第一章 空间向量与立体几何 题型精讲讲义（知识梳理+26考点例题+易错专练+分层作业 共98题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何核心知识点，系统梳理空间向量的概念、线性运算、数量积、基本定理及坐标表示，构建从代数运算到立体几何平行垂直判定、距离角度计算的完整学习支架。 资料以10条知识梳理为基础，13个考点题型（含例题及变式）为核心，7题易错专练及分层作业为巩固，通过基底法与坐标法培养数学思维与推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

人教A版·选择性必修一·第一章 空间向量与立体几何 题型精讲讲义 第一章 空间向量与立体几何 题型精讲讲义（知识梳理+26考点例题+易错专练+分层作业 共98题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何　1.1空间向量及其运算　1.2空间向量基本定理　1.3空间向量及其运算的坐标表示　1.4空间向量的应用 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．理解空间向量的概念、模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量与相等向量，掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，会用共线向量与共面向量的充要条件判定三点共线与四点共面。 2．理解空间向量的夹角与数量积的定义，掌握·＝||||cos〈，〉与⊥⇔·＝0，会用数量积求模与夹角；理解空间向量基本定理，会用基底表示空间向量，并用基底法处理垂直与异面直线所成角的问题。 3．会建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，掌握空间向量运算的坐标表示以及平行、垂直、模、夹角与两点间距离的坐标条件。 4．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量，能用它们刻画空间直线、平面的平行与垂直关系；掌握点到直线、点到平面的距离公式与异面直线所成角、线面角、面面夹角的向量公式；（拓展）会处理含参数的分点与存在性探索问题。 学习重难点 重点：空间向量基本定理与基底表示；空间向量运算的坐标表示；平面法向量的求法；用向量刻画平行、垂直并计算距离与角度。 难点：把几何条件准确翻译成向量条件；证线面平行时补上“直线在平面外”、证面面平行时补上“两个平面不重合”；求点到直线的距离时把方向向量单位化；线面角用正弦而不是余弦；异面直线所成角与平面的夹角都必须取绝对值。 　目　录 本讲结构：梳理 10 条 · 考点 13 个（例题 13 + 变式 41）· 易错 7 题 · 作业 24 题 · 共 85 题 · 末附答案解析 知识梳理 3 知识点 01　空间向量的有关概念 3 知识点 02　空间向量的线性运算及其运算律 4 知识点 03　共线向量与共面向量 5 知识点 04　空间向量的数量积与投影向量 5 知识点 05　空间向量基本定理与基底 6 知识点 06　空间直角坐标系与点、向量的坐标 6 知识点 07　空间向量运算的坐标表示与两点间的距离公式 7 知识点 08　空间中点、直线、平面的向量表示 8 知识点 09　空间平行与垂直关系的向量刻画 8 知识点 10　空间距离与夹角的向量公式 9 考点 1　空间向量的概念与线性运算 10 考点 2　共线向量、共面向量与四点共面 12 考点 3　空间向量的数量积、夹角与模 14 考点 4　空间向量基本定理与用基底表示向量 16 考点 5　用基底法证明垂直与求异面直线所成的角 19 考点 6　建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标 22 考点 7　空间向量运算的坐标表示 24 考点 8　两点间的距离公式与坐标法求线段长 26 考点 9　直线的方向向量与平面的法向量 28 考点 10　用空间向量研究空间中的平行 31 考点 11　用空间向量研究空间中的垂直 33 考点 12　空间中的距离问题 36 考点 13　空间中的角度问题 39 易错专练 41 课后作业（一）基础过关 42 课后作业（二）能力提升 44 课后作业（三）拓展探究 46 参考答案与解析 47 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　空间向量的有关概念 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。长度为0的向量叫做零向量，记为0；模为1的向量叫做单位向量；与向量长度相等而方向相反的向量叫做的相反向量，记为－。如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；方向相同且模相等的向量叫做相等向量。我们规定：零向量与任意向量平行。 空间向量是自由的：同向且等长的有向线段表示同一个向量，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内 以A为起点、B为终点的向量记作，它的模记作||；空间向量也可以用单个字母，，表示 小提示：向量一律在字母上加箭头：单个字母写成，，，法向量与方向向量写成，；由起点与终点确定的向量写成。不加箭头的AB，MN表示线段的长度，||才是向量的模。零向量的方向是任意的，判断“共线”“相等”时千万不要把它漏掉。 知识点梳理　02　空间向量的线性运算及其运算律 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，所以空间向量的加法、减法与数乘运算都和平面向量完全一致：加法用三角形法则或平行四边形法则，减法是加上相反向量，数乘λ的模是|λ|||，方向由λ的正负决定，λ＝0时λ＝0。以任意点O为起点，以三个不共面的向量为邻边作平行六面体，则这三个向量的和就是以O为起点的那条对角线所表示的向量。 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋)，λ(μ)＝(λμ) 分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ（λ，μ∈R） 小提示：有限个向量求和时，交换相加向量的顺序其和不变，所以遇到一串加减混合的式子，先把它们统一成“首尾相接”的形式再合并最省事。数乘的结果仍是向量，写答案时不要把λ写成一个数。 知识点梳理　03　共线向量与共面向量 对任意两个空间向量，（≠0），∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ。与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量，于是直线可以由其上一点和它的方向向量确定。平行于同一个平面的向量叫做共面向量；如果两个向量，不共线，那么向量与，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y。 三点A，B，C共线⇔存在实数λ，使＝λ 点P位于平面ABC内⇔存在实数x，y，使＝＋x＋y（O为空间任意一点） 小提示：判定共线一定要注明“≠0”这个前提；判定共面时作为“骨架”的两个向量，必须不共线，否则x＋y只能表示一条直线上的向量。把写成x＋y＋z时，P在平面ABC内的标志是x＋y＋z＝1。 知识点梳理　04　空间向量的数量积与投影向量 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉，并规定0≤〈，〉≤π。如果〈，〉＝，那么⊥。把||||cos〈，〉叫做，的数量积，记作·；零向量与任意向量的数量积为0。把平移后向所在直线作垂线，垂足把截出的那个与共线的向量，叫做在上的投影向量。 ·＝||||cos〈，〉；当≠0，≠0时，⊥⇔·＝0 ·＝||²，即||＝；cos〈，〉＝ 运算律：(λ)·＝λ(·)，·＝·，(＋)·＝·＋· 小提示：数量积的结果是一个实数，不是向量，所以“(·)＝(·)”一般不成立；由·＝·也推不出＝。求模时常用的套路是先算|x|²＝x·x再开方，把几何长度化成数量积运算。 知识点梳理　05　空间向量基本定理与基底 空间向量基本定理指出：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z。此时把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。如果一个基底中的三个基向量两两垂直且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示；把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 单位正交基底{，，}满足·＝·＝·＝1，·＝·＝·＝0 小提示：零向量不能作基向量，三个基向量必须不共面；在正方体、长方体、正四棱锥里通常取共顶点的三条两两垂直的棱作单位正交基底，而在平行六面体里只能取共顶点的三条棱，它们一般不垂直，两两的数量积要按夹角先算出来备用。 知识点梳理　06　空间直角坐标系与点、向量的坐标 在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，就建立了一个空间直角坐标系Oxyz。通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面。若＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)；同样地，＝x＋y＋z时记＝(x，y，z)。 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90° 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 小提示：符号(x，y，z)既可以表示点也可以表示向量，答题时要按题目问的对象说清楚。点在坐标平面Oxy内的射影是把竖坐标换成0，关于原点对称是三个坐标同时变号，这两处最容易张冠李戴。 知识点梳理　07　空间向量运算的坐标表示与两点间的距离公式 设＝(a₁，a₂，a₃)，＝(b₁，b₂，b₃)，则＋＝(a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃)，－＝(a₁－b₁，a₂－b₂，a₃－b₃)，λ＝(λa₁，λa₂，λa₃)，·＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃。由此可以把平行、垂直、模与夹角的判定全部化归为数的运算，这正是坐标法的威力所在。 当≠0时，∥⇔＝λ⇔a₁＝λb₁，a₂＝λb₂，a₃＝λb₃；当≠0，≠0时，⊥⇔a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝0 ||＝；cos〈，〉＝ 两点间的距离：设P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)，则P₁P₂＝ 小提示：用坐标判定∥时，若的某个分量为0，则的对应分量也必须为0，此时不能直接写成三个比相等的连比式。建系的原则是让尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，长方体、正四棱锥、直三棱柱都有现成的两两垂直的三条线可用。 知识点梳理　08　空间中点、直线、平面的向量表示 取定一个基点O，空间中任意一点P都可以用来表示，称为点P的位置向量。设是直线l的方向向量，A在直线l上，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝t。设平面α内两条相交直线的方向向量为，，则空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y。如果直线l⊥α，那么直线l的方向向量叫做平面α的法向量。 空间直线的向量表示式：＝＋t·（t∈R） 求平面法向量：设＝(x，y，z)，由与平面内两个不共线向量的数量积都为0列方程组，取一组非零解即可 小提示：法向量不唯一，任意一个非零实数倍仍是法向量，所以解方程组时可以先令某个分量取一个方便的数（通常取能使另外两个分量为整数的那个），再把三个数一起写出来；令出来的分量不能取0，否则可能得到零向量。 知识点梳理　09　空间平行与垂直关系的向量刻画 直线的方向向量与平面的法向量是把位置关系代数化的关键量。下表中，表示直线的方向向量，，表示平面的法向量。直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直，都可以翻译成这两类向量之间的平行或垂直。 判定直线与平面平行时，除了·＝0，还必须交代直线不在平面内 位置关系 向量条件 坐标运算的落点 l₁∥l₂ ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 l∥α（l在α外） ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 α∥β ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 l₁⊥l₂ ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 l⊥α ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 α⊥β ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 小提示：这张表的规律是：同类量（方向向量与方向向量、法向量与法向量）之间，平行对应平行、垂直对应垂直；异类量（方向向量与法向量）之间，平行与垂直恰好互换。记住这一句，六个结论就不会记混。 知识点梳理　10　空间距离与夹角的向量公式 立体几何中的度量问题包括距离与角度两类，它们都可以由投影向量的长度与向量夹角的余弦值算出来。求线面距、面面距时先把它们转化为点到平面的距离；求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面的夹角时，都要在最后给结论加上绝对值，因为这三种角都不超过90°，而向量的夹角可以是钝角。 线面距、面面距都先化为点到平面的距离；两条平行直线间的距离化为点到直线的距离 度量对象 向量公式 范围与提醒 点P到直线l的距离 d＝，其中A在l上，＝，是l的单位方向向量 必须先化成单位向量 点P到平面α的距离 d＝，其中A在α内，＝，是α的法向量 分子必须加绝对值 异面直线l₁，l₂所成的角θ cosθ＝，，是两条直线的方向向量 0＜θ≤90° 直线l与平面α所成的角θ sinθ＝ 0≤θ≤90°，用的是正弦 平面α与平面β的夹角θ cosθ＝，，是两个平面的法向量 0≤θ≤90° 小提示：最容易丢分的三处是：算点到直线的距离时忘了把方向向量单位化；算直线与平面所成角时把正弦当成余弦；算两个平面的夹角时不加绝对值，结果得到一个钝角。做完一定回头问一句“这个角超过90°了吗”。 【题型1】空间向量的概念与线性运算 空间向量的概念、法则和运算律都是从平面向量原样推广来的，新意只在“三个不共面的向量能拼出一个平行六面体”。化简的诀窍只有一条：把式子改写成首尾相接的形式，中间的点就会自动消去。 例1　如图，四面体ABCD中，点E为棱BC的中点，点F是棱AD上任意取定的一点。化简下列各式，并指出化简的结果是图中以哪两点为起点、终点的向量：（1）＋＋，（2）－－，（3）－－。 【分析】三个式子都只含加减，处理的办法是同一个：先把能首尾相接的两个向量合并，再把减号改写成“加上相反向量”，让终点与起点逐段对接。 【解答】（1）因为与首尾相接，所以＋＝。 于是＋＋＝＋＝，结果是。 （2）由（1）已知＋＝，所以－－＝－(＋)＝－。 起点相同的两个向量相减，结果是从减向量的终点指向被减向量的终点，故－＝，结果是。 （3）－＝（起点同为C的两个向量相减）。 所以－－＝－＝，结果是。 【方法小结】化简向量式只有两把钥匙：首尾相接的用加法合并；起点相同的用减法合并成“后终点指向前终点”。每合并一次就在草稿上划掉一个中间字母，剩下的两个字母就是答案的起点和终点。 例2　给出下列五个说法：①模相等的两个空间向量一定是相等向量；②若∥，∥，则∥；③空间中所有的单位向量都相等；④零向量与任意一个空间向量都平行；⑤若＋＝0，则与互为相反向量。其中正确说法的序号是＿＿＿＿＿＿。 【分析】逐条回到定义：相等向量要同时满足“方向相同”和“模相等”；平行向量的判定里，零向量是特殊规定；相反向量的定义是“长度相等、方向相反”。 【解答】①错。模相等只管长度，方向可以完全不同，例如正方体中与的模相等却不相等。 ②错。当＝0时，由规定知0与任意向量都平行，此时与的方向可以毫无关系，所以推不出∥；只有补上≠0这个条件，结论才成立。 ③错。单位向量只规定了模为1，方向仍可任意，所以它们未必相等。 ④对。这是教材对零向量作出的规定：0∥对任意向量都成立。 ⑤对。由＋＝0得＝－，即与长度相等、方向相反，两者互为相反向量。 所以正确说法的序号是④⑤。 【方法小结】判断向量概念的真假，先问“有没有把方向漏掉”，再问“零向量算不算反例”。这两问能挡掉这一类题九成以上的陷阱。 题型1　变式：相等向量的识别与向量式的化简 第1题练相等向量的两个条件，第2题练在平行六面体里把中间字母消掉，第3题是纯符号化简，第4题把化简的结论写成一个可以证明的等式。 变式1　如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，与相等的向量是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 变式2　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，化简＋＋－，并指出结果是图中以哪两点为起点、终点的向量。 变式3　在空间中任取四个点A，B，C，D，则－＋－等于（　　）。 A．0　　B．　　C．　　D． 变式4　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，设为，为，为，求证：＋＝2。 【题型2】共线向量、共面向量与四点共面 共线与共面的判定是本章第一个“翻译”练习：三点共线翻译成“两个向量成倍数”，四点共面翻译成“一个向量能被另外两个不共线的向量线性表示”。写结论时别忘了补一句“它们有公共点”。 例1　如图，已知空间四点O，A，B，C，且＝3－2。求证：A，B，C三点共线。 【分析】要证三点共线，只需在这三点确定的两个向量之间找出倍数关系，再指出它们有公共点。选与来比较最方便，因为它们都能由，表示。 【解答】由＝－，把已知条件代入，得 ＝(3－2)－＝2－2。 而＝－，所以＝2。 由共线向量的充要条件知与共线，即直线AC与直线BA平行或重合。 又这两个向量有公共的起点或终点A，所以直线AC与直线BA重合，从而A，B，C三点共线。 【方法小结】凡是形如＝x＋y的条件，先看x＋y是不是1：本题3＋(－2)＝1，正是A，B，C三点共线的标志。证明时仍要把倍数关系算出来，并补上“有公共点”这一句，缺了它只能得到平行。 例2　已知{，，}是空间的一个基底，且＝－2＋3，＝2＋－，＝－－8＋11。判断M，A，B，C四点是否共面；若共面，把写成与的线性组合。 【分析】M，A，B，C四点共面等价于，，共面。由于，，不共面，与显然不共线，因此只需判断能否找到实数x，y使＝x＋y。 【解答】设＝x＋y，代入已知式得 －－8＋11＝x(－2＋3)＋y(2＋－)＝(x＋2y)＋(－2x＋y)＋(3x－y)。 因为{，，}是基底，同一个向量在基底下的表示唯一，所以对应系数相等，得x＋2y＝－1，－2x＋y＝－8，3x－y＝11。 由前两个方程消去x：把x＝－1－2y代入－2x＋y＝－8，得2＋4y＋y＝－8，解得y＝－2，从而x＝－1－2×(－2)＝3。 把x＝3，y＝－2代入第三个方程检验：3×3－(－2)＝11，成立。 所以＝3－2，由共面向量的充要条件知，，共面，又它们有公共起点M，故M，A，B，C四点共面。 【方法小结】基底是“唯一分解”的保证，正因为唯一，才能由两边对应系数相等列出方程组。三个方程两个未知数是超定的，必须用两个方程解出再代入第三个方程检验，检验不通过就说明四点不共面。 题型2　变式：共线条件的辨析与共面的判定 第1题辨析“向量共线”与“直线平行”的差别，第2题由平行反求参数，第3题用系数和为1这一特征判断点落在平面内。 变式1　已知A，B，C，D是空间中互不相同的四点，且＝2，则下列结论中一定成立的是（　　）。 A．A，B，C，D这四个点共线 B．直线AB与直线CD一定平行 C．直线AB与直线CD平行或者重合 D．四边形ABCD是平行四边形 变式2　已知{，，}是空间的一个基底，向量＝＋2－，向量＝2＋t－2。若∥，则实数t＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，在三棱锥O－ABC中，点M满足＝()＋()＋()。求证：点M在平面ABC内。 【题型3】空间向量的数量积、夹角与模 数量积是本章唯一能把“长度”和“角度”一起算出来的工具。凡是求线段长，先写成|x|²＝x·x再开方；凡是求角，先算数量积再除以两个模的乘积。基底里两两的数量积要先算好放在手边。 例1　如图，在正四面体ABCD中，棱长为2，E是棱CD的中点。（1）求·，（2）求·，（3）求异面直线AE与BD所成角的余弦值。 【分析】正四面体的四个面都是正三角形，所以从同一个顶点出发的三条棱两两的夹角都是60°，把它们取作基底，三个两两的数量积可以一次算好，后面的计算就只剩代数展开。 【解答】设＝，＝，＝，则||＝||＝||＝2，且两两的夹角都是60°。 因为cos60°＝，所以·＝·＝·＝2×2×()＝2。 （1）·＝·＝2。 （2）E是CD的中点，所以＝()(＋)；又＝－＝－。 于是·＝()(＋)·(－)＝()(·－·＋||²－·)。 代入数据得()×(2－2＋4－2)＝1。 （3）先求两个向量的模。||²＝()(＋)·(＋)＝()(4＋4＋2×2)＝3，所以||＝。 ||²＝(－)·(－)＝4＋4－2×2＝4，所以||＝2。 所以cos〈，〉＝＝，这个值为正。 异面直线所成的角不超过90°，取绝对值后仍是，故所求余弦值为。 【方法小结】在正四面体、平行六面体这类“棱长与夹角已知”的图形里，第一步永远是把共顶点的三条棱设成基底并算出三个两两数量积；第二步把待求向量写成基底的线性组合；第三步展开、代入。三步走完，几何问题就变成了纯代数运算。 例2　已知空间向量，满足||＝2，||＝3，〈，〉＝120°。（1）求·，（2）求|2＋|，（3）求向量＋与向量的夹角的余弦值。 【分析】三问都只用到两个公式：数量积的定义式与|x|²＝x·x。凡是带模的式子，先平方再展开，最后开方。 【解答】（1）因为cos120°＝－，所以·＝||||cos〈，〉＝2×3×(－)＝－3。 （2）|2＋|²＝(2＋)·(2＋)＝4||²＋4(·)＋||²。 由||²＝4，||²＝9，·＝－3，得|2＋|²＝4×4＋4×(－3)＋9＝13。 所以|2＋|＝。 （3）先算数量积：(＋)·＝||²＋·＝4＋(－3)＝1。 再算模：|＋|²＝||²＋2(·)＋||²＝4＋2×(－3)＋9＝7，所以|＋|＝。 所以cos〈＋，〉＝，把分母中的根号化去得。 【方法小结】遇到|x＋y|一律先平方，展开成x²||²＋2xy(·)＋y²||²，这是本章最高频的一条计算路线。最后写答案时把分母中的根号化去，是高中阶段的书写规范。 题型3　变式：由数量积定角、由模求模 第1题由数量积反求夹角，第2题练“先平方再开方”的固定路线，第3题把三个两两成60°的向量加起来，第4题是一道常考的模的互求。 变式1　已知空间向量，满足||＝1，||＝2，·＝－1，则与的夹角〈，〉＝＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间向量，满足||＝3，||＝4，且⊥，则|－|＝（　　）。 A．1　　B．5　　C．7　　D． 变式3　已知空间向量，，两两所成的角都是60°，且||＝1，||＝2，||＝3。求|＋＋|。 变式4　已知空间向量，满足||＝2，||＝1，|＋|＝，则|－|＝＿＿＿＿＿＿。 【题型4】空间向量基本定理与用基底表示向量 基底就是空间的“三把尺子”。把待求向量沿着已有的棱一段一段走到终点，走过的每一段都换成基向量，就得到了唯一的表示。分点条件要先翻译成向量等式再代入。 例1　如图，在三棱锥O－ABC中，点M是棱OA的中点，点N在棱BC上且BN＝2NC，点G在线段MN上且MG＝2GN，记＝，＝，＝，用，，表示。 【分析】三条棱OA，OB，OC不共面，{，，}是一个基底。先分别把与用基底表示，再用分点条件把夹在它们之间。 【解答】因为M是OA的中点，所以＝()。 因为BN＝2NC，所以＝()，于是 ＝＋＝＋()(－)＝()＋()。 因为MG＝2GN，所以＝()，于是 ＝＋()＝＋()(－)＝()＋()。 代入前面的结果，得＝()×()＋()×(()＋())。 逐项相乘：()×()＝，()×()＝，()×()＝。 所以＝()＋()＋()。 【方法小结】“点P在线段MN上且MP＝λPN”的标准翻译是＝()＋()，两个系数之和恒为1。把这条翻译写成随手可用的公式，分点问题就不必每次都从头推。 例2　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点，点F是面A₁B₁C₁D₁的中心，记＝，＝，＝。（1）用，，表示与，（2）用，，表示。 【分析】沿棱行走是最稳的路线：要到E，先沿AB走到B，再沿BC走到C，最后沿CC₁走一半；要到F，先沿AA₁走到A₁，再走上底面对角线A₁C₁的一半。 【解答】（1）＝＋＋。 因为＝＝，＝()＝()，所以＝＋＋()。 面A₁B₁C₁D₁是平行四边形，它的中心F是对角线A₁C₁的中点，所以＝()。 又＝＝＋，所以＝＋＝＋()(＋)＝()＋()＋。 （2）＝－＝(()＋()＋)－(＋＋())。 逐项相减，的系数为()－1＝－，的系数同样为－，的系数为1－()＝。 所以＝－()－()＋()。 【方法小结】平行六面体里所有“平移相等”的棱都对应同一个基向量，例如，，都等于。先把图上所有的棱在心里贴上，，三个标签，再沿棱行走，就不会把方向弄反。 题型4　变式：基底的判定与分点向量的表示 第1题判断三个向量能不能当基底，第2题在四面体里把分点向量表示出来，第3题先表示再用表示式回答共线问题。 变式1　已知{，，}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是（　　）。 A．＋2，， B．＋，－，2＋2 C．，＋，－ D．＋，， 变式2　如图，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点G在棱OA上且OG＝3GA。设为，为，为，则＝＿＿＿＿＿＿（用，，表示）。 变式3　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，线段A₁C₁与线段B₁D₁相交于点P，用，，表示，并判断A，P，C₁三点是否共线。 【题型5】用基底法证明垂直与求异面直线所成的角 当图形里没有现成的两两垂直的三条棱时，坐标法不好用，基底法才是主力：把两条直线的方向向量都用同一个基底写出来，数量积为零就垂直，否则用夹角公式，最后别忘了取绝对值。 例1　如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱AB，AD，AA₁的长依次是2，3，4，∠BAD＝60°，且侧棱AA₁与底面的两条棱AB，AD都垂直。（1）求AC₁的长，（2）求异面直线AC₁与BD所成角的余弦值。 【分析】三条共顶点的棱不共面，取它们作基底。两个直角条件说明其中两个数量积为0，只剩一个要按定义算，随后所有计算都在这个基底里展开。 【解答】设＝，＝，＝，则||＝2，||＝3，||＝4。 因为∠BAA₁＝∠DAA₁＝90°，所以·＝0，·＝0；又cos60°＝，所以·＝2×3×()＝3。 （1）＝＋＋＝＋＋。 所以||²＝||²＋||²＋||²＋2(·＋·＋·)＝4＋9＋16＋2×3＝35。 所以AC₁＝。 （2）＝－＝－，所以||²＝||²－2(·)＋||²＝9－2×3＋4＝7，即||＝。 又·＝(＋＋)·(－)＝·－||²＋||²－·＋·－·。 把已知数据代入，中间两个含·的项相消，·与·都是0，于是原式＝－4＋9＝5。 所以cos〈，〉＝＝，它是正数。 异面直线所成的角不超过90°，取绝对值后不变，故所求余弦值为。 【方法小结】基底法的三步是“设基底—算三个两两数量积—把待求向量写成基底的线性组合”。两个直角条件能让三个数量积中的两个直接为0，这类“直平行六面体”的题目因此比一般情形省一半力气。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，取棱AD的中点E与棱DD₁的中点F，并设＝，＝，＝。（1）求证：EF⊥A₁D，（2）求异面直线EF与A₁B所成角的大小。 【分析】正方体里从同一个顶点出发的三条棱两两垂直、长度都为1，正好构成一个单位正交基底，于是所有数量积只剩“对应相乘再相加”。 【解答】由棱长为1知{，，}是单位正交基底，·＝·＝·＝1，·＝·＝·＝0。 （1）E，F分别是AD，DD₁的中点，所以＝＋＝()＋()。 又＝＋＝－。 所以·＝(()＋())·(－)＝()·－()·＝()－()＝0。 所以⊥，即EF⊥A₁D。 （2）＝＋＝－。 所以·＝(()＋())·(－)＝－()·＝－。 又||＝＝，||＝，所以两个模的乘积是×＝1。 所以cos〈，〉＝－。 设异面直线EF与A₁B所成的角为θ，则cosθ＝|－|＝，而0°＜θ≤90°，所以θ＝60°。 【方法小结】向量夹角是钝角时，它的余弦是负数，而异面直线所成的角只能落在0°到90°之间，所以最后一步必须取绝对值。凡是算出负的余弦值还直接写成角的答案，都是这一步漏了。 题型5　变式：正方体里的数量积与夹角 第1题是最基本的数量积回代，第2题把三条棱换成互不相等的长度，看你会不会把三个模的平方分别换掉，第3题要先分别求模再求夹角。 变式1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，则数量积·＝（　　）。 A．－1　　B．0　　C．1　　D． 变式2　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝3，AA₁＝4，M是棱CC₁的中点，则·＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，棱CC₁的中点记为E，求BE与AD₁夹角的余弦值。 【题型6】建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标 坐标法的第一步也是最关键的一步是建系：找出一个顶点，它发出的三条线两两垂直，就以这三条线为坐标轴。建好系之后，写点的坐标只是“沿着三条轴各走几格”。 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PD＝2，坐标系Dxyz如图所示。（1）写出点A，B，C，P的坐标，（2）设E是棱PB的中点，写出点E的坐标与的坐标。 【分析】PD垂直于底面，说明DP与底面内过D的每一条直线都垂直；底面是正方形，DA与DC又互相垂直，所以DA，DC，DP两两垂直，是现成的三条坐标轴。 【解答】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，就得到图中的空间直角坐标系。 （1）点A在x轴上且DA＝2，所以A(2，0，0)。 点C在y轴上且DC＝2，所以C(0，2，0)；点P在z轴上且DP＝2，所以P(0，0，2)。 点B在坐标平面Oxy内，它的横坐标与A相同、纵坐标与C相同，所以B(2，2，0)。 （2）E是PB的中点，它的每个坐标都是P，B对应坐标的平均数。 横坐标为＝1，纵坐标为＝1，竖坐标为＝1，所以E(1，1，1)。 的坐标等于终点坐标减去起点坐标：(1－2，1－0，1－0)，即＝(－1，1，1)。 【方法小结】“一条侧棱垂直于底面且底面是矩形”是本章出现频率最高的建系条件，直接以这个垂足为原点。中点坐标取平均、向量坐标用终点减起点，这两条是坐标法里最不该出错的地方。 例2　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，侧棱CC₁＝3，棱AB的中点记为M，坐标系Cxyz如图所示。（1）写出点A₁，B₁，M的坐标，（2）写出与的坐标，并求A₁B的长。 【分析】直三棱柱的侧棱垂直于底面，而底面在C处又是直角，所以CA，CB，CC₁两两垂直，可以直接作三条坐标轴。 【解答】直三棱柱的侧棱垂直于底面，而底面在C处是直角，所以CA，CB，CC₁两两垂直，可以作三条坐标轴。 （1）在图中的坐标系里，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)。 上底面的点只是把竖坐标换成侧棱长3，所以A₁(2，0，3)，B₁(0，2，3)。 M是AB的中点，横坐标为＝1，纵坐标为＝1，竖坐标为0，所以M(1，1，0)。 （2）＝(1－0，1－0，0－0)＝(1，1，0)。 ＝(0－2，2－0，0－3)＝(－2，2，－3)。 所以A₁B＝||＝＝。 【方法小结】上、下底面对应点的横、纵坐标完全相同，只差一个竖坐标，写坐标时先写下底面再整体抬高，可以省掉一半的推理。求线段长就是求相应向量的模，三个分量平方相加再开方。 题型6　变式：对称点、射影与坐标的计算 第1题练关于坐标平面的对称，第2题练射影，第3题在棱长为2的正方体里写两个中点的坐标并求距离。 变式1　在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2，－3，1)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（　　）。 A．(－2，3，1) B．(2，－3，－1) C．(－2，－3，1) D．(2，3，－1) 变式2　在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，2，3)在坐标平面Oyz内的射影是点B，则||＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，AD＝2，AA₁＝2，点E，F分别是棱AB，CC₁的中点，坐标系Dxyz如图所示，写出点E，F的坐标，并求的坐标与EF的长。 【题型7】空间向量运算的坐标表示 有了坐标，平行就是分量成比例，垂直就是对应分量乘积之和为零，模就是平方和的算术平方根。含字母的题要按“先写条件式、再解方程”的顺序做，不要跳步。 例1　已知空间向量＝(1，－2，2)，＝(2，－4，t)。（1）若⊥，求t的值，（2）若∥，求t的值，（3）当t＝1时，求cos〈，〉。 【分析】三问分别用到垂直、平行与夹角的坐标条件，每一问都先把条件写成等式再解。 【解答】（1）由⊥得·＝0，即1×2＋(－2)×(－4)＋2t＝0。 即2＋8＋2t＝0，解得t＝－5。 （2）由∥知存在实数λ，使＝λ，即(2，－4，t)＝(λ，－2λ，2λ)。 由第一个分量得λ＝2，第二个分量－4＝－2λ也给出λ＝2，两者一致。 所以t＝2λ＝2×2＝4。 （3）当t＝1时，＝(2，－4，1)，于是·＝1×2＋(－2)×(－4)＋2×1＝2＋8＋2＝12。 又||＝＝3，||＝＝。 所以cos〈，〉＝，化去分母中的根号得。 【方法小结】平行的坐标条件写成＝λ而不要写成三个比相等，这样当某个分量为0时也不会失效。求夹角余弦时一定要把分母有理化，这是高中阶段的书写要求。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱BC与棱AB的中点依次是E，M，棱长等于2，坐标系Dxyz如图所示。（1）写出与的坐标，（2）求证：AE⊥DM，（3）求异面直线AE与D₁C所成角的余弦值。 【分析】建好系后所有点的坐标都能直接读出，垂直用数量积为0来证，夹角用余弦公式来算，最后取绝对值。 【解答】图中的坐标系以D为原点，三条棱DA，DC，DD₁分别落在x轴、y轴、z轴上。 （1）由棱长为2得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D₁(0，0，2)。 E是BC的中点，所以E(1，2，0)；M是AB的中点，所以M(2，1，0)。 于是＝(1－2，2－0，0－0)＝(－1，2，0)，＝(2－0，1－0，0－0)＝(2，1，0)。 （2）·＝(－1)×2＋2×1＋0×0＝0。 所以⊥，即AE⊥DM。 （3）＝(0－0，2－0，0－2)＝(0，2，－2)。 ·＝(－1)×0＋2×2＋0×(－2)＝4。 又||＝＝，||＝＝2。 所以cos〈，〉＝＝。 这个值为正，取绝对值后不变，所以异面直线AE与D₁C所成角的余弦值是。 【方法小结】正方体、长方体里的中点坐标可以直接“看”出来，不必每次都写平均数。证垂直时把数量积的三项都写出来再合并，阅卷时这一步是给分点。 题型7　变式：由垂直与平行定参数 第1题由垂直定参数，第2题由平行定参数并留意比例系数的符号，第3题是一组坐标运算的综合练习。 变式1　已知空间向量＝(1，3，－2)，＝(－2，x，1)，且⊥，则x＝＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间向量＝(2，－1，2)，＝(－1，λ，－1)，若∥，则实数λ的值是（　　）。 A．－2　　B．－　　C．　　D．2 变式3　已知空间向量＝(1，－1，2)，＝(0，2，－1)。（1）求＋2的坐标与·的值，（2）求cos〈，〉。 【题型8】两点间的距离公式与坐标法求线段长 空间两点间的距离公式是平面上那条公式的自然推广：把三个坐标差平方相加再开方。坐标法求长度的全部工作，就是先把两个端点的坐标写对。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的每条棱都等于1，点M，N分别在棱AA₁，CC₁上，且都是所在棱的中点。（1）求线段MN的长度，（2）求MN与AC₁所成角的余弦值。 【分析】两个中点的竖坐标都是棱长的一半，写完坐标后第一问用距离公式，第二问用夹角公式。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，得到图中的空间直角坐标系。 （1）由棱长为1得A(1，0，0)，C(0，1，0)，C₁(0，1，1)，A₁(1，0，1)。 M是AA₁的中点，所以M(1，0，)；N是CC₁的中点，所以N(0，1，)。 由两点间的距离公式得MN＝＝。 （2）＝(0－1，1－0，－)＝(－1，1，0)。 ＝(0－1，1－0，1－0)＝(－1，1，1)。 所以·＝(－1)×(－1)＋1×1＋0×1＝2。 又||＝，||＝。 所以cos〈，〉＝＝。 它是正数，取绝对值后不变，所以异面直线MN与AC₁所成角的余弦值是。 【方法小结】距离公式与求模是同一件事：MN＝||。做题时直接写出向量的坐标再求模，可以把两问合成一问，少算一次。 例2　如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，AB＝2，AD＝4，侧棱PD垂直于底面ABCD，且PD＝2，E为棱PB的中点。（1）求DE的长，（2）求DE与AB夹角的余弦值。 【分析】底面是矩形而不是正方形，两条底边的长不相等，建系时要逐个核对哪个数配x轴、哪个数配y轴。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz。 （1）由AD＝4，AB＝2，PD＝2得A(4，0，0)，B(4，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，P(0，0，2)。 E是PB的中点，横坐标为＝2，纵坐标为＝1，竖坐标为＝1，所以E(2，1，1)。 于是＝(2，1，1)。 所以DE＝||＝＝。 （2）＝(4－4，2－0，0－0)＝(0，2，0)，||＝2。 ·＝2×0＋1×2＋1×0＝2。 所以cos〈，〉＝＝＝，这个值为正。 直线DE与直线AB的夹角不超过90°，取绝对值后不变，所以所求余弦值是。 【方法小结】底面换成矩形以后，x轴与y轴上的单位长度不再相同，写点的坐标时把“哪条棱放在哪条轴上”先在图旁标一遍，可以避免整题因为一个数而全错。 题型8　变式：中点、等距点与棱柱中的线段长 第1题是公式的直接应用，第2题由等距条件列方程求轴上的点，第3题在直三棱柱里求两个中点的连线长。 变式1　已知空间中两点A(1，0，2)，B(3，－2，4)，则线段AB的中点坐标是＿＿＿＿＿＿，AB的长是＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知点A(2，1，－1)，B(0，3，1)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标是（　　）。 A．(0，0，1) B．(0，0，－1) C．(0，0，2) D．(0，0，－2) 变式3　如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA₁＝2，M是棱BC的中点，N是棱A₁C₁的中点。坐标系Axyz如图所示。求MN的长。 【题型9】直线的方向向量与平面的法向量 方向向量取直线上任意两点作差即可；法向量要设成(x，y，z)，与平面内两个不共线的向量分别作数量积并令它们为0，解出一组比例关系后取一个方便的整数解。 例1　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝1，AA₁＝2，坐标系Dxyz如图所示。（1）求平面ABB₁A₁的一个法向量，（2）求平面A₁BD的一个法向量。 【分析】第（1）问的平面与x轴垂直，法向量可以直接写出；第（2）问要设出法向量，用两个数量积为0列方程组。 【解答】图中的坐标系以D为原点，三条棱DA，DC，DD₁所在直线依次是x轴、y轴、z轴。 在这个坐标系里D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A₁(1，0，2)。 （1）平面ABB₁A₁上的点横坐标都等于1，因此x轴与这个平面垂直。 x轴的方向向量是(1，0，0)，所以(1，0，0)是平面ABB₁A₁的一个法向量。 （2）＝(1，2，0)，＝(1，0，2)，它们不共线且都在平面A₁BD内。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，则·＝0且·＝0。 即x＋2y＝0，x＋2z＝0。 由此得x＝－2y，x＝－2z，所以y＝z。 取y＝1，则z＝1，代入x＋2×1＝0得x＝－2。 所以＝(－2，1，1)是平面A₁BD的一个法向量。 【方法小结】法向量只要求一个，所以解出比例关系后可以自由取值，取整数最省事。检验的办法是把与平面内两个向量分别作数量积，结果都为0才算求对。与坐标轴垂直的平面可以不用解方程，直接写出该轴的方向向量。 例2　如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，PA＝4，棱PB的中点记为M，坐标系Axyz如图所示。（1）求直线CM的一个方向向量，（2）求平面PBC的一个法向量。 【分析】PA与底面垂直，AB与AC又互相垂直，于是AB，AC，AP两两垂直，正好作三条坐标轴。方向向量取直线上两点作差；法向量按“设、列、解、取”四步走。 【解答】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，就得到图中的空间直角坐标系。 于是A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)。 M是PB的中点，它的每个坐标都是P，B对应坐标的平均数，所以M(1，0，2)。 （1）＝(1－0，0－2，2－0)＝(1，－2，2)，它就是直线CM的一个方向向量。 （2）＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，＝(0－2，0－0，4－0)＝(－2，0，4)，它们不共线且都在平面PBC内。 设＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y＝0，所以y＝x。 又·＝0，即－2x＋4z＝0，取z＝1，则－2x＋4＝0，解得x＝2，从而y＝2。 所以＝(2，2，1)是平面PBC的一个法向量。 【方法小结】列方程组时优先挑分量里含0最多的那个向量，像＝(－2，2，0)这样的向量能一步定出两个分量的关系，剩下的方程就只剩一个未知数了。 题型9　变式：由方向向量与法向量判断位置关系 第1题由数量积为0反读位置关系，第2题由法向量定参数，第3题在直三棱柱里求一个侧面的法向量。 变式1　若＝(1，－2，1)是直线l的一个方向向量，＝(2，1，0)是平面α的一个法向量，那么直线l与平面α（　　）。 A．直线l⊥α B．直线l∥α或直线l在平面α内 C．直线l与平面α斜交 D．条件不足，无法判断 变式2　已知平面α经过点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，若＝(6，3，λ)是平面α的一个法向量，则λ＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，两条直角边AC，BC与侧棱CC₁的长都等于2，∠ACB＝90°，M为棱AB的中点，坐标系Cxyz如图所示，求平面MCC₁的一个法向量。 【题型10】用空间向量研究空间中的平行 证线面平行，先求出平面的法向量，再验证直线的方向向量与它数量积为零，最后补一句“直线不在平面内”；证面面平行，只要两个平面的法向量成倍数关系，再指出两个平面不重合。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱BB₁上且BE＝EB₁，点F在棱DD₁上且DF＝FD₁。（1）求证：EF∥平面A₁BD，（2）求证：平面A₁BD∥平面CB₁D₁。 【分析】两问都先求法向量。第（1）问验证方向向量与法向量垂直并说明直线在平面外；第（2）问比较两个平面的法向量是否成倍数。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由棱长为2得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A₁(2，0，2)，B₁(2，2，2)，D₁(0，0，2)。 E是BB₁的中点，所以E(2，2，1)；F是DD₁的中点，所以F(0，0，1)。 （1）＝(0－2，0－2，1－1)＝(－2，－2，0)。 在平面A₁BD内取＝(2，2，0)与＝(2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得2x＋2z＝0。 取x＝1，则y＝－1，z＝－1，即＝(1，－1，－1)。 于是·＝(－2)×1＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＝0，所以与垂直。 又·＝(1，－1，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，说明点F不在平面A₁BD内，从而直线EF不在平面A₁BD内。 所以EF∥平面A₁BD。 （2）在平面CB₁D₁内取＝(2，0，2)与＝(0，－2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面CB₁D₁的一个法向量，由·＝0得2x＋2z＝0，由·＝0得－2y＋2z＝0。 取x＝1，则z＝－1，y＝－1，即＝(1，－1，－1)。 所以＝，两个平面的法向量平行。 又·＝(1，－1，－1)·(0，2，0)＝－2≠0，说明点C不在平面A₁BD内，两个平面不重合。 所以平面A₁BD∥平面CB₁D₁。 【方法小结】线面平行与面面平行的向量证明都有一个容易被忽略的收尾：必须排除“直线落在平面内”和“两个平面重合”。排除的办法是取平面外的一个点，验证它与平面内一点连成的向量与法向量的数量积不为零。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的每条棱长都是2，上底面的两条棱C₁D₁，A₁D₁的中点依次记为E，F，侧棱DD₁的中点记为G。（1）求证：EF∥AC，（2）求证：平面EFG∥平面ACB₁。 【分析】第（1）问把两条线段化成向量，看它们是不是成倍数；第（2）问分别求两个平面的法向量再比较。 【解答】取D作原点，让三条棱DA，DC，DD₁分别落在x轴、y轴、z轴上，建系如图。 各顶点的坐标依次是D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，2)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)，B₁(2，2，2)。 E是C₁D₁的中点，所以E(0，1，2)；F是A₁D₁的中点，所以F(1，0，2)；G是DD₁的中点，所以G(0，0，1)。 （1）＝(1－0，0－1，2－2)＝(1，－1，0)，＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)。 所以＝－2，两个向量共线。 又点E的横坐标为0而直线AC上的点都满足x＋y＝2，把E的坐标代入得0＋1＝1≠2，说明点E不在直线AC上。 所以EF∥AC。 （2）在平面EFG内取＝(－1，1，0)与＝(－1，0，－1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，由·＝0得－x＋y＝0，由·＝0得－x－z＝0。 取x＝1，则y＝1，z＝－1，即＝(1，1，－1)。 在平面ACB₁内取＝(－2，2，0)与＝(0，2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ACB₁的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得2y＋2z＝0。 取x＝1，则y＝1，z＝－1，即＝(1，1，－1)，于是＝。 又·＝(1，1，－1)·(2，0，－1)＝1×2＋1×0＋(－1)×(－1)＝3≠0，说明点A不在平面EFG内，两个平面不重合。 所以平面EFG∥平面ACB₁。 【方法小结】证两条直线平行时，除了向量共线，还要说明它们不在同一条直线上；这一步用“把点的坐标代入直线所满足的关系式”来完成最省事。 题型10　变式：由法向量判断平行、由平行定参数 第1题直接比较两个法向量，第2题由线面平行反求参数，第3题是一道完整的线面平行证明。 变式1　已知平面α的一个法向量是＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量是＝(－2，－4，4)，则平面α与平面β的位置关系是（　　）。 A．相交但不垂直　　B．垂直　　C．异面　　D．平行或重合 变式2　若直线l在平面α外，且直线l∥α，其中＝(2，t，1)是直线l的一个方向向量，＝(1，－1，3)是平面α的一个法向量，则t＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是棱AA₁的中点，求证：D₁F∥平面BDE。 【题型11】用空间向量研究空间中的垂直 线线垂直看两个方向向量的数量积，线面垂直看方向向量与法向量是否平行，面面垂直看两个法向量的数量积。三种垂直对应三个不同的判据，做题前先认清要证哪一种。 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD＝2，E是棱PC的中点。（1）求证：DE⊥平面PBC，（2）求证：平面PAC⊥平面PBD，（3）判断直线AC与平面PBD是否垂直，并写出判断的依据。 【分析】前两问要证线面垂直与面面垂直，办法分别是说明直线的方向向量就是平面的一个法向量、说明两个平面的法向量数量积为0；第（3）问把这两条判据再用一次。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系。 于是D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)。 E是PC的中点，所以E(0，1，1)，于是＝(0，1，1)。 （1）在平面PBC内取＝(2，0，0)与＝(0，－2，2)，它们不共线。 因为·＝0×2＋1×0＋1×0＝0，·＝0×0＋1×(－2)＋1×2＝0， 所以与平面PBC内两条相交直线的方向向量都垂直，从而是平面PBC的一个法向量。 所以DE⊥平面PBC。 （2）在平面PAC内取＝(－2，2，0)与＝(－2，0，2)，设＝(x，y，z)是它的一个法向量。 由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0，取x＝1得＝(1，1，1)。 在平面PBD内取＝(2，2，0)与＝(0，0，2)，设＝(x，y，z)是它的一个法向量。 由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得2x＋2y＝0，取x＝1得＝(1，－1，0)。 所以·＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0。 所以两个平面的法向量互相垂直，即平面PAC⊥平面PBD。 （3）由（2）知＝(1，－1，0)是平面PBD的一个法向量，而＝(－2，2，0)＝－2。 与平面PBD的法向量共线，由“直线与平面垂直⇔直线的方向向量与平面的法向量平行”知AC⊥平面PBD。 【方法小结】证线面垂直有两条路：一是求出平面的法向量再说明它与直线的方向向量平行；二是直接验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直。第二条路省去解方程组，遇到能一眼看出平面内两个简单向量的题型更快。 例2　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的两条直角边AC＝BC＝1，侧棱AA₁＝2，∠ACB是直角，M是上底面三角形A₁B₁C₁中棱A₁B₁的中点。（1）求证：CM⊥A₁B₁，（2）求证：平面CMC₁⊥平面ABB₁A₁。 【分析】直三棱柱在C处有现成的三条两两垂直的棱，建系后两问都化成数量积的计算。 【解答】因为CA，CB，CC₁两两垂直，所以可以C为原点、这三条棱所在直线为坐标轴建系。 六个顶点的坐标是C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C₁(0，0，2)，A₁(1，0，2)，B₁(0，1，2)。 M是A₁B₁的中点，所以M(，，2)。 （1）＝(，，2)，＝(0－1，1－0，2－2)＝(－1，1，0)。 所以·＝()×(－1)＋()×1＋2×0＝－＋＋0＝0。 所以CM⊥A₁B₁。 （2）在平面CMC₁内取＝(，，2)与＝(0，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得()x＋()y＝0，取x＝1得＝(1，－1，0)。 在平面ABB₁A₁内取＝(－1，1，0)与＝(0，0，2)，设＝(x，y，z)。 由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得－x＋y＝0，取x＝1得＝(1，1，0)。 所以·＝1×1＋(－1)×1＋0×0＝0，两个平面的法向量互相垂直。 所以平面CMC₁⊥平面ABB₁A₁。 【方法小结】法向量里出现分数时不必急着通分，因为法向量可以整体乘一个非零数；不过写最终答案时取整数分量更便于后面的数量积计算。 题型11　变式：三种垂直的向量判据 第1题判定两条直线垂直，第2题由面面垂直定参数，第3题证明体对角线垂直于一个截面。 变式1　已知直线l₁的一个方向向量是＝(1，2，－1)，直线l₂的一个方向向量是＝(－2，1，0)，则直线l₁与直线l₂（　　）。 A．平行　　B．相交但不垂直　　C．垂直　　D．一定异面 变式2　已知平面α的一个法向量是＝(1，λ，2)，平面β的一个法向量是＝(2，－1，1)，若α⊥β，则λ＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，试用坐标法证明：体对角线DB₁与平面ACD₁互相垂直。 【题型12】空间中的距离问题 点到直线的距离用勾股定理的向量版本，关键是先把方向向量单位化；点到平面的距离用投影向量的长度，关键是分子加绝对值。线面距、面面距都先转化成点到平面的距离。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱BC上且BE＝EC，坐标系Dxyz如图所示。（1）求点D₁到直线AE的距离，（2）求顶点C₁与平面A₁BD之间的距离。 【分析】第（1）问套点到直线的距离公式，先把直线AE的方向向量化成单位向量；第（2）问先求平面A₁BD的法向量，再用投影长度公式。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由棱长为2可以读出D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，2)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)。 E是BC的中点，所以E(1，2，0)。 （1）＝(1－2，2－0，0－0)＝(－1，2，0)，所以||＝＝。 于是直线AE的单位方向向量＝()·(－1，2，0)。 记＝＝(0－2，0－0，2－0)＝(－2，0，2)，则||²＝4＋0＋4＝8。 又·＝(－2)×(－1)＋0×2＋2×0＝2，所以·＝＝。 由点到直线的距离公式得d＝＝＝。 （2）在平面A₁BD内取＝(2，2，0)与＝(2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得2x＋2z＝0。 取x＝1，得＝(1，－1，－1)，||＝。 又＝(0，2，2)，所以·＝0×1＋2×(－1)＋2×(－1)＝－4。 由点到平面的距离公式得d＝＝＝。 【方法小结】点到直线的距离里出现的必须是单位向量，忘了单位化就会把(·)²算大，得数偏小甚至出现被开方数为负。养成“先写||，再写”的顺序，可以把这个坑堵死。 例2　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，它的对角线AC与BD交于点O，AB＝2，侧棱PD垂直于平面ABCD，且PD＝2。（1）求点O到平面PAB的距离，（2）求点C与直线PA之间的距离。 【分析】两问分别用点到平面、点到直线的距离公式。先由“对角线的交点”定出O的坐标，再套公式；求点到平面的距离时，平面内的定点可以任意选。 【解答】取D作原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图。 各点的坐标为D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)。 （1）在平面PAB内取＝(0，2，0)与＝(－2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－2x＋2z＝0。 取z＝1，得＝(1，0，1)，||＝。 因为O是正方形ABCD对角线的交点，所以它是正方形的中心，坐标为O(1，1，0)。 取平面PAB内的定点A，则＝(1－2，1－0，0－0)＝(－1，1，0)，·＝(－1)×1＋1×0＋0×1＝－1。 所以点O到平面PAB的距离d＝＝＝。 （2）＝(－2，0，2)，||＝＝2，所以直线PA的单位方向向量＝()·(－2，0，2)。 记＝＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，则||²＝4＋4＋0＝8。 又·＝(－2)×(－2)＋2×0＋0×2＝4，所以·＝＝。 由点到直线的距离公式得d＝＝。 【方法小结】点到平面的距离公式里，平面内的那个定点是可以随意挑的，挑与待求点连线坐标最简单的一个，能把数量积的计算量压到最低。 题型12　变式：点到平面与点到直线的距离计算 第1题练点到平面的距离，第2题练点到直线的距离，第3题把两个平行平面之间的距离化成点到平面的距离。 变式1　已知平面α的一个法向量是＝(2，－1，2)，点A(1，0，1)在平面α内，点P(3，1，2)在平面α外，则点P到平面α的距离是＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间中的三个点A(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，1)，求点P到直线AB的距离。 变式3　如图，一个正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，已知它的平面A₁BD与平面CB₁D₁互相平行，求这两个平面之间的距离。 【题型13】空间中的角度问题 三种角对应三个公式：异面直线所成角用两个方向向量，线面角用方向向量与法向量且取正弦，两个平面的夹角用两个法向量。三个公式都要加绝对值，因为这三种角都不超过90°。 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD且PD＝2，点E为棱PC的中点。（1）求异面直线BE与PA所成角的余弦值，（2）求平面PAB与平面PCD的夹角。 【分析】第（1）问用两条直线的方向向量算夹角，最后取绝对值；第（2）问先求两个侧面的法向量，其中平面PCD恰好是一张坐标平面，它的法向量可以直接读出。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 在这个坐标系里D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)。 （1）＝(0－2，1－2，1－0)＝(－2，－1，1)，所以||＝＝。 又＝(2－0，0－0，0－2)＝(2，0，－2)，所以||＝＝2。 于是·＝(－2)×2＋(－1)×0＋1×(－2)＝－6。 设异面直线BE与PA所成的角为θ，则cosθ＝＝。 （2）在平面PAB内取＝(0，2，0)与＝(－2，0，2)，设＝(x，y，z)。 由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－2x＋2z＝0，取z＝1得＝(1，0，1)，||＝。 平面PCD经过D(0，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，这三点的横坐标都是0，所以平面PCD就是坐标平面Oyz。 因此x轴与平面PCD垂直，＝(1，0，0)是平面PCD的一个法向量，||＝1。 所以·＝1×1＋0×0＋1×0＝1。 设平面PAB与平面PCD的夹角为φ，则cosφ＝＝＝。 而0°≤φ≤90°，所以φ＝45°。 【方法小结】若某个平面恰好是一张坐标平面（本题中平面PCD上的点横坐标全为0），它的法向量就是对应坐标轴的方向向量，可以直接写出而不必解方程组。异面直线所成的角与两个平面的夹角都不超过90°，算出的余弦值一律取绝对值。 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，四条侧棱的长都相等，顶点P到底面的距离等于2，底面正方形的中心记为O。（1）求侧棱PA与底面ABCD所成角的正弦值，（2）求侧面PAB与侧面PBC的夹角的余弦值。 【分析】四条侧棱等长，说明顶点在底面上的射影到四个顶点的距离相等，于是这个射影就是正方形的中心O，PO与底面垂直。把原点取在O，让两条坐标轴分别与底面的两组对边平行，计算最省力。 【解答】以O为原点，过O且与AB平行的直线为x轴、与BC平行的直线为y轴、OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。 因为底面正方形的边长为2，中心到每条边的距离都是1，所以A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，1，0)，D(－1，1，0)，P(0，0，2)。 （1）＝(－1－0，－1－0，0－2)＝(－1，－1，－2)，所以||＝＝。 因为PO⊥底面ABCD，所以＝(0，0，1)是底面的一个法向量，||＝1。 又·＝－2，设直线PA与底面所成的角为θ，则sinθ＝＝＝。 （2）在侧面PAB内取＝(1－(－1)，－1－(－1)，0－0)＝(2，0，0)与＝(0－(－1)，0－(－1)，2－0)＝(1，1，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2x＝0，所以x＝0；由·＝0得y＋2z＝0，取z＝1得＝(0，－2，1)，||＝。 在侧面PBC内取＝(1－1，1－(－1)，0－0)＝(0，2，0)与＝(0－1，0－(－1)，2－0)＝(－1，1，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－x＋2z＝0，取z＝1得＝(2，0，1)，||＝。 所以·＝0×2＋(－2)×0＋1×1＝1。 设侧面PAB与侧面PBC的夹角为φ，则cosφ＝＝。 【方法小结】“四条侧棱等长”与“顶点的射影是底面中心”是同一件事的两种说法，遇到它就把原点放在中心、让坐标轴与底面的对称轴重合，这样四个底面顶点的坐标只差正负号，写起来最快。 题型13　变式：三种角的公式辨析 第1题练线面角的正弦，第2题练两个平面的夹角，第3题在正方体里把线面角与异面直线角放在一起比较。 变式1　已知＝(0，1，0)是平面α的一个法向量，＝(2，2，1)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α所成角的正弦值是＿＿＿＿＿＿。 变式2　两个相交平面α，β的法向量分别是＝(1，0，－1)与＝(0，1，1)，则α与β的夹角的余弦值是（　　）。 A．－　　B．　　C．　　D． 变式3　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是侧棱CC₁的中点，以D为原点、以DA，DC，DD₁所在直线为坐标轴建系。（1）求A₁E与平面ABCD所成角的正切值，（2）求异面直线A₁E与AC所成角的余弦值。 　易错专练 下面七题分别踩在本章最容易翻船的七个地方：把共线向量直接读成平行直线、用共线条件时漏掉非零前提、拿三个共面的向量当基底、求异面直线所成角忘记取绝对值、把线面角的正弦当成余弦、求点到直线的距离忘记把方向向量单位化、求法向量时拿两个共线的向量列方程。每题都给了一段真实的错解，先自己判断它错在哪一步，再看解析里的错因分析与正解。 易错1　已知A，B，C，D是空间中四个不同的点，有同学由“＝2”直接断定直线AB与直线CD平行。写出由这个条件能够得到的正确结论，并指出原推理漏掉了哪一种情形。 易错2　有同学写道：“对任意两个空间向量，，若∥，则一定存在实数λ，使＝λ。”判断这句话是否正确；若不正确，写出使结论成立所需要补充的条件。 易错3　已知{，，}是空间的一个基底，有同学断定{＋，－，2}也是空间的一个基底。指出这个断定错在哪里，并判断{＋，－，}能否构成空间的一个基底。 易错4　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，有同学算得cos〈，〉＝－，于是写下“异面直线A₁B与AD₁所成的角是120°”。改正这个结论。 易错5　已知直线l的一个方向向量是＝(1，1，0)，平面α的一个法向量是＝(0，1，1)。有同学算出＝，随即写下“直线l与平面α所成的角是60°”。改正这个结论。 易错6　已知点A(1，0，0)在直线l上，＝(0，1，1)是直线l的一个方向向量，点P(1，2，0)在直线l外。有同学记＝，直接把当作单位向量代入公式算得距离为0。改正这个结果。 易错7　在空间直角坐标系Oxyz中，平面α经过A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)三点。有同学设＝(x，y，z)，由·＝0与·＝0列出方程组，发现解有无穷多组，于是认为法向量求不出来。指出这个做法的问题，并求出平面α的一个法向量。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题的难度与教材正文、练习齐平，用来确认基本功是否过关。前五题只需在括号里填字母；第6至9题把结果写在横线上，点的坐标写成(a，b，c)的样子，出现根号时化到最简；最后三题要求留下完整的推演痕迹，每用到一个公式就在旁边注明它的名字。 1．已知空间向量满足||＝5，则|－3|＝（　　）。 A．－15　　B．5　　C．8　　D．15 2．已知空间向量＝(1，－1，2)，＝(2，－2，4)，则与的位置关系是（　　）。 A．平行　　B．垂直　　C．既不平行也不垂直　　D．无法确定 3．已知空间向量，满足||＝2，||＝2，且〈，〉＝60°，则·＝（　　）。 A．1　　B．2　　C．4　　D．2 4．已知空间向量＝(1，0，－2)，＝(－2，1，0)，则＋等于（　　）。 A．(－1，1，－2) B．(3，－1，－2) C．(－1，1，2) D．(－2，0，0) 5．已知平面α∥平面β，且＝(1，2，2)是平面α的一个法向量，则下列向量中可以作为平面β的法向量的是（　　）。 A．(1，－2，2) B．(2，4，4) C．(2，1，2) D．(0，1，1) 6．在四面体OABC中，＋＋＝向量＿＿＿＿＿＿。 7．已知空间向量＝(2，1，－2)，则||＝＿＿＿＿＿＿。 8．已知空间向量，满足||＝1，||＝3，且·＝0，则|＋|＝＿＿＿＿＿＿。 9．已知点A(1，－2，2)，则点A到坐标平面Oxy的距离是＿＿＿＿＿＿。 10．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，设＝，＝，＝，用，，表示，并求BD₁的长。 11．已知空间向量＝(1，2，－1)，＝(2，－1，3)。（1）求3－的坐标，（2）求与夹角的余弦值。 12．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，点E是棱AB的中点，点F是棱DD₁的中点，坐标系Dxyz如图所示，求直线D₁E与A₁F夹角的余弦值。 　课后作业（二）能力提升 这一组九道题把本章的公式放到含字母、含条件的环境里使用。选择题三道，每一道都要把“方向向量与法向量分别管什么”想清楚；填空题三道，出现根号的答案要化到最简；解答题三道，要求写出建系、求法向量与代入公式的完整过程。 1．如图，正四面体ABCD的棱长为2，则·等于（　　）。 A．－2　　B．0　　C．2　　D．4 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知三点A(1，1，0)，B(0，1，1)，C(1，0，1)，则点A到直线BC的距离是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 3．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝1，则异面直线AB₁与BC所成角的余弦值是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 4．若＝2－＋3，＝＋s＋t，其中{，，}是空间的一个基底，且与共线，则s＋t＝＿＿＿＿＿＿。 5．已知空间向量＝(1，1，0)，＝(0，1，1)。若向量t＋与向量＋互相垂直，则实数t＝＿＿＿＿＿＿。 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱BB₁的中点，则点E到平面ACD₁的距离是＿＿＿＿＿＿。 7．如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝2，AA₁＝4，点E在棱CC₁上，且CE＝EC₁。（1）求异面直线B₁E与AD所成角的余弦值，（2）求点C到平面B₁DE的距离。 8．如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，侧棱CC₁＝4，点D是棱CC₁的中点。（1）求点C与平面ABD之间的距离，（2）求平面ABD与底面ABC的夹角的余弦值。 9．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)。（1）求证：△ABC是等边三角形，（2）求平面ABC的一个法向量。 　课后作业（三）拓展探究 这一组三道题在教材习题的基础上再加一层——含参数的分点、探索存在性、由角度反求参数，题号前都标出“拓展”二字，供学有余力的同学选做。解题的关键仍然是用空间向量解决立体几何问题的三步曲：把几何元素翻译成向量，做向量运算，再把结果翻译回几何结论。 1．（拓展）在空间四边形OABC中，点M在边OA上且OM＝2MA，点N是BC的中点。若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝＿＿＿＿＿＿。 2．（拓展）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱AB的中点，点P在棱CC₁上，证明这样的点P存在，使得EP⊥A₁B，并求出CP的长。 3．（拓展）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，点M在棱PA上且＝λ（0＜λ＜1），若直线DM与平面ABCD所成的角是45°，求λ的值。 　参考答案与解析 　题型1　变式：相等向量的识别与向量式的化简 变式1　【答案】B 【解析】相等向量必须方向相同且模相等，本题中所有待选向量的模都等于棱长，所以只需比较方向。 A项与方向相反，是相反向量；因为四边形ABCD是矩形，AB∥DC且方向一致，所以B项与相等。 C项与同向，D项与方向相反，都不满足要求。故选B。 变式2　【答案】化简结果是 【解析】在平行六面体中，＝，＝，而＝，所以与是同一个向量。 于是＋＋－＝＋。 又＝，所以原式＝＋＝。 化简的结果是，它是侧面ABB₁A₁的一条对角线所表示的向量。 变式3　【答案】A 【解析】把式子按起点相同的两组分别合并：－＝，－＝＋＝。 所以原式＝＋。 而与互为相反向量，两者相加得零向量。故选A。 变式4　【答案】证明见解析 【解析】先把两条对角线所表示的向量都用，，写出来。 ＝＋＋＝＋＋。 ＝＋＋＝－＋＋＝＋－。 两式相加得＋＝(＋＋)＋(＋－)＝2(＋)。 又＝＋＝＋，所以＋＝2。 　题型2　变式：共线条件的辨析与共面的判定 变式1　【答案】C 【解析】由＝2知这两个向量共线，而共线向量的定义是“表示它们的有向线段所在的直线互相平行或者重合”。 所以直线AB与直线CD平行或者重合，C项一定成立。 当四点都落在同一条直线上时两条直线重合，可见B项不一定成立；反过来四点也可以不共线，A项同样不一定成立。 又与的模不相等，四边形ABCD不可能是平行四边形，D项不成立。故选C。 变式2　【答案】4 【解析】因为的三个系数不全为零，≠0，由∥知存在实数λ，使＝λ。 比较的系数得－2＝－λ，所以λ＝2；比较的系数得2＝2λ，同样给出λ＝2，两者一致。 再比较的系数，得t＝2λ＝2×2＝4。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】要证点M在平面ABC内，只需把改写成＋x＋y的形式。 由＝－，＝－，得 ＋()＋()＝＋()(－)＋()(－)。 合并同类项，的系数为1－()－()＝，于是上式＝()＋()＋()＝。 所以＝＋()＋()，由平面的向量表示式知点M在平面ABC内。 也可以直接观察三个系数之和：()＋()＋()＝1，这正是点M落在平面ABC内的标志。 　题型3　变式：由数量积定角、由模求模 变式1　【答案】120° 【解析】由数量积的定义得cos〈，〉＝。 代入数据得cos〈，〉＝－＝－。 又规定0≤〈，〉≤π，在这个范围内余弦值等于－的角只有120°，所以〈，〉＝120°。 变式2　【答案】B 【解析】因为⊥，所以·＝0。 于是|－|²＝||²－2(·)＋||²＝9＋16＝25，所以|－|＝＝5。 A项是把|－|误当成||－||＝4－3＝1得到的，C项是把它误当成||＋||＝3＋4＝7得到的，两种写法都忽略了向量减法的平行四边形背景；D项是把||²＋||²错写成||²－||²后开方得＝。故选B。 变式3　【答案】5 【解析】因为cos60°＝，所以·＝1×2×()＝1，·＝1×3×()＝，·＝2×3×()＝3。 又||²＝1，||²＝4，||²＝9。 所以|＋＋|²＝||²＋||²＋||²＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋9＋2×(1＋＋3)＝25。 所以|＋＋|＝5。 变式4　【答案】 【解析】把已知条件平方：|＋|²＝||²＋2(·)＋||²，即3＝4＋2(·)＋1。 解得·＝－1。 再算|－|²＝||²－2(·)＋||²＝4－2×(－1)＋1＝7。 所以|－|＝。 　题型4　变式：基底的判定与分点向量的表示 变式1　【答案】B 【解析】三个向量能构成基底的充要条件是它们不共面，因此只要找出一组“其中一个能被另外两个线性表示”的即可。 B项中2＋2＝2(＋)，它是第一个向量＋的2倍，三个向量都落在由，确定的那个方向族里，因而共面，不能构成基底。 A项、C项、D项中的三个向量都无法互相线性表示：例如C项若＝x(＋)＋y(－)，则可以由，表示，与，，不共面矛盾。故选B。 变式2　【答案】－()＋()＋() 【解析】由OG＝3GA知G是OA上靠近A的四等分点，OG占OA的，所以＝()。 M是BC的中点，所以＝()(＋)。 所以＝－＝()＋()－()。 按，，的顺序写出即－()＋()＋()。 变式3　【答案】＝()＋()＋；A，P，C₁三点不共线 【解析】设＝，＝，＝。 P是平行四边形A₁B₁C₁D₁两条对角线的交点，即A₁C₁的中点，所以＝()＝()(＋)。 所以＝＋＝＋()(＋)＝()＋()＋。 又＝＋＋＝＋＋。 若A，P，C₁三点共线，则存在实数λ使＝λ，比较的系数得λ＝1，但此时的系数应为1而不是，矛盾。 所以A，P，C₁三点不共线。 　题型5　变式：正方体里的数量积与夹角 变式1　【答案】C 【解析】设＝，＝，＝，则{，，}是单位正交基底。 ＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·＝1。 A项是把错写成后得到的0－1＝－1；B项是把错写成＋＝＋后算的(＋)·(－)＝1－1＝0；D项是把数量积错当成模||＝＝。故选C。 变式2　【答案】13 【解析】设＝，＝，＝，则·＝4，·＝9，·＝16，而·＝·＝·＝0。 ＝＋＋＝＋＋()。 ＝＋＋＝－＋＋。 所以·＝－·＋·＋()·＝－4＋9＋()×16＝13。 变式3　【答案】 【解析】设＝，＝，＝，则·＝·＝1，·＝4，而·＝·＝·＝0。 ＝＋＝＋()，＝＋＝＋。 所以·＝·＋()·＝1＋()×4＝3。 又||²＝1＋()×4＝2，即||＝；||²＝1＋4＝5，即||＝。 所以cos〈，〉＝＝，取绝对值后不变。 所以BE与AD₁夹角的余弦值是。 　题型6　变式：对称点、射影与坐标的计算 变式1　【答案】B 【解析】坐标平面Oxy是由x轴与y轴确定的平面，它上面的点竖坐标都是0。 一个点关于这个平面对称，横坐标与纵坐标不变，只有竖坐标变成相反数。 所以对称点的坐标是(2，－3，－1)。A项是关于z轴对称的点，C项只把横坐标变号，D项(2，3，－1)是关于x轴对称的点，横坐标不变而纵坐标与竖坐标同时变号。故选B。 变式2　【答案】 【解析】点在坐标平面Oyz内的射影，就是把它的横坐标换成0，其余两个坐标保持不变。 所以B(0，2，3)，从而＝(0，2，3)。 所以||＝＝。 变式3　【答案】E(2，2，0)，F(0，4，1)，＝(－2，2，1)，EF＝3 【解析】按图中的坐标系，由AD＝2，AB＝4，AA₁＝2可以读出A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，C₁(0，4，2)。 E是AB的中点，横坐标为2，纵坐标为＝2，竖坐标为0，所以E(2，2，0)。 F是CC₁的中点，横坐标为0，纵坐标为4，竖坐标为＝1，所以F(0，4，1)。 所以＝(0－2，4－2，1－0)＝(－2，2，1)。 所以EF＝＝3。 　题型7　变式：由垂直与平行定参数 变式1　【答案】 【解析】由⊥得·＝0，即1×(－2)＋3x＋(－2)×1＝0。 整理得－2＋3x－2＝0。 解得x＝。 变式2　【答案】C 【解析】由∥知存在实数t，使＝t，即(－1，λ，－1)＝(2t，－t，2t)。 由第一个分量得2t＝－1，所以t＝－；第三个分量2t＝－1也给出t＝－，两者一致。 由第二个分量得λ＝－t＝。 A项是把λ错算成比例系数t的倒数，即1÷(－)＝－2，B项是把λ＝－t中的负号漏掉直接写成－，D项是把t错解成－2后再算(－1)×(－2)＝2。故选C。 变式3　【答案】（1）＋2＝(1，3，0)，·＝－4；（2）－ 【解析】（1）2＝(0，4，－2)，所以＋2＝(1＋0，－1＋4，2－2)＝(1，3，0)。 ·＝1×0＋(－1)×2＋2×(－1)＝0－2－2＝－4。 （2）||＝＝，||＝＝。 所以cos〈，〉＝－，分母有理化后得－。 　题型8　变式：中点、等距点与棱柱中的线段长 变式1　【答案】(2，－1，3)；2 【解析】中点的每个坐标都是两端点对应坐标的平均数：横坐标＝2，纵坐标＝－1，竖坐标＝3。 所以中点坐标是(2，－1，3)。 又＝(3－1，－2－0，4－2)＝(2，－2，2)，所以AB＝＝2。 变式2　【答案】A 【解析】设P(0，0，z)，由两点间的距离公式得PA²＝4＋1＋(z＋1)²，PB²＝0＋9＋(z－1)²。 由PA＝PB得PA²＝PB²，展开后两边都含z²，消去得6＋2z＝10－2z。 解得z＝1，所以P(0，0，1)。B项是把A，B两点的竖坐标－1与1记反，由5＋(z－1)²＝9＋(z＋1)²解得的z＝－1；C项是漏掉A的横坐标2的平方，由1＋(z＋1)²＝9＋(z－1)²解得的z＝2；D项是同时犯了这两个错误，解得z＝－2。故选A。 变式3　【答案】 【解析】图中的坐标系以A为原点，AB，AC，AA₁所在直线分别是x轴、y轴、z轴，于是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A₁(0，0，2)，C₁(0，1，2)。 M是BC的中点，所以M(，，0)；N是A₁C₁的中点，所以N(0，，2)。 于是＝(0－，－，2－0)＝(－，0，2)。 所以MN＝＝。 　题型9　变式：由方向向量与法向量判断位置关系 变式1　【答案】B 【解析】先算数量积：·＝1×2＋(－2)×1＋1×0＝0。 所以⊥，即直线l的方向与平面α的法向量垂直，这说明直线l与平面α平行或者直线l在平面α内。 若直线l⊥α，则应有∥，而(1，－2，1)与(2，1，0)的分量不成比例，所以A项不成立；斜交要求与既不平行也不垂直，与算得的结果矛盾。故选B。 变式2　【答案】2 【解析】＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)，它们不共线且都在平面α内。 由·＝0得6×(－1)＋3×2＋λ×0＝0，这个等式恒成立，提供不了新信息。 由·＝0得6×(－1)＋3×0＋3λ＝0，即－6＋3λ＝0。 解得λ＝2。 变式3　【答案】(1，－1，0) 【解析】图中的坐标系以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线依次是x轴、y轴、z轴，于是C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C₁(0，0，2)。 M是AB的中点，所以M(1，1，0)。 于是＝(1，1，0)，＝(0，0，2)，它们不共线且都在平面MCC₁内。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2z＝0，所以z＝0。 由·＝0得x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1。 所以＝(1，－1，0)是平面MCC₁的一个法向量。 　题型10　变式：由法向量判断平行、由平行定参数 变式1　【答案】D 【解析】观察两个法向量的分量：－2＝－2×1，－4＝－2×2，4＝－2×(－2)，所以＝－2。 两个平面的法向量共线，说明这两个平面平行或者重合。 若两个平面垂直，应有·＝0，而·＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)×4＝－18≠0，所以B项不成立；C项把平面与直线的位置关系混为一谈，平面之间没有异面这种关系。故选D。 变式2　【答案】5 【解析】直线在平面外且与平面平行，等价于它的方向向量与平面的法向量垂直。 由·＝0得2×1＋t×(－1)＋1×3＝0，即2－t＋3＝0。 解得t＝5。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】由于DA，DC，DD₁两两垂直，可以它们为坐标轴、以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz。 在这个坐标系下D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，2)。 E是CC₁的中点，所以E(0，2，1)；F是AA₁的中点，所以F(2，0，1)。 于是＝(2－0，0－0，1－2)＝(2，0，－1)。 在平面BDE内取＝(2，2，0)与＝(0，2，1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得2y＋z＝0。 取x＝1，则y＝－1，z＝2，即＝(1，－1，2)。 所以·＝2×1＋0×(－1)＋(－1)×2＝0。 又·＝(1，－1，2)·(0，0，2)＝4≠0，所以点D₁不在平面BDE内，直线D₁F也不在平面BDE内。 所以D₁F∥平面BDE。 　题型11　变式：三种垂直的向量判据 变式1　【答案】C 【解析】先算数量积：·＝1×(－2)＋2×1＋(－1)×0＝0。 方向向量垂直，说明这两条直线所成的角是90°，即l₁⊥l₂。 若两条直线平行，则两个方向向量成比例，而(1，2，－1)与(－2，1，0)的分量不成比例，A项不成立；仅由方向向量无法断定两条直线是相交还是异面，所以B项与D项都下得太满。故选C。 变式2　【答案】4 【解析】两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直，即·＝0。 所以1×2＋λ×(－1)＋2×1＝0，即2－λ＋2＝0。 解得λ＝4。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】按图中标出的方向建立空间直角坐标系Dxyz。 这时D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D₁(0，0，1)，B₁(1，1，1)。 于是＝(1，1，1)。 在平面ACD₁内取＝(－1，1，0)与＝(－1，0，1)，它们不共线。 因为·＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，·＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0， 所以与平面ACD₁内两条相交直线的方向向量都垂直，它是平面ACD₁的一个法向量。 所以DB₁⊥平面ACD₁。 　题型12　变式：点到平面与点到直线的距离计算 变式1　【答案】 【解析】先求出平面内一点到平面外一点的向量：＝(3－1，1－0，2－1)＝(2，1，1)。 所以·＝2×2＋(－1)×1＋2×1＝4－1＋2＝5。 又||＝＝3。 由点到平面的距离公式得d＝＝。 变式2　【答案】 【解析】＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，所以||＝2，直线AB的单位方向向量＝()·(－2，2，0)。 记＝＝(0－2，0－0，1－0)＝(－2，0，1)，则||²＝4＋0＋1＝5。 又·＝(－2)×(－2)＋0×2＋1×0＝4，所以·＝＝，(·)²＝2。 由点到直线的距离公式得d＝＝。 变式3　【答案】 【解析】把D取作原点，让x轴、y轴、z轴分别落在DA，DC，DD₁上，建立空间直角坐标系。 这时D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A₁(1，0，1)。 在平面A₁BD内取＝(1，1，0)与＝(1，0，1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，由·＝0得x＋y＝0，由·＝0得x＋z＝0。 取x＝1，得＝(1，－1，－1)，||＝。 两个平行平面之间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，取平面CB₁D₁上的点C。 ＝(0，1，0)，所以·＝0×1＋1×(－1)＋0×(－1)＝－1。 所以所求距离d＝＝＝。 　题型13　变式：三种角的公式辨析 变式1　【答案】 【解析】先算数量积与两个模：·＝2×0＋2×1＋1×0＝2，||＝＝3，||＝1。 设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝。 代入得sinθ＝＝。 变式2　【答案】B 【解析】先算数量积：·＝1×0＋0×1＋(－1)×1＝－1。 又||＝，||＝，所以cos〈，〉＝－＝－。 两个平面的夹角不超过90°，余弦值不能为负，所以要取绝对值，得夹角的余弦值是。A项正是漏掉绝对值的结果；C项是把||错当成1算的＝；D项是把算出的当成正弦又多算一步＝。故选B。 变式3　【答案】（1）；（2） 【解析】按题中的规定建立空间直角坐标系Dxyz，原点取在D。 于是D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)。 E是CC₁的中点，所以E(0，2，1)。 于是＝(0－2，2－0，1－2)＝(－2，2，－1)，||＝＝3。 （1）z轴与底面ABCD垂直，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量。 ·＝－1，设A₁E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝＝。 由0°≤θ≤90°得cosθ＝＝，所以tanθ＝()÷()＝＝。 （2）＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，||＝2。 ·＝(－2)×(－2)＋2×2＋(－1)×0＝4＋4＋0＝8。 所以A₁E与AC的夹角的余弦值为＝。 　易错专练 易错1　【答案】正确结论是直线AB与直线CD平行或者重合；原推理漏掉了A，B，C，D四点共线的情形 【解析】错解示例：因为＝2，所以与共线，于是AB∥CD。 错因：共线向量的定义是“表示它们的有向线段所在的直线互相平行或者重合”，重合这一档被漏掉了。 正解：由＝2知两个向量共线，所以直线AB与直线CD平行或者重合。 当A，B，C，D四点都在同一条直线上时，条件仍然成立，但两条直线重合而不平行。 提醒：凡是由向量共线去断定直线平行，都要补一句“它们不在同一条直线上”，这一句在解答题里就是给分点。 易错2　【答案】不正确；需要补充条件≠0 【解析】错解示例：因为∥，所以两个向量方向相同或相反，于是可以写成＝λ。 错因：当＝0时，按规定0与任意向量平行，此时对任意实数λ都有λ＝0，若≠0，就不可能有＝λ。 正解：这句话不正确，必须补上≠0；教材给出的充要条件正是“对任意两个空间向量，（≠0），∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ”。 提醒：写这个条件时把“（≠0）”和结论写在同一行，考试时就不会只背住等式而丢掉前提。 易错3　【答案】2能由＋与－线性表示，三个向量共面，所以不能构成基底；{＋，－，}能构成空间的一个基底 【解析】错解示例：因为，，是基底，所以由它们组合出来的三个向量也一定不共面。 错因：基底的要求是三个向量不共面，而不是“由基向量组合而成”。(＋)＋(－)＝2，说明第三个向量落在前两个向量所确定的平面里。 正解：由(＋)＋(－)＝2知三个向量共面，所以{＋，－，2}不能构成基底。 对于{＋，－，}：若它们共面，则能写成x(＋)＋y(－)的形式，即能由，表示，这与，，不共面矛盾，所以它们不共面，能构成空间的一个基底。 提醒：判断三个组合向量能否作基底，先试着把其中一个写成另外两个的线性组合；写得出来就共面，写不出来再用反证法说明。 易错4　【答案】异面直线A₁B与AD₁所成的角是60° 【解析】错解示例：由cos〈，〉＝－，得两个向量的夹角是120°，于是说异面直线所成的角是120°。 错因：两个向量的夹角可以取到钝角，而异面直线所成的角只能落在0°到90°之间，两者不是同一个角。 正解：设＝，＝，＝，则＝－，＝＋。 于是·＝－·＝－1，而||＝，||＝。 所以cos〈，〉＝－＝－，这一步并没有算错。 设异面直线A₁B与AD₁所成的角为θ，则cosθ＝|－|＝，而0°＜θ≤90°，所以θ＝60°。 提醒：只要算出的余弦是负数，就一定要再写一行“取绝对值”，再由它反求角。 易错5　【答案】直线l与平面α所成的角是30° 【解析】错解示例：由＝，得所成角的余弦值是，所以角是60°。 错因：方向向量与法向量的夹角和线面角互余，所以这个比值算出来的是线面角的正弦值，不是余弦值。 正解：·＝1×0＋1×1＋0×1＝1，||＝，||＝，所以＝＝。 设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝，而0°≤θ≤90°，所以θ＝30°。 提醒：线面角公式的左边写sinθ，写公式时就把“sin”先写出来，可以避免顺手当成余弦。 易错6　【答案】点P到直线l的距离是 【解析】错解示例：＝＝(0，2，0)，||²＝4，·＝2，于是d＝＝0。 错因：点到直线的距离公式里的必须是直线的单位方向向量，而||＝≠1，直接拿代入会把(·)²算大。 正解：由||＝＝得单位方向向量＝()·(0，1，1)。 又＝＝(1－1，2－0，0－0)＝(0，2，0)，所以||²＝0＋4＋0＝4。 而·＝0×0＋2×1＋0×1＝2，所以·＝＝，(·)²＝2。 所以d＝＝。 提醒：若不想先写出单位向量，也可以把·除以||，再把所得结果的平方从||²里减去；这一步除以||不能省。 易错7　【答案】与共线，两个方程互相等价，必须换成平面内两个不共线的向量；平面α的一个法向量是(3，2，1) 【解析】错解示例：取与列方程组，得到的两个方程完全等价，方程组退化成一个方程，解不唯一到无法确定方向。 错因：求平面的法向量时，用来列方程的两个向量必须在平面内且不共线；＝－与共线，提供不了第二个独立条件。 正解：＝(0－2，3－0，0－0)＝(－2，3，0)，＝(0－2，0－0，6－0)＝(－2，0，6)，它们不共线。 由·＝0得－2x＋3y＝0，由·＝0得－2x＋6z＝0。 取y＝2，则由－2x＋6＝0得x＝3；再由－2×3＋6z＝0得z＝1。 所以＝(3，2，1)是平面α的一个法向量。 提醒：列完方程组先看两个方程是不是同一个；若是，说明选错了向量，换一个顶点重新取向量即可。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】D 【解析】数乘向量λ的模等于|λ|||，其中|λ|是实数λ的绝对值。 所以|－3|＝|－3|×||＝3×5＝15。 A项把负号一并写进了模里，而模不可能是负数；B项漏乘了3；C项把数乘错当成了加法，算成3＋5＝8。故选D。 2．【答案】A 【解析】观察三个分量：2＝2×1，－2＝2×(－1)，4＝2×2，所以＝2。 由共线向量的充要条件知∥。 若⊥，应有·＝0，而·＝1×2＋(－1)×(－2)＋2×4＝12≠0，B项不成立。故选A。 3．【答案】D 【解析】由数量积的定义得·＝||||cos〈，〉。 因为cos60°＝，所以·＝2×2×()＝2。 A项是把cos60°误记成后算的2×2×()＝1；B项是把cos60°错用成sin60°＝算的2×2×()＝2；C项是漏乘cos60°直接算2×2＝4。故选D。 4．【答案】A 【解析】空间向量的加法按对应分量相加进行。 横坐标为1＋(－2)＝－1，纵坐标为0＋1＝1，竖坐标为(－2)＋0＝－2。 所以＋＝(－1，1，－2)。B项把加法算成了减法，C项把竖坐标的符号写反，D项按对应分量相乘。故选A。 5．【答案】B 【解析】两个平面平行，它们的法向量也平行，所以要找的是与共线的那个向量。 B项(2，4，4)＝2，与共线，可以作为平面β的法向量。 A项与C项的分量都不与成比例；D项(0，1，1)的第一个分量是0而的第一个分量是1，不存在实数λ使(0，1，1)＝λ(1，2，2)，所以它也不与共线。故选B。 6．【答案】 【解析】三个向量首尾相接：第一个的终点A是第二个的起点，第二个的终点B是第三个的起点。 按加法的三角形法则逐段合并，得＋＝，再加上得。 所以所求的和是。 7．【答案】3 【解析】向量的模等于三个分量的平方和的算术平方根。 所以||＝＝3。 8．【答案】 【解析】先平方：|＋|²＝||²＋2(·)＋||²。 代入||²＝1，||²＝9，·＝0，得|＋|²＝1＋0＋9＝10。 所以|＋|＝＝。 9．【答案】2 【解析】点A在坐标平面Oxy内的射影是把竖坐标换成0所得的点，即B(1，－2，0)。 所以点A到坐标平面Oxy的距离就是线段AB的长，它等于A的竖坐标的绝对值。 所以所求距离是|2|＝2。 10．【答案】＝－＋＋，BD₁＝ 【解析】沿棱从B走到D₁：＝＋＋。 因为＝－，＝，＝＝，所以＝－＋＋。 因为{，，}是单位正交基底，所以||²＝1＋1＋1＝3。 所以BD₁＝＝。 11．【答案】（1）(1，7，－6)；（2）－ 【解析】（1）3＝(3，6，－3)，所以3－＝(3－2，6－(－1)，－3－3)＝(1，7，－6)。 （2）先算数量积：·＝1×2＋2×(－1)＋(－1)×3＝2－2－3＝－3。 再算两个模：||＝＝，||＝＝。 所以cos〈，〉＝－，把分母中的根号化去得－。 12．【答案】 【解析】以D为原点，三条棱DA，DC，DD₁所在直线依次为x轴、y轴、z轴，建立图中的空间直角坐标系。 由棱长为2得A(2，0，0)，B(2，2，0)，D₁(0，0，2)，A₁(2，0，2)。 E是AB的中点，横坐标为2，纵坐标为＝1，竖坐标为0，所以E(2，1，0)；F是DD₁的中点，所以F(0，0，1)。 于是＝(2－0，1－0，0－2)＝(2，1，－2)，＝(0－2，0－0，1－2)＝(－2，0，－1)。 所以·＝2×(－2)＋1×0＋(－2)×(－1)＝－4＋0＋2＝－2。 又||＝＝3，||＝＝。 所以所求余弦值为＝。 　课后作业（二）能力提升 1．【答案】B 【解析】正四面体的四个面都是正三角形，从顶点A出发的三条棱两两的夹角都是60°。 所以·＝·＝2×2×()＝2。 又＝－，所以·＝·－·＝2－2＝0。 A项是把两项的顺序写反成·－·，又把·误算成2×2＝4，得2－4＝－2，C项只算了其中一项得2，D项把两项相加得2＋2＝4。故选B。 2．【答案】C 【解析】＝(1－0，0－1，1－1)＝(1，－1，0)，所以||＝，直线BC的单位方向向量＝()·(1，－1，0)。 记＝＝(1－0，1－1，0－1)＝(1，0，－1)，则||²＝1＋0＋1＝2。 又·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×0＝1，所以·＝，(·)²＝。 由点到直线的距离公式得d＝＝。故选C。 3．【答案】C 【解析】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，1)。 ＝(0－1，1－0，1－0)＝(－1，1，1)，＝(0－0，0－1，0－0)＝(0，－1，0)。 所以·＝－1，||＝，||＝1。 所以所求余弦值为＝＝。故选C。 4．【答案】1 【解析】因为与共线且的第一个系数为1不为零，所以存在实数λ，使＝λ。 比较的系数得2＝λ，所以λ＝2。 比较的系数得－1＝λs，所以s＝－；比较的系数得3＝λt，所以t＝。 所以s＋t＝－＋＝1。 5．【答案】－1 【解析】先写出两个向量的坐标：t＋＝(t，t＋1，1)，＋＝(1，2，1)。 由两者垂直得(t＋)·(＋)＝0，即t×1＋(t＋1)×2＋1×1＝0。 整理得3t＋3＝0。 解得t＝－1。 6．【答案】 【解析】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D₁(0，0，1)，B(1，1，0)，E(1，1，)。 ＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，设＝(x，y，z)是平面ACD₁的一个法向量。 由·＝0得－x＋y＝0，由·＝0得－x＋z＝0，取x＝1得＝(1，1，1)，||＝。 又＝(1－1，1－0，－0)＝(0，1，)，所以·＝0＋1＋＝。 所以点E到平面ACD₁的距离为()÷＝。 7．【答案】（1）；（2） 【解析】把D取作原点，让三条棱DA，DC，DD₁分别落在x轴、y轴、z轴上，建立空间直角坐标系。 由AD＝2，AB＝2，AA₁＝4得D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C₁(0，2，4)，B₁(2，2，4)，而E是CC₁的中点，所以E(0，2，2)。 （1）＝(0－2，2－2，2－4)＝(－2，0，－2)，所以||＝＝2。 又＝(0－2，0－0，0－0)＝(－2，0，0)，||＝2。 所以·＝(－2)×(－2)＋0×0＋(－2)×0＝4，从而所求余弦值为＝。 （2）＝(2，2，4)，＝(0，2，2)，设＝(x，y，z)是平面B₁DE的一个法向量。 由·＝0得2y＋2z＝0，由·＝0得2x＋2y＋4z＝0。 取y＝1，则z＝－1，代入第二个方程得2x＋2－4＝0，所以x＝1，即＝(1，1，－1)，||＝。 又＝(0，2，0)，所以·＝0×1＋2×1＋0×(－1)＝2。 所以点C到平面B₁DE的距离为＝＝。 8．【答案】（1）；（2） 【解析】因为CA，CB，CC₁两两垂直，所以可以C为原点、这三条棱所在直线为坐标轴建系。 在这个坐标系里C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C₁(0，0，4)，D(0，0，2)。 （1）＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，设＝(x，y，z)是平面ABD的一个法向量。 由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0，取x＝1得＝(1，1，1)，||＝。 又＝(0－2，0－0，0－0)＝(－2，0，0)，所以·＝－2。 所以点C到平面ABD的距离为＝＝。 （2）侧棱CC₁与底面ABC垂直，所以＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，||＝1。 又·＝1，所以所求余弦值为＝＝。 9．【答案】（1）三条边的长都是，△ABC是等边三角形；（2）(1，1，1) 【解析】（1）＝(－2－0，1－2，6－3)＝(－2，－1，3)，所以AB＝＝。 ＝(1－0，－1－2，5－3)＝(1，－3，2)，所以AC＝＝。 ＝(1－(－2)，－1－1，5－6)＝(3，－2，－1)，所以BC＝＝。 三条边的长都等于，所以△ABC是等边三角形。 （2）设＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，由·＝0得－2x－y＋3z＝0，由·＝0得x－3y＋2z＝0。 由第二个方程得x＝3y－2z，代入第一个方程得－2(3y－2z)－y＋3z＝0，整理得－7y＋7z＝0。 取y＝1，则z＝1，x＝3－2＝1。 所以＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量。 　课后作业（三）拓展探究 1．【答案】 【解析】由OM＝2MA知M是OA上靠近A的三等分点，所以＝()。 N是BC的中点，所以＝()(＋)。 所以＝－＝－()＋()＋()。 于是x＝－，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝－＋＋＝。 2．【答案】CP＝1 【解析】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 于是D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)。 E是AB的中点，所以E(2，1，0)。 设＝λ（0≤λ≤1），则点P的坐标是(0，2，2λ)。 于是＝(0－2，2－1，2λ－0)＝(－2，1，2λ)，＝(2－2，2－0，0－2)＝(0，2，－2)。 由EP⊥A₁B得·＝0，即(－2)×0＋1×2＋2λ×(－2)＝0。 整理得2－4λ＝0，解得λ＝，它落在区间[0，1]内，所以这样的点P存在。 此时CP＝λ·CC₁＝()×2＝1。 3．【答案】λ＝ 【解析】取D作原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图。 这时D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)。 由＝λ得点M的坐标是(2λ，0，2－2λ)，于是＝(2λ，0，2－2λ)。 因为PD与底面垂直，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量。 设直线DM与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝。 由θ＝45°得sinθ＝，所以||²＝2(2－2λ)²。 而||²＝(2λ)²＋(2－2λ)²，所以(2λ)²＋(2－2λ)²＝2(2－2λ)²，即(2λ)²＝(2－2λ)²。 因为0＜λ＜1，两边都是正数，开方得2－2λ＝2λ。 解得λ＝。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修一·第一章 空间向量与立体几何 题型精讲讲义 第一章 空间向量与立体几何 题型精讲讲义（知识梳理+26考点例题+易错专练+分层作业 共98题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何　1.1空间向量及其运算　1.2空间向量基本定理　1.3空间向量及其运算的坐标表示　1.4空间向量的应用 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．理解空间向量的概念、模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量与相等向量，掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，会用共线向量与共面向量的充要条件判定三点共线与四点共面。 2．理解空间向量的夹角与数量积的定义，掌握·＝||||cos〈，〉与⊥⇔·＝0，会用数量积求模与夹角；理解空间向量基本定理，会用基底表示空间向量，并用基底法处理垂直与异面直线所成角的问题。 3．会建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，掌握空间向量运算的坐标表示以及平行、垂直、模、夹角与两点间距离的坐标条件。 4．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量，能用它们刻画空间直线、平面的平行与垂直关系；掌握点到直线、点到平面的距离公式与异面直线所成角、线面角、面面夹角的向量公式；（拓展）会处理含参数的分点与存在性探索问题。 学习重难点 重点：空间向量基本定理与基底表示；空间向量运算的坐标表示；平面法向量的求法；用向量刻画平行、垂直并计算距离与角度。 难点：把几何条件准确翻译成向量条件；证线面平行时补上“直线在平面外”、证面面平行时补上“两个平面不重合”；求点到直线的距离时把方向向量单位化；线面角用正弦而不是余弦；异面直线所成角与平面的夹角都必须取绝对值。 　目　录 本讲结构：梳理 10 条 · 考点 13 个（例题 13 + 变式 41）· 易错 7 题 · 作业 24 题 · 共 85 题 知识梳理 3 知识点 01　空间向量的有关概念 3 知识点 02　空间向量的线性运算及其运算律 4 知识点 03　共线向量与共面向量 5 知识点 04　空间向量的数量积与投影向量 5 知识点 05　空间向量基本定理与基底 6 知识点 06　空间直角坐标系与点、向量的坐标 6 知识点 07　空间向量运算的坐标表示与两点间的距离公式 7 知识点 08　空间中点、直线、平面的向量表示 8 知识点 09　空间平行与垂直关系的向量刻画 8 知识点 10　空间距离与夹角的向量公式 9 考点 1　空间向量的概念与线性运算 10 考点 2　共线向量、共面向量与四点共面 13 考点 3　空间向量的数量积、夹角与模 15 考点 4　空间向量基本定理与用基底表示向量 17 考点 5　用基底法证明垂直与求异面直线所成的角 20 考点 6　建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标 23 考点 7　空间向量运算的坐标表示 25 考点 8　两点间的距离公式与坐标法求线段长 27 考点 9　直线的方向向量与平面的法向量 30 考点 10　用空间向量研究空间中的平行 32 考点 11　用空间向量研究空间中的垂直 35 考点 12　空间中的距离问题 38 考点 13　空间中的角度问题 41 易错专练 44 课后作业（一）基础过关 46 课后作业（二）能力提升 49 课后作业（三）拓展探究 52 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　空间向量的有关概念 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。长度为0的向量叫做零向量，记为0；模为1的向量叫做单位向量；与向量长度相等而方向相反的向量叫做的相反向量，记为－。如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；方向相同且模相等的向量叫做相等向量。我们规定：零向量与任意向量平行。 空间向量是自由的：同向且等长的有向线段表示同一个向量，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内 以A为起点、B为终点的向量记作，它的模记作||；空间向量也可以用单个字母，，表示 小提示：向量一律在字母上加箭头：单个字母写成，，，法向量与方向向量写成，；由起点与终点确定的向量写成。不加箭头的AB，MN表示线段的长度，||才是向量的模。零向量的方向是任意的，判断“共线”“相等”时千万不要把它漏掉。 知识点梳理　02　空间向量的线性运算及其运算律 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，所以空间向量的加法、减法与数乘运算都和平面向量完全一致：加法用三角形法则或平行四边形法则，减法是加上相反向量，数乘λ的模是|λ|||，方向由λ的正负决定，λ＝0时λ＝0。以任意点O为起点，以三个不共面的向量为邻边作平行六面体，则这三个向量的和就是以O为起点的那条对角线所表示的向量。 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋)，λ(μ)＝(λμ) 分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ（λ，μ∈R） 小提示：有限个向量求和时，交换相加向量的顺序其和不变，所以遇到一串加减混合的式子，先把它们统一成“首尾相接”的形式再合并最省事。数乘的结果仍是向量，写答案时不要把λ写成一个数。 知识点梳理　03　共线向量与共面向量 对任意两个空间向量，（≠0），∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ。与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量，于是直线可以由其上一点和它的方向向量确定。平行于同一个平面的向量叫做共面向量；如果两个向量，不共线，那么向量与，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y。 三点A，B，C共线⇔存在实数λ，使＝λ 点P位于平面ABC内⇔存在实数x，y，使＝＋x＋y（O为空间任意一点） 小提示：判定共线一定要注明“≠0”这个前提；判定共面时作为“骨架”的两个向量，必须不共线，否则x＋y只能表示一条直线上的向量。把写成x＋y＋z时，P在平面ABC内的标志是x＋y＋z＝1。 知识点梳理　04　空间向量的数量积与投影向量 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉，并规定0≤〈，〉≤π。如果〈，〉＝，那么⊥。把||||cos〈，〉叫做，的数量积，记作·；零向量与任意向量的数量积为0。把平移后向所在直线作垂线，垂足把截出的那个与共线的向量，叫做在上的投影向量。 ·＝||||cos〈，〉；当≠0，≠0时，⊥⇔·＝0 ·＝||²，即||＝；cos〈，〉＝ 运算律：(λ)·＝λ(·)，·＝·，(＋)·＝·＋· 小提示：数量积的结果是一个实数，不是向量，所以“(·)＝(·)”一般不成立；由·＝·也推不出＝。求模时常用的套路是先算|x|²＝x·x再开方，把几何长度化成数量积运算。 知识点梳理　05　空间向量基本定理与基底 空间向量基本定理指出：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z。此时把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。如果一个基底中的三个基向量两两垂直且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示；把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 单位正交基底{，，}满足·＝·＝·＝1，·＝·＝·＝0 小提示：零向量不能作基向量，三个基向量必须不共面；在正方体、长方体、正四棱锥里通常取共顶点的三条两两垂直的棱作单位正交基底，而在平行六面体里只能取共顶点的三条棱，它们一般不垂直，两两的数量积要按夹角先算出来备用。 知识点梳理　06　空间直角坐标系与点、向量的坐标 在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，就建立了一个空间直角坐标系Oxyz。通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面。若＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)；同样地，＝x＋y＋z时记＝(x，y，z)。 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90° 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 小提示：符号(x，y，z)既可以表示点也可以表示向量，答题时要按题目问的对象说清楚。点在坐标平面Oxy内的射影是把竖坐标换成0，关于原点对称是三个坐标同时变号，这两处最容易张冠李戴。 知识点梳理　07　空间向量运算的坐标表示与两点间的距离公式 设＝(a₁，a₂，a₃)，＝(b₁，b₂，b₃)，则＋＝(a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃)，－＝(a₁－b₁，a₂－b₂，a₃－b₃)，λ＝(λa₁，λa₂，λa₃)，·＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃。由此可以把平行、垂直、模与夹角的判定全部化归为数的运算，这正是坐标法的威力所在。 当≠0时，∥⇔＝λ⇔a₁＝λb₁，a₂＝λb₂，a₃＝λb₃；当≠0，≠0时，⊥⇔a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝0 ||＝；cos〈，〉＝ 两点间的距离：设P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)，则P₁P₂＝ 小提示：用坐标判定∥时，若的某个分量为0，则的对应分量也必须为0，此时不能直接写成三个比相等的连比式。建系的原则是让尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，长方体、正四棱锥、直三棱柱都有现成的两两垂直的三条线可用。 知识点梳理　08　空间中点、直线、平面的向量表示 取定一个基点O，空间中任意一点P都可以用来表示，称为点P的位置向量。设是直线l的方向向量，A在直线l上，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝t。设平面α内两条相交直线的方向向量为，，则空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y。如果直线l⊥α，那么直线l的方向向量叫做平面α的法向量。 空间直线的向量表示式：＝＋t·（t∈R） 求平面法向量：设＝(x，y，z)，由与平面内两个不共线向量的数量积都为0列方程组，取一组非零解即可 小提示：法向量不唯一，任意一个非零实数倍仍是法向量，所以解方程组时可以先令某个分量取一个方便的数（通常取能使另外两个分量为整数的那个），再把三个数一起写出来；令出来的分量不能取0，否则可能得到零向量。 知识点梳理　09　空间平行与垂直关系的向量刻画 直线的方向向量与平面的法向量是把位置关系代数化的关键量。下表中，表示直线的方向向量，，表示平面的法向量。直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直，都可以翻译成这两类向量之间的平行或垂直。 判定直线与平面平行时，除了·＝0，还必须交代直线不在平面内 位置关系 向量条件 坐标运算的落点 l₁∥l₂ ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 l∥α（l在α外） ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 α∥β ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 l₁⊥l₂ ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 l⊥α ∥，即存在λ使＝λ 三个分量对应成比例 α⊥β ⊥，即·＝0 三个分量乘积之和为0 小提示：这张表的规律是：同类量（方向向量与方向向量、法向量与法向量）之间，平行对应平行、垂直对应垂直；异类量（方向向量与法向量）之间，平行与垂直恰好互换。记住这一句，六个结论就不会记混。 知识点梳理　10　空间距离与夹角的向量公式 立体几何中的度量问题包括距离与角度两类，它们都可以由投影向量的长度与向量夹角的余弦值算出来。求线面距、面面距时先把它们转化为点到平面的距离；求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面的夹角时，都要在最后给结论加上绝对值，因为这三种角都不超过90°，而向量的夹角可以是钝角。 线面距、面面距都先化为点到平面的距离；两条平行直线间的距离化为点到直线的距离 度量对象 向量公式 范围与提醒 点P到直线l的距离 d＝，其中A在l上，＝，是l的单位方向向量 必须先化成单位向量 点P到平面α的距离 d＝，其中A在α内，＝，是α的法向量 分子必须加绝对值 异面直线l₁，l₂所成的角θ cosθ＝，，是两条直线的方向向量 0＜θ≤90° 直线l与平面α所成的角θ sinθ＝ 0≤θ≤90°，用的是正弦 平面α与平面β的夹角θ cosθ＝，，是两个平面的法向量 0≤θ≤90° 小提示：最容易丢分的三处是：算点到直线的距离时忘了把方向向量单位化；算直线与平面所成角时把正弦当成余弦；算两个平面的夹角时不加绝对值，结果得到一个钝角。做完一定回头问一句“这个角超过90°了吗”。 【题型1】空间向量的概念与线性运算 空间向量的概念、法则和运算律都是从平面向量原样推广来的，新意只在“三个不共面的向量能拼出一个平行六面体”。化简的诀窍只有一条：把式子改写成首尾相接的形式，中间的点就会自动消去。 例1　如图，四面体ABCD中，点E为棱BC的中点，点F是棱AD上任意取定的一点。化简下列各式，并指出化简的结果是图中以哪两点为起点、终点的向量：（1）＋＋，（2）－－，（3）－－。 【分析】三个式子都只含加减，处理的办法是同一个：先把能首尾相接的两个向量合并，再把减号改写成“加上相反向量”，让终点与起点逐段对接。 【解答】（1）因为与首尾相接，所以＋＝。 于是＋＋＝＋＝，结果是。 （2）由（1）已知＋＝，所以－－＝－(＋)＝－。 起点相同的两个向量相减，结果是从减向量的终点指向被减向量的终点，故－＝，结果是。 （3）－＝（起点同为C的两个向量相减）。 所以－－＝－＝，结果是。 【方法小结】化简向量式只有两把钥匙：首尾相接的用加法合并；起点相同的用减法合并成“后终点指向前终点”。每合并一次就在草稿上划掉一个中间字母，剩下的两个字母就是答案的起点和终点。 例2　给出下列五个说法：①模相等的两个空间向量一定是相等向量；②若∥，∥，则∥；③空间中所有的单位向量都相等；④零向量与任意一个空间向量都平行；⑤若＋＝0，则与互为相反向量。其中正确说法的序号是＿＿＿＿＿＿。 【分析】逐条回到定义：相等向量要同时满足“方向相同”和“模相等”；平行向量的判定里，零向量是特殊规定；相反向量的定义是“长度相等、方向相反”。 【解答】①错。模相等只管长度，方向可以完全不同，例如正方体中与的模相等却不相等。 ②错。当＝0时，由规定知0与任意向量都平行，此时与的方向可以毫无关系，所以推不出∥；只有补上≠0这个条件，结论才成立。 ③错。单位向量只规定了模为1，方向仍可任意，所以它们未必相等。 ④对。这是教材对零向量作出的规定：0∥对任意向量都成立。 ⑤对。由＋＝0得＝－，即与长度相等、方向相反，两者互为相反向量。 所以正确说法的序号是④⑤。 【方法小结】判断向量概念的真假，先问“有没有把方向漏掉”，再问“零向量算不算反例”。这两问能挡掉这一类题九成以上的陷阱。 题型1　变式：相等向量的识别与向量式的化简 第1题练相等向量的两个条件，第2题练在平行六面体里把中间字母消掉，第3题是纯符号化简，第4题把化简的结论写成一个可以证明的等式。 变式1　如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，与相等的向量是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 变式2　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，化简＋＋－，并指出结果是图中以哪两点为起点、终点的向量。 变式3　在空间中任取四个点A，B，C，D，则－＋－等于（　　）。 A．0　　B．　　C．　　D． 变式4　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，设为，为，为，求证：＋＝2。 【题型2】共线向量、共面向量与四点共面 共线与共面的判定是本章第一个“翻译”练习：三点共线翻译成“两个向量成倍数”，四点共面翻译成“一个向量能被另外两个不共线的向量线性表示”。写结论时别忘了补一句“它们有公共点”。 例1　如图，已知空间四点O，A，B，C，且＝3－2。求证：A，B，C三点共线。 【分析】要证三点共线，只需在这三点确定的两个向量之间找出倍数关系，再指出它们有公共点。选与来比较最方便，因为它们都能由，表示。 【解答】由＝－，把已知条件代入，得 ＝(3－2)－＝2－2。 而＝－，所以＝2。 由共线向量的充要条件知与共线，即直线AC与直线BA平行或重合。 又这两个向量有公共的起点或终点A，所以直线AC与直线BA重合，从而A，B，C三点共线。 【方法小结】凡是形如＝x＋y的条件，先看x＋y是不是1：本题3＋(－2)＝1，正是A，B，C三点共线的标志。证明时仍要把倍数关系算出来，并补上“有公共点”这一句，缺了它只能得到平行。 例2　已知{，，}是空间的一个基底，且＝－2＋3，＝2＋－，＝－－8＋11。判断M，A，B，C四点是否共面；若共面，把写成与的线性组合。 【分析】M，A，B，C四点共面等价于，，共面。由于，，不共面，与显然不共线，因此只需判断能否找到实数x，y使＝x＋y。 【解答】设＝x＋y，代入已知式得 －－8＋11＝x(－2＋3)＋y(2＋－)＝(x＋2y)＋(－2x＋y)＋(3x－y)。 因为{，，}是基底，同一个向量在基底下的表示唯一，所以对应系数相等，得x＋2y＝－1，－2x＋y＝－8，3x－y＝11。 由前两个方程消去x：把x＝－1－2y代入－2x＋y＝－8，得2＋4y＋y＝－8，解得y＝－2，从而x＝－1－2×(－2)＝3。 把x＝3，y＝－2代入第三个方程检验：3×3－(－2)＝11，成立。 所以＝3－2，由共面向量的充要条件知，，共面，又它们有公共起点M，故M，A，B，C四点共面。 【方法小结】基底是“唯一分解”的保证，正因为唯一，才能由两边对应系数相等列出方程组。三个方程两个未知数是超定的，必须用两个方程解出再代入第三个方程检验，检验不通过就说明四点不共面。 题型2　变式：共线条件的辨析与共面的判定 第1题辨析“向量共线”与“直线平行”的差别，第2题由平行反求参数，第3题用系数和为1这一特征判断点落在平面内。 变式1　已知A，B，C，D是空间中互不相同的四点，且＝2，则下列结论中一定成立的是（　　）。 A．A，B，C，D这四个点共线 B．直线AB与直线CD一定平行 C．直线AB与直线CD平行或者重合 D．四边形ABCD是平行四边形 变式2　已知{，，}是空间的一个基底，向量＝＋2－，向量＝2＋t－2。若∥，则实数t＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，在三棱锥O－ABC中，点M满足＝()＋()＋()。求证：点M在平面ABC内。 【题型3】空间向量的数量积、夹角与模 数量积是本章唯一能把“长度”和“角度”一起算出来的工具。凡是求线段长，先写成|x|²＝x·x再开方；凡是求角，先算数量积再除以两个模的乘积。基底里两两的数量积要先算好放在手边。 例1　如图，在正四面体ABCD中，棱长为2，E是棱CD的中点。（1）求·，（2）求·，（3）求异面直线AE与BD所成角的余弦值。 【分析】正四面体的四个面都是正三角形，所以从同一个顶点出发的三条棱两两的夹角都是60°，把它们取作基底，三个两两的数量积可以一次算好，后面的计算就只剩代数展开。 【解答】设＝，＝，＝，则||＝||＝||＝2，且两两的夹角都是60°。 因为cos60°＝，所以·＝·＝·＝2×2×()＝2。 （1）·＝·＝2。 （2）E是CD的中点，所以＝()(＋)；又＝－＝－。 于是·＝()(＋)·(－)＝()(·－·＋||²－·)。 代入数据得()×(2－2＋4－2)＝1。 （3）先求两个向量的模。||²＝()(＋)·(＋)＝()(4＋4＋2×2)＝3，所以||＝。 ||²＝(－)·(－)＝4＋4－2×2＝4，所以||＝2。 所以cos〈，〉＝＝，这个值为正。 异面直线所成的角不超过90°，取绝对值后仍是，故所求余弦值为。 【方法小结】在正四面体、平行六面体这类“棱长与夹角已知”的图形里，第一步永远是把共顶点的三条棱设成基底并算出三个两两数量积；第二步把待求向量写成基底的线性组合；第三步展开、代入。三步走完，几何问题就变成了纯代数运算。 例2　已知空间向量，满足||＝2，||＝3，〈，〉＝120°。（1）求·，（2）求|2＋|，（3）求向量＋与向量的夹角的余弦值。 【分析】三问都只用到两个公式：数量积的定义式与|x|²＝x·x。凡是带模的式子，先平方再展开，最后开方。 【解答】（1）因为cos120°＝－，所以·＝||||cos〈，〉＝2×3×(－)＝－3。 （2）|2＋|²＝(2＋)·(2＋)＝4||²＋4(·)＋||²。 由||²＝4，||²＝9，·＝－3，得|2＋|²＝4×4＋4×(－3)＋9＝13。 所以|2＋|＝。 （3）先算数量积：(＋)·＝||²＋·＝4＋(－3)＝1。 再算模：|＋|²＝||²＋2(·)＋||²＝4＋2×(－3)＋9＝7，所以|＋|＝。 所以cos〈＋，〉＝，把分母中的根号化去得。 【方法小结】遇到|x＋y|一律先平方，展开成x²||²＋2xy(·)＋y²||²，这是本章最高频的一条计算路线。最后写答案时把分母中的根号化去，是高中阶段的书写规范。 题型3　变式：由数量积定角、由模求模 第1题由数量积反求夹角，第2题练“先平方再开方”的固定路线，第3题把三个两两成60°的向量加起来，第4题是一道常考的模的互求。 变式1　已知空间向量，满足||＝1，||＝2，·＝－1，则与的夹角〈，〉＝＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间向量，满足||＝3，||＝4，且⊥，则|－|＝（　　）。 A．1　　B．5　　C．7　　D． 变式3　已知空间向量，，两两所成的角都是60°，且||＝1，||＝2，||＝3。求|＋＋|。 变式4　已知空间向量，满足||＝2，||＝1，|＋|＝，则|－|＝＿＿＿＿＿＿。 【题型4】空间向量基本定理与用基底表示向量 基底就是空间的“三把尺子”。把待求向量沿着已有的棱一段一段走到终点，走过的每一段都换成基向量，就得到了唯一的表示。分点条件要先翻译成向量等式再代入。 例1　如图，在三棱锥O－ABC中，点M是棱OA的中点，点N在棱BC上且BN＝2NC，点G在线段MN上且MG＝2GN，记＝，＝，＝，用，，表示。 【分析】三条棱OA，OB，OC不共面，{，，}是一个基底。先分别把与用基底表示，再用分点条件把夹在它们之间。 【解答】因为M是OA的中点，所以＝()。 因为BN＝2NC，所以＝()，于是 ＝＋＝＋()(－)＝()＋()。 因为MG＝2GN，所以＝()，于是 ＝＋()＝＋()(－)＝()＋()。 代入前面的结果，得＝()×()＋()×(()＋())。 逐项相乘：()×()＝，()×()＝，()×()＝。 所以＝()＋()＋()。 【方法小结】“点P在线段MN上且MP＝λPN”的标准翻译是＝()＋()，两个系数之和恒为1。把这条翻译写成随手可用的公式，分点问题就不必每次都从头推。 例2　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点，点F是面A₁B₁C₁D₁的中心，记＝，＝，＝。（1）用，，表示与，（2）用，，表示。 【分析】沿棱行走是最稳的路线：要到E，先沿AB走到B，再沿BC走到C，最后沿CC₁走一半；要到F，先沿AA₁走到A₁，再走上底面对角线A₁C₁的一半。 【解答】（1）＝＋＋。 因为＝＝，＝()＝()，所以＝＋＋()。 面A₁B₁C₁D₁是平行四边形，它的中心F是对角线A₁C₁的中点，所以＝()。 又＝＝＋，所以＝＋＝＋()(＋)＝()＋()＋。 （2）＝－＝(()＋()＋)－(＋＋())。 逐项相减，的系数为()－1＝－，的系数同样为－，的系数为1－()＝。 所以＝－()－()＋()。 【方法小结】平行六面体里所有“平移相等”的棱都对应同一个基向量，例如，，都等于。先把图上所有的棱在心里贴上，，三个标签，再沿棱行走，就不会把方向弄反。 题型4　变式：基底的判定与分点向量的表示 第1题判断三个向量能不能当基底，第2题在四面体里把分点向量表示出来，第3题先表示再用表示式回答共线问题。 变式1　已知{，，}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是（　　）。 A．＋2，， B．＋，－，2＋2 C．，＋，－ D．＋，， 变式2　如图，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点G在棱OA上且OG＝3GA。设为，为，为，则＝＿＿＿＿＿＿（用，，表示）。 变式3　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，线段A₁C₁与线段B₁D₁相交于点P，用，，表示，并判断A，P，C₁三点是否共线。 【题型5】用基底法证明垂直与求异面直线所成的角 当图形里没有现成的两两垂直的三条棱时，坐标法不好用，基底法才是主力：把两条直线的方向向量都用同一个基底写出来，数量积为零就垂直，否则用夹角公式，最后别忘了取绝对值。 例1　如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱AB，AD，AA₁的长依次是2，3，4，∠BAD＝60°，且侧棱AA₁与底面的两条棱AB，AD都垂直。（1）求AC₁的长，（2）求异面直线AC₁与BD所成角的余弦值。 【分析】三条共顶点的棱不共面，取它们作基底。两个直角条件说明其中两个数量积为0，只剩一个要按定义算，随后所有计算都在这个基底里展开。 【解答】设＝，＝，＝，则||＝2，||＝3，||＝4。 因为∠BAA₁＝∠DAA₁＝90°，所以·＝0，·＝0；又cos60°＝，所以·＝2×3×()＝3。 （1）＝＋＋＝＋＋。 所以||²＝||²＋||²＋||²＋2(·＋·＋·)＝4＋9＋16＋2×3＝35。 所以AC₁＝。 （2）＝－＝－，所以||²＝||²－2(·)＋||²＝9－2×3＋4＝7，即||＝。 又·＝(＋＋)·(－)＝·－||²＋||²－·＋·－·。 把已知数据代入，中间两个含·的项相消，·与·都是0，于是原式＝－4＋9＝5。 所以cos〈，〉＝＝，它是正数。 异面直线所成的角不超过90°，取绝对值后不变，故所求余弦值为。 【方法小结】基底法的三步是“设基底—算三个两两数量积—把待求向量写成基底的线性组合”。两个直角条件能让三个数量积中的两个直接为0，这类“直平行六面体”的题目因此比一般情形省一半力气。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，取棱AD的中点E与棱DD₁的中点F，并设＝，＝，＝。（1）求证：EF⊥A₁D，（2）求异面直线EF与A₁B所成角的大小。 【分析】正方体里从同一个顶点出发的三条棱两两垂直、长度都为1，正好构成一个单位正交基底，于是所有数量积只剩“对应相乘再相加”。 【解答】由棱长为1知{，，}是单位正交基底，·＝·＝·＝1，·＝·＝·＝0。 （1）E，F分别是AD，DD₁的中点，所以＝＋＝()＋()。 又＝＋＝－。 所以·＝(()＋())·(－)＝()·－()·＝()－()＝0。 所以⊥，即EF⊥A₁D。 （2）＝＋＝－。 所以·＝(()＋())·(－)＝－()·＝－。 又||＝＝，||＝，所以两个模的乘积是×＝1。 所以cos〈，〉＝－。 设异面直线EF与A₁B所成的角为θ，则cosθ＝|－|＝，而0°＜θ≤90°，所以θ＝60°。 【方法小结】向量夹角是钝角时，它的余弦是负数，而异面直线所成的角只能落在0°到90°之间，所以最后一步必须取绝对值。凡是算出负的余弦值还直接写成角的答案，都是这一步漏了。 题型5　变式：正方体里的数量积与夹角 第1题是最基本的数量积回代，第2题把三条棱换成互不相等的长度，看你会不会把三个模的平方分别换掉，第3题要先分别求模再求夹角。 变式1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，则数量积·＝（　　）。 A．－1　　B．0　　C．1　　D． 变式2　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝3，AA₁＝4，M是棱CC₁的中点，则·＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，棱CC₁的中点记为E，求BE与AD₁夹角的余弦值。 【题型6】建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标 坐标法的第一步也是最关键的一步是建系：找出一个顶点，它发出的三条线两两垂直，就以这三条线为坐标轴。建好系之后，写点的坐标只是“沿着三条轴各走几格”。 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PD＝2，坐标系Dxyz如图所示。（1）写出点A，B，C，P的坐标，（2）设E是棱PB的中点，写出点E的坐标与的坐标。 【分析】PD垂直于底面，说明DP与底面内过D的每一条直线都垂直；底面是正方形，DA与DC又互相垂直，所以DA，DC，DP两两垂直，是现成的三条坐标轴。 【解答】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，就得到图中的空间直角坐标系。 （1）点A在x轴上且DA＝2，所以A(2，0，0)。 点C在y轴上且DC＝2，所以C(0，2，0)；点P在z轴上且DP＝2，所以P(0，0，2)。 点B在坐标平面Oxy内，它的横坐标与A相同、纵坐标与C相同，所以B(2，2，0)。 （2）E是PB的中点，它的每个坐标都是P，B对应坐标的平均数。 横坐标为＝1，纵坐标为＝1，竖坐标为＝1，所以E(1，1，1)。 的坐标等于终点坐标减去起点坐标：(1－2，1－0，1－0)，即＝(－1，1，1)。 【方法小结】“一条侧棱垂直于底面且底面是矩形”是本章出现频率最高的建系条件，直接以这个垂足为原点。中点坐标取平均、向量坐标用终点减起点，这两条是坐标法里最不该出错的地方。 例2　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，侧棱CC₁＝3，棱AB的中点记为M，坐标系Cxyz如图所示。（1）写出点A₁，B₁，M的坐标，（2）写出与的坐标，并求A₁B的长。 【分析】直三棱柱的侧棱垂直于底面，而底面在C处又是直角，所以CA，CB，CC₁两两垂直，可以直接作三条坐标轴。 【解答】直三棱柱的侧棱垂直于底面，而底面在C处是直角，所以CA，CB，CC₁两两垂直，可以作三条坐标轴。 （1）在图中的坐标系里，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)。 上底面的点只是把竖坐标换成侧棱长3，所以A₁(2，0，3)，B₁(0，2，3)。 M是AB的中点，横坐标为＝1，纵坐标为＝1，竖坐标为0，所以M(1，1，0)。 （2）＝(1－0，1－0，0－0)＝(1，1，0)。 ＝(0－2，2－0，0－3)＝(－2，2，－3)。 所以A₁B＝||＝＝。 【方法小结】上、下底面对应点的横、纵坐标完全相同，只差一个竖坐标，写坐标时先写下底面再整体抬高，可以省掉一半的推理。求线段长就是求相应向量的模，三个分量平方相加再开方。 题型6　变式：对称点、射影与坐标的计算 第1题练关于坐标平面的对称，第2题练射影，第3题在棱长为2的正方体里写两个中点的坐标并求距离。 变式1　在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2，－3，1)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（　　）。 A．(－2，3，1) B．(2，－3，－1) C．(－2，－3，1) D．(2，3，－1) 变式2　在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，2，3)在坐标平面Oyz内的射影是点B，则||＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，AD＝2，AA₁＝2，点E，F分别是棱AB，CC₁的中点，坐标系Dxyz如图所示，写出点E，F的坐标，并求的坐标与EF的长。 【题型7】空间向量运算的坐标表示 有了坐标，平行就是分量成比例，垂直就是对应分量乘积之和为零，模就是平方和的算术平方根。含字母的题要按“先写条件式、再解方程”的顺序做，不要跳步。 例1　已知空间向量＝(1，－2，2)，＝(2，－4，t)。（1）若⊥，求t的值，（2）若∥，求t的值，（3）当t＝1时，求cos〈，〉。 【分析】三问分别用到垂直、平行与夹角的坐标条件，每一问都先把条件写成等式再解。 【解答】（1）由⊥得·＝0，即1×2＋(－2)×(－4)＋2t＝0。 即2＋8＋2t＝0，解得t＝－5。 （2）由∥知存在实数λ，使＝λ，即(2，－4，t)＝(λ，－2λ，2λ)。 由第一个分量得λ＝2，第二个分量－4＝－2λ也给出λ＝2，两者一致。 所以t＝2λ＝2×2＝4。 （3）当t＝1时，＝(2，－4，1)，于是·＝1×2＋(－2)×(－4)＋2×1＝2＋8＋2＝12。 又||＝＝3，||＝＝。 所以cos〈，〉＝，化去分母中的根号得。 【方法小结】平行的坐标条件写成＝λ而不要写成三个比相等，这样当某个分量为0时也不会失效。求夹角余弦时一定要把分母有理化，这是高中阶段的书写要求。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱BC与棱AB的中点依次是E，M，棱长等于2，坐标系Dxyz如图所示。（1）写出与的坐标，（2）求证：AE⊥DM，（3）求异面直线AE与D₁C所成角的余弦值。 【分析】建好系后所有点的坐标都能直接读出，垂直用数量积为0来证，夹角用余弦公式来算，最后取绝对值。 【解答】图中的坐标系以D为原点，三条棱DA，DC，DD₁分别落在x轴、y轴、z轴上。 （1）由棱长为2得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D₁(0，0，2)。 E是BC的中点，所以E(1，2，0)；M是AB的中点，所以M(2，1，0)。 于是＝(1－2，2－0，0－0)＝(－1，2，0)，＝(2－0，1－0，0－0)＝(2，1，0)。 （2）·＝(－1)×2＋2×1＋0×0＝0。 所以⊥，即AE⊥DM。 （3）＝(0－0，2－0，0－2)＝(0，2，－2)。 ·＝(－1)×0＋2×2＋0×(－2)＝4。 又||＝＝，||＝＝2。 所以cos〈，〉＝＝。 这个值为正，取绝对值后不变，所以异面直线AE与D₁C所成角的余弦值是。 【方法小结】正方体、长方体里的中点坐标可以直接“看”出来，不必每次都写平均数。证垂直时把数量积的三项都写出来再合并，阅卷时这一步是给分点。 题型7　变式：由垂直与平行定参数 第1题由垂直定参数，第2题由平行定参数并留意比例系数的符号，第3题是一组坐标运算的综合练习。 变式1　已知空间向量＝(1，3，－2)，＝(－2，x，1)，且⊥，则x＝＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间向量＝(2，－1，2)，＝(－1，λ，－1)，若∥，则实数λ的值是（　　）。 A．－2　　B．－　　C．　　D．2 变式3　已知空间向量＝(1，－1，2)，＝(0，2，－1)。（1）求＋2的坐标与·的值，（2）求cos〈，〉。 【题型8】两点间的距离公式与坐标法求线段长 空间两点间的距离公式是平面上那条公式的自然推广：把三个坐标差平方相加再开方。坐标法求长度的全部工作，就是先把两个端点的坐标写对。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的每条棱都等于1，点M，N分别在棱AA₁，CC₁上，且都是所在棱的中点。（1）求线段MN的长度，（2）求MN与AC₁所成角的余弦值。 【分析】两个中点的竖坐标都是棱长的一半，写完坐标后第一问用距离公式，第二问用夹角公式。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，得到图中的空间直角坐标系。 （1）由棱长为1得A(1，0，0)，C(0，1，0)，C₁(0，1，1)，A₁(1，0，1)。 M是AA₁的中点，所以M(1，0，)；N是CC₁的中点，所以N(0，1，)。 由两点间的距离公式得MN＝＝。 （2）＝(0－1，1－0，－)＝(－1，1，0)。 ＝(0－1，1－0，1－0)＝(－1，1，1)。 所以·＝(－1)×(－1)＋1×1＋0×1＝2。 又||＝，||＝。 所以cos〈，〉＝＝。 它是正数，取绝对值后不变，所以异面直线MN与AC₁所成角的余弦值是。 【方法小结】距离公式与求模是同一件事：MN＝||。做题时直接写出向量的坐标再求模，可以把两问合成一问，少算一次。 例2　如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，AB＝2，AD＝4，侧棱PD垂直于底面ABCD，且PD＝2，E为棱PB的中点。（1）求DE的长，（2）求DE与AB夹角的余弦值。 【分析】底面是矩形而不是正方形，两条底边的长不相等，建系时要逐个核对哪个数配x轴、哪个数配y轴。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz。 （1）由AD＝4，AB＝2，PD＝2得A(4，0，0)，B(4，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，P(0，0，2)。 E是PB的中点，横坐标为＝2，纵坐标为＝1，竖坐标为＝1，所以E(2，1，1)。 于是＝(2，1，1)。 所以DE＝||＝＝。 （2）＝(4－4，2－0，0－0)＝(0，2，0)，||＝2。 ·＝2×0＋1×2＋1×0＝2。 所以cos〈，〉＝＝＝，这个值为正。 直线DE与直线AB的夹角不超过90°，取绝对值后不变，所以所求余弦值是。 【方法小结】底面换成矩形以后，x轴与y轴上的单位长度不再相同，写点的坐标时把“哪条棱放在哪条轴上”先在图旁标一遍，可以避免整题因为一个数而全错。 题型8　变式：中点、等距点与棱柱中的线段长 第1题是公式的直接应用，第2题由等距条件列方程求轴上的点，第3题在直三棱柱里求两个中点的连线长。 变式1　已知空间中两点A(1，0，2)，B(3，－2，4)，则线段AB的中点坐标是＿＿＿＿＿＿，AB的长是＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知点A(2，1，－1)，B(0，3，1)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标是（　　）。 A．(0，0，1) B．(0，0，－1) C．(0，0，2) D．(0，0，－2) 变式3　如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA₁＝2，M是棱BC的中点，N是棱A₁C₁的中点。坐标系Axyz如图所示。求MN的长。 【题型9】直线的方向向量与平面的法向量 方向向量取直线上任意两点作差即可；法向量要设成(x，y，z)，与平面内两个不共线的向量分别作数量积并令它们为0，解出一组比例关系后取一个方便的整数解。 例1　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝1，AA₁＝2，坐标系Dxyz如图所示。（1）求平面ABB₁A₁的一个法向量，（2）求平面A₁BD的一个法向量。 【分析】第（1）问的平面与x轴垂直，法向量可以直接写出；第（2）问要设出法向量，用两个数量积为0列方程组。 【解答】图中的坐标系以D为原点，三条棱DA，DC，DD₁所在直线依次是x轴、y轴、z轴。 在这个坐标系里D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A₁(1，0，2)。 （1）平面ABB₁A₁上的点横坐标都等于1，因此x轴与这个平面垂直。 x轴的方向向量是(1，0，0)，所以(1，0，0)是平面ABB₁A₁的一个法向量。 （2）＝(1，2，0)，＝(1，0，2)，它们不共线且都在平面A₁BD内。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，则·＝0且·＝0。 即x＋2y＝0，x＋2z＝0。 由此得x＝－2y，x＝－2z，所以y＝z。 取y＝1，则z＝1，代入x＋2×1＝0得x＝－2。 所以＝(－2，1，1)是平面A₁BD的一个法向量。 【方法小结】法向量只要求一个，所以解出比例关系后可以自由取值，取整数最省事。检验的办法是把与平面内两个向量分别作数量积，结果都为0才算求对。与坐标轴垂直的平面可以不用解方程，直接写出该轴的方向向量。 例2　如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，PA＝4，棱PB的中点记为M，坐标系Axyz如图所示。（1）求直线CM的一个方向向量，（2）求平面PBC的一个法向量。 【分析】PA与底面垂直，AB与AC又互相垂直，于是AB，AC，AP两两垂直，正好作三条坐标轴。方向向量取直线上两点作差；法向量按“设、列、解、取”四步走。 【解答】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，就得到图中的空间直角坐标系。 于是A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)。 M是PB的中点，它的每个坐标都是P，B对应坐标的平均数，所以M(1，0，2)。 （1）＝(1－0，0－2，2－0)＝(1，－2，2)，它就是直线CM的一个方向向量。 （2）＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，＝(0－2，0－0，4－0)＝(－2，0，4)，它们不共线且都在平面PBC内。 设＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y＝0，所以y＝x。 又·＝0，即－2x＋4z＝0，取z＝1，则－2x＋4＝0，解得x＝2，从而y＝2。 所以＝(2，2，1)是平面PBC的一个法向量。 【方法小结】列方程组时优先挑分量里含0最多的那个向量，像＝(－2，2，0)这样的向量能一步定出两个分量的关系，剩下的方程就只剩一个未知数了。 题型9　变式：由方向向量与法向量判断位置关系 第1题由数量积为0反读位置关系，第2题由法向量定参数，第3题在直三棱柱里求一个侧面的法向量。 变式1　若＝(1，－2，1)是直线l的一个方向向量，＝(2，1，0)是平面α的一个法向量，那么直线l与平面α（　　）。 A．直线l⊥α B．直线l∥α或直线l在平面α内 C．直线l与平面α斜交 D．条件不足，无法判断 变式2　已知平面α经过点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，若＝(6，3，λ)是平面α的一个法向量，则λ＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，两条直角边AC，BC与侧棱CC₁的长都等于2，∠ACB＝90°，M为棱AB的中点，坐标系Cxyz如图所示，求平面MCC₁的一个法向量。 【题型10】用空间向量研究空间中的平行 证线面平行，先求出平面的法向量，再验证直线的方向向量与它数量积为零，最后补一句“直线不在平面内”；证面面平行，只要两个平面的法向量成倍数关系，再指出两个平面不重合。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱BB₁上且BE＝EB₁，点F在棱DD₁上且DF＝FD₁。（1）求证：EF∥平面A₁BD，（2）求证：平面A₁BD∥平面CB₁D₁。 【分析】两问都先求法向量。第（1）问验证方向向量与法向量垂直并说明直线在平面外；第（2）问比较两个平面的法向量是否成倍数。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由棱长为2得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A₁(2，0，2)，B₁(2，2，2)，D₁(0，0，2)。 E是BB₁的中点，所以E(2，2，1)；F是DD₁的中点，所以F(0，0，1)。 （1）＝(0－2，0－2，1－1)＝(－2，－2，0)。 在平面A₁BD内取＝(2，2，0)与＝(2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得2x＋2z＝0。 取x＝1，则y＝－1，z＝－1，即＝(1，－1，－1)。 于是·＝(－2)×1＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＝0，所以与垂直。 又·＝(1，－1，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，说明点F不在平面A₁BD内，从而直线EF不在平面A₁BD内。 所以EF∥平面A₁BD。 （2）在平面CB₁D₁内取＝(2，0，2)与＝(0，－2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面CB₁D₁的一个法向量，由·＝0得2x＋2z＝0，由·＝0得－2y＋2z＝0。 取x＝1，则z＝－1，y＝－1，即＝(1，－1，－1)。 所以＝，两个平面的法向量平行。 又·＝(1，－1，－1)·(0，2，0)＝－2≠0，说明点C不在平面A₁BD内，两个平面不重合。 所以平面A₁BD∥平面CB₁D₁。 【方法小结】线面平行与面面平行的向量证明都有一个容易被忽略的收尾：必须排除“直线落在平面内”和“两个平面重合”。排除的办法是取平面外的一个点，验证它与平面内一点连成的向量与法向量的数量积不为零。 例2　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的每条棱长都是2，上底面的两条棱C₁D₁，A₁D₁的中点依次记为E，F，侧棱DD₁的中点记为G。（1）求证：EF∥AC，（2）求证：平面EFG∥平面ACB₁。 【分析】第（1）问把两条线段化成向量，看它们是不是成倍数；第（2）问分别求两个平面的法向量再比较。 【解答】取D作原点，让三条棱DA，DC，DD₁分别落在x轴、y轴、z轴上，建系如图。 各顶点的坐标依次是D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，2)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)，B₁(2，2，2)。 E是C₁D₁的中点，所以E(0，1，2)；F是A₁D₁的中点，所以F(1，0，2)；G是DD₁的中点，所以G(0，0，1)。 （1）＝(1－0，0－1，2－2)＝(1，－1，0)，＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)。 所以＝－2，两个向量共线。 又点E的横坐标为0而直线AC上的点都满足x＋y＝2，把E的坐标代入得0＋1＝1≠2，说明点E不在直线AC上。 所以EF∥AC。 （2）在平面EFG内取＝(－1，1，0)与＝(－1，0，－1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，由·＝0得－x＋y＝0，由·＝0得－x－z＝0。 取x＝1，则y＝1，z＝－1，即＝(1，1，－1)。 在平面ACB₁内取＝(－2，2，0)与＝(0，2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ACB₁的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得2y＋2z＝0。 取x＝1，则y＝1，z＝－1，即＝(1，1，－1)，于是＝。 又·＝(1，1，－1)·(2，0，－1)＝1×2＋1×0＋(－1)×(－1)＝3≠0，说明点A不在平面EFG内，两个平面不重合。 所以平面EFG∥平面ACB₁。 【方法小结】证两条直线平行时，除了向量共线，还要说明它们不在同一条直线上；这一步用“把点的坐标代入直线所满足的关系式”来完成最省事。 题型10　变式：由法向量判断平行、由平行定参数 第1题直接比较两个法向量，第2题由线面平行反求参数，第3题是一道完整的线面平行证明。 变式1　已知平面α的一个法向量是＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量是＝(－2，－4，4)，则平面α与平面β的位置关系是（　　）。 A．相交但不垂直　　B．垂直　　C．异面　　D．平行或重合 变式2　若直线l在平面α外，且直线l∥α，其中＝(2，t，1)是直线l的一个方向向量，＝(1，－1，3)是平面α的一个法向量，则t＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是棱AA₁的中点，求证：D₁F∥平面BDE。 【题型11】用空间向量研究空间中的垂直 线线垂直看两个方向向量的数量积，线面垂直看方向向量与法向量是否平行，面面垂直看两个法向量的数量积。三种垂直对应三个不同的判据，做题前先认清要证哪一种。 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD＝2，E是棱PC的中点。（1）求证：DE⊥平面PBC，（2）求证：平面PAC⊥平面PBD，（3）判断直线AC与平面PBD是否垂直，并写出判断的依据。 【分析】前两问要证线面垂直与面面垂直，办法分别是说明直线的方向向量就是平面的一个法向量、说明两个平面的法向量数量积为0；第（3）问把这两条判据再用一次。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系。 于是D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)。 E是PC的中点，所以E(0，1，1)，于是＝(0，1，1)。 （1）在平面PBC内取＝(2，0，0)与＝(0，－2，2)，它们不共线。 因为·＝0×2＋1×0＋1×0＝0，·＝0×0＋1×(－2)＋1×2＝0， 所以与平面PBC内两条相交直线的方向向量都垂直，从而是平面PBC的一个法向量。 所以DE⊥平面PBC。 （2）在平面PAC内取＝(－2，2，0)与＝(－2，0，2)，设＝(x，y，z)是它的一个法向量。 由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0，取x＝1得＝(1，1，1)。 在平面PBD内取＝(2，2，0)与＝(0，0，2)，设＝(x，y，z)是它的一个法向量。 由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得2x＋2y＝0，取x＝1得＝(1，－1，0)。 所以·＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0。 所以两个平面的法向量互相垂直，即平面PAC⊥平面PBD。 （3）由（2）知＝(1，－1，0)是平面PBD的一个法向量，而＝(－2，2，0)＝－2。 与平面PBD的法向量共线，由“直线与平面垂直⇔直线的方向向量与平面的法向量平行”知AC⊥平面PBD。 【方法小结】证线面垂直有两条路：一是求出平面的法向量再说明它与直线的方向向量平行；二是直接验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直。第二条路省去解方程组，遇到能一眼看出平面内两个简单向量的题型更快。 例2　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的两条直角边AC＝BC＝1，侧棱AA₁＝2，∠ACB是直角，M是上底面三角形A₁B₁C₁中棱A₁B₁的中点。（1）求证：CM⊥A₁B₁，（2）求证：平面CMC₁⊥平面ABB₁A₁。 【分析】直三棱柱在C处有现成的三条两两垂直的棱，建系后两问都化成数量积的计算。 【解答】因为CA，CB，CC₁两两垂直，所以可以C为原点、这三条棱所在直线为坐标轴建系。 六个顶点的坐标是C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C₁(0，0，2)，A₁(1，0，2)，B₁(0，1，2)。 M是A₁B₁的中点，所以M(，，2)。 （1）＝(，，2)，＝(0－1，1－0，2－2)＝(－1，1，0)。 所以·＝()×(－1)＋()×1＋2×0＝－＋＋0＝0。 所以CM⊥A₁B₁。 （2）在平面CMC₁内取＝(，，2)与＝(0，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得()x＋()y＝0，取x＝1得＝(1，－1，0)。 在平面ABB₁A₁内取＝(－1，1，0)与＝(0，0，2)，设＝(x，y，z)。 由·＝0得2z＝0，所以z＝0；由·＝0得－x＋y＝0，取x＝1得＝(1，1，0)。 所以·＝1×1＋(－1)×1＋0×0＝0，两个平面的法向量互相垂直。 所以平面CMC₁⊥平面ABB₁A₁。 【方法小结】法向量里出现分数时不必急着通分，因为法向量可以整体乘一个非零数；不过写最终答案时取整数分量更便于后面的数量积计算。 题型11　变式：三种垂直的向量判据 第1题判定两条直线垂直，第2题由面面垂直定参数，第3题证明体对角线垂直于一个截面。 变式1　已知直线l₁的一个方向向量是＝(1，2，－1)，直线l₂的一个方向向量是＝(－2，1，0)，则直线l₁与直线l₂（　　）。 A．平行　　B．相交但不垂直　　C．垂直　　D．一定异面 变式2　已知平面α的一个法向量是＝(1，λ，2)，平面β的一个法向量是＝(2，－1，1)，若α⊥β，则λ＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，试用坐标法证明：体对角线DB₁与平面ACD₁互相垂直。 【题型12】空间中的距离问题 点到直线的距离用勾股定理的向量版本，关键是先把方向向量单位化；点到平面的距离用投影向量的长度，关键是分子加绝对值。线面距、面面距都先转化成点到平面的距离。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱BC上且BE＝EC，坐标系Dxyz如图所示。（1）求点D₁到直线AE的距离，（2）求顶点C₁与平面A₁BD之间的距离。 【分析】第（1）问套点到直线的距离公式，先把直线AE的方向向量化成单位向量；第（2）问先求平面A₁BD的法向量，再用投影长度公式。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由棱长为2可以读出D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，2)，A₁(2，0，2)，C₁(0，2，2)。 E是BC的中点，所以E(1，2，0)。 （1）＝(1－2，2－0，0－0)＝(－1，2，0)，所以||＝＝。 于是直线AE的单位方向向量＝()·(－1，2，0)。 记＝＝(0－2，0－0，2－0)＝(－2，0，2)，则||²＝4＋0＋4＝8。 又·＝(－2)×(－1)＋0×2＋2×0＝2，所以·＝＝。 由点到直线的距离公式得d＝＝＝。 （2）在平面A₁BD内取＝(2，2，0)与＝(2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A₁BD的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得2x＋2z＝0。 取x＝1，得＝(1，－1，－1)，||＝。 又＝(0，2，2)，所以·＝0×1＋2×(－1)＋2×(－1)＝－4。 由点到平面的距离公式得d＝＝＝。 【方法小结】点到直线的距离里出现的必须是单位向量，忘了单位化就会把(·)²算大，得数偏小甚至出现被开方数为负。养成“先写||，再写”的顺序，可以把这个坑堵死。 例2　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，它的对角线AC与BD交于点O，AB＝2，侧棱PD垂直于平面ABCD，且PD＝2。（1）求点O到平面PAB的距离，（2）求点C与直线PA之间的距离。 【分析】两问分别用点到平面、点到直线的距离公式。先由“对角线的交点”定出O的坐标，再套公式；求点到平面的距离时，平面内的定点可以任意选。 【解答】取D作原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图。 各点的坐标为D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)。 （1）在平面PAB内取＝(0，2，0)与＝(－2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－2x＋2z＝0。 取z＝1，得＝(1，0，1)，||＝。 因为O是正方形ABCD对角线的交点，所以它是正方形的中心，坐标为O(1，1，0)。 取平面PAB内的定点A，则＝(1－2，1－0，0－0)＝(－1，1，0)，·＝(－1)×1＋1×0＋0×1＝－1。 所以点O到平面PAB的距离d＝＝＝。 （2）＝(－2，0，2)，||＝＝2，所以直线PA的单位方向向量＝()·(－2，0，2)。 记＝＝(0－2，2－0，0－0)＝(－2，2，0)，则||²＝4＋4＋0＝8。 又·＝(－2)×(－2)＋2×0＋0×2＝4，所以·＝＝。 由点到直线的距离公式得d＝＝。 【方法小结】点到平面的距离公式里，平面内的那个定点是可以随意挑的，挑与待求点连线坐标最简单的一个，能把数量积的计算量压到最低。 题型12　变式：点到平面与点到直线的距离计算 第1题练点到平面的距离，第2题练点到直线的距离，第3题把两个平行平面之间的距离化成点到平面的距离。 变式1　已知平面α的一个法向量是＝(2，－1，2)，点A(1，0，1)在平面α内，点P(3，1，2)在平面α外，则点P到平面α的距离是＿＿＿＿＿＿。 变式2　已知空间中的三个点A(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，1)，求点P到直线AB的距离。 变式3　如图，一个正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，已知它的平面A₁BD与平面CB₁D₁互相平行，求这两个平面之间的距离。 【题型13】空间中的角度问题 三种角对应三个公式：异面直线所成角用两个方向向量，线面角用方向向量与法向量且取正弦，两个平面的夹角用两个法向量。三个公式都要加绝对值，因为这三种角都不超过90°。 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD且PD＝2，点E为棱PC的中点。（1）求异面直线BE与PA所成角的余弦值，（2）求平面PAB与平面PCD的夹角。 【分析】第（1）问用两条直线的方向向量算夹角，最后取绝对值；第（2）问先求两个侧面的法向量，其中平面PCD恰好是一张坐标平面，它的法向量可以直接读出。 【解答】以D为原点，射线DA，DC，DP依次为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 在这个坐标系里D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)。 （1）＝(0－2，1－2，1－0)＝(－2，－1，1)，所以||＝＝。 又＝(2－0，0－0，0－2)＝(2，0，－2)，所以||＝＝2。 于是·＝(－2)×2＋(－1)×0＋1×(－2)＝－6。 设异面直线BE与PA所成的角为θ，则cosθ＝＝。 （2）在平面PAB内取＝(0，2，0)与＝(－2，0，2)，设＝(x，y，z)。 由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－2x＋2z＝0，取z＝1得＝(1，0，1)，||＝。 平面PCD经过D(0，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，这三点的横坐标都是0，所以平面PCD就是坐标平面Oyz。 因此x轴与平面PCD垂直，＝(1，0，0)是平面PCD的一个法向量，||＝1。 所以·＝1×1＋0×0＋1×0＝1。 设平面PAB与平面PCD的夹角为φ，则cosφ＝＝＝。 而0°≤φ≤90°，所以φ＝45°。 【方法小结】若某个平面恰好是一张坐标平面（本题中平面PCD上的点横坐标全为0），它的法向量就是对应坐标轴的方向向量，可以直接写出而不必解方程组。异面直线所成的角与两个平面的夹角都不超过90°，算出的余弦值一律取绝对值。 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，四条侧棱的长都相等，顶点P到底面的距离等于2，底面正方形的中心记为O。（1）求侧棱PA与底面ABCD所成角的正弦值，（2）求侧面PAB与侧面PBC的夹角的余弦值。 【分析】四条侧棱等长，说明顶点在底面上的射影到四个顶点的距离相等，于是这个射影就是正方形的中心O，PO与底面垂直。把原点取在O，让两条坐标轴分别与底面的两组对边平行，计算最省力。 【解答】以O为原点，过O且与AB平行的直线为x轴、与BC平行的直线为y轴、OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。 因为底面正方形的边长为2，中心到每条边的距离都是1，所以A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，1，0)，D(－1，1，0)，P(0，0，2)。 （1）＝(－1－0，－1－0，0－2)＝(－1，－1，－2)，所以||＝＝。 因为PO⊥底面ABCD，所以＝(0，0，1)是底面的一个法向量，||＝1。 又·＝－2，设直线PA与底面所成的角为θ，则sinθ＝＝＝。 （2）在侧面PAB内取＝(1－(－1)，－1－(－1)，0－0)＝(2，0，0)与＝(0－(－1)，0－(－1)，2－0)＝(1，1，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2x＝0，所以x＝0；由·＝0得y＋2z＝0，取z＝1得＝(0，－2，1)，||＝。 在侧面PBC内取＝(1－1，1－(－1)，0－0)＝(0，2，0)与＝(0－1，0－(－1)，2－0)＝(－1，1，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)，由·＝0得2y＝0，所以y＝0；由·＝0得－x＋2z＝0，取z＝1得＝(2，0，1)，||＝。 所以·＝0×2＋(－2)×0＋1×1＝1。 设侧面PAB与侧面PBC的夹角为φ，则cosφ＝＝。 【方法小结】“四条侧棱等长”与“顶点的射影是底面中心”是同一件事的两种说法，遇到它就把原点放在中心、让坐标轴与底面的对称轴重合，这样四个底面顶点的坐标只差正负号，写起来最快。 题型13　变式：三种角的公式辨析 第1题练线面角的正弦，第2题练两个平面的夹角，第3题在正方体里把线面角与异面直线角放在一起比较。 变式1　已知＝(0，1，0)是平面α的一个法向量，＝(2，2，1)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α所成角的正弦值是＿＿＿＿＿＿。 变式2　两个相交平面α，β的法向量分别是＝(1，0，－1)与＝(0，1，1)，则α与β的夹角的余弦值是（　　）。 A．－　　B．　　C．　　D． 变式3　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是侧棱CC₁的中点，以D为原点、以DA，DC，DD₁所在直线为坐标轴建系。（1）求A₁E与平面ABCD所成角的正切值，（2）求异面直线A₁E与AC所成角的余弦值。 　易错专练 下面七题分别踩在本章最容易翻船的七个地方：把共线向量直接读成平行直线、用共线条件时漏掉非零前提、拿三个共面的向量当基底、求异面直线所成角忘记取绝对值、把线面角的正弦当成余弦、求点到直线的距离忘记把方向向量单位化、求法向量时拿两个共线的向量列方程。每题都给了一段真实的错解，先自己判断它错在哪一步，再看解析里的错因分析与正解。 易错1　已知A，B，C，D是空间中四个不同的点，有同学由“＝2”直接断定直线AB与直线CD平行。写出由这个条件能够得到的正确结论，并指出原推理漏掉了哪一种情形。 易错2　有同学写道：“对任意两个空间向量，，若∥，则一定存在实数λ，使＝λ。”判断这句话是否正确；若不正确，写出使结论成立所需要补充的条件。 易错3　已知{，，}是空间的一个基底，有同学断定{＋，－，2}也是空间的一个基底。指出这个断定错在哪里，并判断{＋，－，}能否构成空间的一个基底。 易错4　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长是1，有同学算得cos〈，〉＝－，于是写下“异面直线A₁B与AD₁所成的角是120°”。改正这个结论。 易错5　已知直线l的一个方向向量是＝(1，1，0)，平面α的一个法向量是＝(0，1，1)。有同学算出＝，随即写下“直线l与平面α所成的角是60°”。改正这个结论。 易错6　已知点A(1，0，0)在直线l上，＝(0，1，1)是直线l的一个方向向量，点P(1，2，0)在直线l外。有同学记＝，直接把当作单位向量代入公式算得距离为0。改正这个结果。 易错7　在空间直角坐标系Oxyz中，平面α经过A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)三点。有同学设＝(x，y，z)，由·＝0与·＝0列出方程组，发现解有无穷多组，于是认为法向量求不出来。指出这个做法的问题，并求出平面α的一个法向量。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题的难度与教材正文、练习齐平，用来确认基本功是否过关。前五题只需在括号里填字母；第6至9题把结果写在横线上，点的坐标写成(a，b，c)的样子，出现根号时化到最简；最后三题要求留下完整的推演痕迹，每用到一个公式就在旁边注明它的名字。 1．已知空间向量满足||＝5，则|－3|＝（　　）。 A．－15　　B．5　　C．8　　D．15 2．已知空间向量＝(1，－1，2)，＝(2，－2，4)，则与的位置关系是（　　）。 A．平行　　B．垂直　　C．既不平行也不垂直　　D．无法确定 3．已知空间向量，满足||＝2，||＝2，且〈，〉＝60°，则·＝（　　）。 A．1　　B．2　　C．4　　D．2 4．已知空间向量＝(1，0，－2)，＝(－2，1，0)，则＋等于（　　）。 A．(－1，1，－2) B．(3，－1，－2) C．(－1，1，2) D．(－2，0，0) 5．已知平面α∥平面β，且＝(1，2，2)是平面α的一个法向量，则下列向量中可以作为平面β的法向量的是（　　）。 A．(1，－2，2) B．(2，4，4) C．(2，1，2) D．(0，1，1) 6．在四面体OABC中，＋＋＝向量＿＿＿＿＿＿。 7．已知空间向量＝(2，1，－2)，则||＝＿＿＿＿＿＿。 8．已知空间向量，满足||＝1，||＝3，且·＝0，则|＋|＝＿＿＿＿＿＿。 9．已知点A(1，－2，2)，则点A到坐标平面Oxy的距离是＿＿＿＿＿＿。 10．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，设＝，＝，＝，用，，表示，并求BD₁的长。 11．已知空间向量＝(1，2，－1)，＝(2，－1，3)。（1）求3－的坐标，（2）求与夹角的余弦值。 12．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，点E是棱AB的中点，点F是棱DD₁的中点，坐标系Dxyz如图所示，求直线D₁E与A₁F夹角的余弦值。 　课后作业（二）能力提升 这一组九道题把本章的公式放到含字母、含条件的环境里使用。选择题三道，每一道都要把“方向向量与法向量分别管什么”想清楚；填空题三道，出现根号的答案要化到最简；解答题三道，要求写出建系、求法向量与代入公式的完整过程。 1．如图，正四面体ABCD的棱长为2，则·等于（　　）。 A．－2　　B．0　　C．2　　D．4 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知三点A(1，1，0)，B(0，1，1)，C(1，0，1)，则点A到直线BC的距离是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 3．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝1，则异面直线AB₁与BC所成角的余弦值是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 4．若＝2－＋3，＝＋s＋t，其中{，，}是空间的一个基底，且与共线，则s＋t＝＿＿＿＿＿＿。 5．已知空间向量＝(1，1，0)，＝(0，1，1)。若向量t＋与向量＋互相垂直，则实数t＝＿＿＿＿＿＿。 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱BB₁的中点，则点E到平面ACD₁的距离是＿＿＿＿＿＿。 7．如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝2，AA₁＝4，点E在棱CC₁上，且CE＝EC₁。（1）求异面直线B₁E与AD所成角的余弦值，（2）求点C到平面B₁DE的距离。 8．如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，侧棱CC₁＝4，点D是棱CC₁的中点。（1）求点C与平面ABD之间的距离，（2）求平面ABD与底面ABC的夹角的余弦值。 9．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)。（1）求证：△ABC是等边三角形，（2）求平面ABC的一个法向量。 　课后作业（三）拓展探究 这一组三道题在教材习题的基础上再加一层——含参数的分点、探索存在性、由角度反求参数，题号前都标出“拓展”二字，供学有余力的同学选做。解题的关键仍然是用空间向量解决立体几何问题的三步曲：把几何元素翻译成向量，做向量运算，再把结果翻译回几何结论。 1．（拓展）在空间四边形OABC中，点M在边OA上且OM＝2MA，点N是BC的中点。若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝＿＿＿＿＿＿。 2．（拓展）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱AB的中点，点P在棱CC₁上，证明这样的点P存在，使得EP⊥A₁B，并求出CP的长。 3．（拓展）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，点M在棱PA上且＝λ（0＜λ＜1），若直线DM与平面ABCD所成的角是45°，求λ的值。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $