＋2β)＝　 D．β∈ 6．已知α∈，β∈(0，π)，cos 2α＝－，cos(β－α)＝－，则(　　) A．tan α＝－　 B．sin(β－α)＝－ C．α＋β＝　 D．cos αcos β＝－ 三、填空题 7．已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝____． 8．若tan(α－β)＝3，＝18，则tan 2α＝___． 9．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则＝_______． 四、解答题 10．证明：(1) ＝tan α＋； (2) －2cos(α＋β)＝． 11．已知函数f(x)＝cosx． (1)若α，β为锐角，f(α＋β)＝－，tanα＝，求cos2α及tan(β－α)的值； (2)设函数g(x)＝f(2x)－3，若对任意x，g2(x)≤(2＋a)g(x)－2－a恒成立，求实数a的最大值； (3)已知f(α)＋f(β)－f(α＋β)＝，α，β∈(0，π)，求α及β的值． 参考答案 激活思维 1．计算：cos＝(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 cos＝cos＝×－×＝． 2．若cos θ＝－且θ∈，则sin的值为(　A　) A．　 B．－ C．　 D． 【解析】 因为θ∈，所以sin θ＞0．因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×－×＝． 3．(多选)下列等式成立的是(　ABC　) A．sin＝cos 2 B．cos 73°cos 28°＋sin 73°sin 28°＝ C．tan 15°＝2－ D．sin 40°＋cos 40°＝sin 70° 【解析】 sin＝cos 2，故A正确；cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos(73°－28°)＝cos 45°＝，故B正确；tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，故C正确；sin 40°＋cos 40°＝sin 40°cos 60°＋cos 40°sin 60°＝sin(40°＋60°)＝sin 100°＝sin 80°，故D错误． 4．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝__2__． 【解析】 由tan(α＋β)＝＝tan＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，故(1－tan α)·(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2． 5．已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)的值为__－__． 【解析】 因为cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，所以(cos α＋cos β)2＝，(sin α＋sin β)2＝，上述两式相加得cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＋sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝＋，即2＋2cos(α－β)＝，解得cos(α－β)＝－． 题型突破　思维拓展 举题说法 和、差、倍角公式的直接应用 例1　(1) 已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos＝(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为角α为第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－，所以cos＝cos αcos＋sin α·sin＝－×＋×＝． (2)已知tan－tan＝4，则＝(　B　) A．2　 B． C．　 D．3 【解析】 因为tan－tan＝4，所以－＝4，即＝4，所以tan2α＋tan α＝1，所以＝＝＝． (3)(多选)若cos αcos β＝，cos(α＋β)＝，则(　BC　) A．sin αsin β＝　 B．cos(α－β)＝ C．tan αtan β＝－　 D．sin 2αsin 2β＝ 【解析】 由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，得sin αsin β＝－，故A错误；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确；由tan αtan β＝＝＝－，故C正确；sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4××＝－，故D错误． (1) 利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征． (2) 利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 和、差、倍角公式的逆用与变形应用 视角1　公式的逆用 例 2－1　(1) 下列函数值为的是(　C　) A．sin2－sin2　 B． C．sin 105°sin 15°　 D．－ 【解析】 对于A，sin2－sin2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝－cos＝－．对于B，＝＝＝2．对于C，sin 105°sin 15°＝sin 15°sin(90°＋15°)＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝．对于D，－＝＝＝＝＝4． (2)(多选)下列等式正确的是(　BD　) A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．＝ D．cos215°－sin215°＝ 【解析】 对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－，故A错误；对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝，故B正确；对于C，＝tan(48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C错误；对于D，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确． 视角2　公式的变形应用 例 2－2　(1) 计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°的值为(　D　) A．　 B． C．－　 D．－ 【解析】　因为tan 120°＝＝－，所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°＝－． (2)若cos＝，则sin 2α＝(　C　) A．－　 B． C．－　 D． 【解析】方法一：由cos＝，得cos＝2cos2－1＝－，故cos＝sin 2α＝－． 方法二：因为cos＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－． (1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2) 注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． (3) 和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4) 倍角公式变形： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝； 配方变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2． 1．下列式子的运算结果不等于的是(　D　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°) C． D． 【解析】 对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝．对于B,2(sin 35°·cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝．对于C，＝＝tan 60°＝．对于D，＝×＝×tan ＝． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝(　C　) A．13　 B．14 C．15　 D．16 【解析】 因为tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，所以化简得①＋②得tan α＝4＋tan αtan β，①－②得tan β＝－1－4tan αtan β．所以4tan α＋tan β＝16－1＝15． 3．已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　A　) A．－3m　 B．－ C．　 D．3m 【解析】 由cos(α＋β)＝m，可得cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m． 4．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝____． 【解析】 由题意知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，所以cos(β－α)＝．因为γ∈，所以sin γ＝sin β－sin α＞0．又α，β∈，所以β＞α，所以0＜β－α＜，所以β－α＝． 辅助角公式的应用 例3　(1)已知sin＋cos α＝，则cos＝(　B　) A．－　 B． C．－　 D． 【解析】 由sin＋cos α＝，得sin α－cos α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，因此sin＝，所以cos＝cos ＝1－2sin2＝． (2)已知α是锐角，sin α＋2cos α＝，则sin α＝____． 【解析】方法一：由sin α＋2cos α＝，得cos α＝－sin α，由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋2＝1，化简得(sin α－)2＝0，得sin α＝． 方法二：因为sin α＋2cos α＝sin(α＋φ)＝，所以sin(α＋φ)＝1，且sin φ＝，cos φ＝，sin α＝sin[(α＋φ)－φ]＝sin(α＋φ)cos φ－cos(α＋φ)sin φ＝1×－0×＝． (3) 若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为____． 【解析】 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝·sin(x＋θ)．因为f(x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin φ＝1，故φ＝＋2kπ(k∈Z)． 辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征． 变式3　(1)函数f(x)＝sincos x的最小值为__－__． 【解析】 f(x)＝sincos x＝cos x＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin－．当sin＝－1，即x＝－＋kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最小值－． (2) 函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x(x∈[0，π])的单调递减区间为____． 【解析】 函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋，令2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z．因为x∈[0，π]，所以所求单调递减区间为． 三角恒等式的求值 视角1　给角求值 例 4－1　(1)计算：tan 70°cos 10°·(tan 20°－1)＝__－1__． 【解析】 原式＝tan 70°cos 10°＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝·cos 10°·＝·＝＝－1． (2) 计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝____． 【解析】 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝． 视角2　给值求值 例 4－2　已知sin＝，且0＜α＜，则sin2α＝(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由0＜α＜，得－＜－α＜，令t＝－α，则t∈，即sint＝，于是cost＝，sin2t＝2sintcost＝，cos2t＝1－2sin2t＝，所以sin2α＝sin＝sincos2t－cossin2t＝． 视角3　给值求角 例 4－3　(1) 已知sin α＝，α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由题知cos α＝＝．因为tan β＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝．又0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，所以α＋β＝． (2) 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝__－__． 【解析】 因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜．又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，所以tan(2α－β)＝＝＝1．又tan β＝－＜0，所以＜β＜π，则－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－． 常见的缩小角的范围的方法 一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围． 变式 4(1)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝__0__． 【解析】 若sin β＝0，则cos 2α＝0，而sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，所以sin β≠0，cos 2α≠0，所以＝＝，则cos 2αcos β－sin 2αsin β＝0，即cos(2α＋β)＝0． (2)计算：－＝(　C　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 －＝＝＝＝＝4． 　积化和差与和差化积公式 1．积化和差 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]， sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， 2．和差化积 sinα＋sinβ＝2sincos， sinα－sinβ＝2cossin， cosα＋cosβ＝2coscos， cosα－cosβ＝－2sinsin． 例5(1) 计算：sin20°＋sin40°－sin80°＝__0__． 【解析】 sin20°＋sin40°－sin80°＝2sin30°·cos10°－cos10°＝cos10°－cos10°＝0． (2) 计算：(sin20°－sin40°)2＋3sin20°·cos50°＝(　C　) A．　 B． C．　 D．－3 【解析】(sin20°－sin40°)2＋3sin20°cos50°＝(－2cos30°sin10°)2＋(sin70°－sin30°)＝3sin210°＋sin70°－＝(1－cos20°)＋sin70°－＝－cos20°＋cos20°－＝． (3) 已知tan＝，tanαtanβ＝，则cos(α－β)＝____． 【解析】 因为tanαtanβ＝＝＝，所以cos(α－β)＝－cos(α＋β)．又cos(α＋β)＝＝＝－，所以cos(α－β)＝－×＝． 随堂内化 1．若(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则tan(α＋β)＝(　C　) A．0　 B． C．1　 D．4 【解析】 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，tan(α＋β)＝＝＝1． 2．已知sin(α－β)＝－，＝，则sin(α＋β)＝____． 【解析】 由题知sin(α－β)＝sin αcos β－cos α·sin β＝－，＝＝，可得sin αcos β＝cos αsin β，则sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β＝－，所以cos αsin β＝，sin αcos β＝cos αsin β＝，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝． 3．计算：＋4cos220°＝__4__． 【解析】 ＋4cos220°＝＋2(1＋cos 40°)＝＋2cos 40°＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝4． 配套精练 简单的三角恒等变换——练习1 一、单项选择题 1．若cos 2α＝sin2α，则sin α＝(　B　) A．　 B．± C．　 D．± 【解析】 因为cos 2α＝sin2α，所以1－2sin2α＝sin2α，解得sin α＝±． 2．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin αcos β＝(　D　) A．　 B．－ C．－　 D． 【解析】 因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos αsin β＝，则sin αcos β＝． 3．若α∈，tan α＝，则sin＝(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由tan α＝＝，即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α，整理得sin α＝．因为α∈，sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝＝，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝． 4．已知sin α＝2cos，则tan2α－cos2α＝(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由题知sin α＝2，可得tan α＝，所以tan2α－cos2α＝tan2α－＝tan2α－＝． 5．已知α∈，sin＝，则cos α＝(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由α∈，得α－∈．由sin＝及sin2θ＋cos2θ＝1，得cos＝＝．故cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝． 6．已知sin(α＋β)＝，tan α＝2tan β，则sin(α－β)＝(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为tan α＝2tan β，所以sin αcos β＝2cos αsin β．又因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝． 7．已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】　因为cos α＝1－2sin2＝，所以sin2＝＝2，则sin＝或sin＝．因为α为锐角，所以sin＞0，则sin＝． 8．若角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　D　) A．tan(α＋β)＝1　 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1　 D．tan(α－β)＝－1 【解析】方法一：令β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，C．令α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除B． 方法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos β＋cossin β，得sincos β＝cossin β，故sin·cos β－cossin β＝0，即sin＝0，所以sin＝sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，即sin(α－β)＝－cos(α－β)，故tan(α－β)＝－1． 二、多项选择题 9．下列等式能够成立的有(　BC　) A．sin 15°cos 15°＝ B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D．sin 15°＋cos 15°＝1 【解析】 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°·cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误． 10．已知0＜α＜＜β＜π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则下列选项正确的有(　BD　) A．sin(α＋β)＝±　 B．cos β＝－ C．cos 2β＝－　 D．sin(α－β)＝－ 【解析】 因为0＜α＜且sin α＝，所以cos α＝．又α＋β∈，cos(α＋β)＝－＝－cos α，所以α＋β＝π－α或α＋β＝π＋α．当α＋β＝π＋α时，β＝π显然不满足，故α＋β＝π－α，所以sin(α＋β)＝，故A错误；对于B，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－，故B正确；对于C，cos 2β＝2cos2β－1＝2×2－1＝，故C错误；对于D，由B可知sin β＝＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，故D正确． 11．下列等式正确的是(　AC　) A．＝－1 B．若cos 2α＝，则sin4α－cos4α＝ C．若tan α＝3，则sin 2α＝ D．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝－ 【解析】 对于A，＝＝＝＝－1，故A正确；对于B，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－，故B错误；对于C，若tan α＝3，则sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，故C正确；对于D，因为tan 60°＝＝，所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，故tan 23°＋tan 37°＋tan 23°·tan 37°＝，故D错误． 三、填空题 12．已知α，β∈，sin(α－β)＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝____． 【解析】　由已知得sin αcos β－cos αsin β＝①．由tan α＝3tan β，得＝3，即sin α·cos β＝3cos αsin β②．联立①②，解得所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1．因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝． 13．已知α，β∈[0,2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)．写出满足条件的一组α，β的值α＝____，β＝__ (答案不唯一)__． 【解析】 因为sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z，故取α＝，β＝可满足题设要求． 14．已知tan＝，则sin＝____． 【解析】 由tan＝＝，得cos＝3sin．又cos2＋sin2＝1，所以cos2＝，所以sin＝sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝． 15．已知α＋β＝，tanα＋tanβ＝3，则cos(α－β)＝__－__． 【解析】 因为α＋β＝，tanα＋tanβ＝3，所以tan(α＋β)＝＝＝1，所以tanα·tanβ＝－2，即＝－2，即sinαsinβ＝－2cosαcosβ①．因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝②，联立①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝－，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－． 16．已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tanαtan＝2－，则β＝____． 【解析】 由2α＋β＝，得α＋＝，所以tan＝＝，又tanαtan＝2－，则tanα＋tan＝＝3－，解得tanα＝2－，tan＝1或tanα＝1，tan＝2－．当tan＝1时，因为0＜β＜，所以0＜＜，则此时β不存在；当tanα＝1时，因为0＜α＜，所以α＝，而tan＝2－，则tanβ＝＝＝，因为β为锐角，所以β＝． 简单的三角恒等变换——练习2 一、单项选择题 1．已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为sin＝－cos 2α，所以－cos 2α＋cos＝0，即cos 2α＝cos，即cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)．因为α∈，所以cos α＋sin α＞0，所以cos α－sin α＝，即cos＝．又α∈，所以α＋∈，所以α＋＝，所以α＝． 2．若3sin(2α－β)＝sinβ，且α－β≠＋kπ，α≠，k∈Z，则＝(　D　) A．－3　 B．－ C．－2　 D．－ 【解析】 由2α－β＝α＋(α－β)，β＝α－(α－β)，将其代入3sin(2α－β)＝sinβ，得3sin[α＋(α－β)]＝sin[α－(α－β)]，展开得3[sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)，整理得2sinαcos(α－β)＋4cosαsin(α－β)＝0．又α－β≠＋kπ，α≠，k∈Z，所以cosαcos(α－β)≠0，两边同时除以 2cosαcos(α－β)，得tanα＋2tan(α－β)＝0，解得＝－． 3．sin 18°cos 36°＝(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 sin 18°cos 36°＝＝＝＝＝． 4．已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tan αtan＝2－，则β＝(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由2α＋β＝，得α＋＝，所以tan＝＝．又tan αtan＝2－，则tan α＋tan＝＝3－，解得tan α＝2－，tan＝1或tan α＝1，tan＝2－．当tan＝1时，因为0＜β＜，所以0＜＜，此时β不存在；当tan α＝1时，因为0＜α＜，所以α＝，而tan＝2－，则tan β＝＝＝．因为β为锐角，所以β＝． 二、多项选择题 5．已知0＜α＜β＜，且3cos α＋cos β＝3,3sin α－sin β＝2，则(　BD　) A．cos(α＋β)＝　 B．sin(α＋β)＝ C．tan(2α＋2β)＝　 D．β∈ 【解析】 对于A，因为3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，两式平方后相加得9＋10＋6·(cos αcos β－sin αsin β)＝13，所以cos(α＋β)＝－，故A错误．对于D，因为0＜α＜β＜，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＜0，所以α＋β∈．由2β＞α＋β＞，知β＞．又0＜α＜β＜，所以β∈，故D正确．对于B，sin(α＋β)＝＝，故B正确．对于C，tan(α＋β)＝＝－3，所以tan(2α＋2β)＝＝＝，故C错误． 6．已知α∈，β∈(0，π)，cos 2α＝－，cos(β－α)＝－，则(　BD　) A．tan α＝－　 B．sin(β－α)＝－ C．α＋β＝　 D．cos αcos β＝－ 【解析】 对于A，因为＜α＜π，cos 2α＝－，所以tan α＝－＝－2，故A错误．对于B，由－π＜－α＜－，0＜β＜π，得－π＜β－α＜，又cos(β－α)＝－＜0，所以－π＜β－α＜－，所以sin(β－α)＝－＝－，故B正确．对于C，由＜α＜π，得π＜2α＜2π．又cos 2α＝－，所以π＜2α＜，sin 2α＝－，sin(α＋β)＝sin[2α＋(β－α)]＝sin 2αcos(β－α)＋cos 2αsin(β－α)＝．又＜α＋β＜2π，所以α＋β＝，故C错误．对于D，根据C知α＋β＝，所以cos αcos β＝＝×＝－，故D正确． 三、填空题 7．已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝__3__． 【解析】 f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ∈，则f(x)≤f(θ)＝5，故θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝－φ＋2kπ，k∈Z，故tan θ＝tan＝＝，即＝，解得m＝3． 8．若tan(α－β)＝3，＝18，则tan 2α＝__－__． 【解析】 因为tan(α－β)＝3，所以tan(α＋β)·tan(α－β)＝3tan(α＋β)，可得＝·＝tan(α＋β)tan(α－β)＝18，所以18＝3tan(α＋β)，即tan(α＋β)＝6，故tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－． 9．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则＝__－__． 【解析】 由题知f＝±，所以asin＋bcos＝±，即a－b＝±，则a2＋b2－ab＝a2＋b2，即a2＋b2＋ab＝0，所以＋2＋＝0，可得＝－． 四、解答题 10．证明：(1) ＝tan α＋； 【解答】　左边＝＝＝＝tan α＋＝右边． (2) －2cos(α＋β)＝． 【解答】 左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 11．已知函数f(x)＝cosx． (1)若α，β为锐角，f(α＋β)＝－，tanα＝，求cos2α及tan(β－α)的值； 【解答】 因为tanα＝，且α为锐角，所以sinα＝，cosα＝，tan2α＝＝－，于是cos2α＝cos2α－sin2α＝－．又f(α＋β)＝cos(α＋β)＝－，α，β为锐角，所以sin(α＋β)＝，tan(α＋β)＝－2，所以tan(β－α)＝tan[(α＋β)－2α]＝＝＝． (2)设函数g(x)＝f(2x)－3，若对任意x，g2(x)≤(2＋a)g(x)－2－a恒成立，求实数a的最大值； 【解答】 g(x)＝f(2x)－3＝cos2x－3∈[－4，－2]，因为g2(x)≤(2＋a)g(x)－2－a对任意x恒成立，即g2(x)－2g(x)＋2≤(g(x)－1)a对任意x恒成立．令t＝g(x)－1∈[－5，－3]，所以a≤＝t＋对t∈[－5，－3]恒成立．又因为函数y＝t＋在t∈[－5，－3]上单调递增，所以当t＝－5时，min＝－，所以a≤－，则a的最大值为－． (3)已知f(α)＋f(β)－f(α＋β)＝，α，β∈(0，π)，求α及β的值． 【解答】 由f(α)＋f(β)－f(α＋β)＝，得cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝．因为cosα＝cos＝cos·cos－sinsin，cosβ＝cos＝coscos＋sinsin，所以cosα＋cosβ＝2coscos．又cos(α＋β)＝2cos2－1，所以2coscos－2cos2＋1＝，则4cos2－4cos·cos＋1＝0，2＋1－cos2＝0，即2＋sin2＝0，所以又0＜α＜π，0＜β＜π，所以α＝β＝． 学科网（北京）股份有限公司 $