第三章 函数的概念与性质 单元检测卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 2．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 3．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由是偶函数，可得，令，从而可得，则有函数关于直线对称，再根据是奇函数，可得，且关于对称，从而可得，即可得出函数的周期性，再根据函数的周期性和对称性逐一分析，即可得出答案. 【详解】解：因为是偶函数，所以， 令，则，故， 所以，即， 所以函数关于直线对称， 因为是奇函数，所以，且函数关于对称， 又因函数是由函数向右平移1个单位得到， 所以关于对称，所以，所以， 所以，则， 即，所以函数的一个周期为， 故有，故①正确； 由函数关于直线对称，，所以， 所以，故②正确； 因为， 因为关于对称，所以， 所以，故③正确； 又，故④正确， 所以正确的个数为4个. 故选：D. 4．在科技、经济以及社会生活中经常需要用到无理数，并且在数学中也起着举足轻重的作用，它的值约等于2.71828 ，若命题“，使得成立”是假命题，则实数的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原命题的否定为真命题将问题转化为恒成立问题，结合指数函数单调性和值域可求得，由此可得的取值范围，进而确定可能的取值. 【详解】因为原命题为假命题，则其否定：“，恒成立”为真命题； 当时，，所以， ，. 则实数可能的值为，，. 5．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 二、多选题 6．下列选项正确的是（   ） A．命题“”否定是“”． B．若函数在定义域上为奇函数，则． C．函数的最小值为6 D．函数与是相同的函数． 【答案】BD 【分析】由命题否定定义判断A选项，由奇函数的定义列出等式求出的值即可判断B选项，由基本不等式判断C选项，由函数的定义判断D选项. 【详解】A选项，命题“”否定是“”．故A选项错误. B选项，若函数定义域为，则，即.当时，，，函数为奇函数，∴. 若函数定义域为，则，.当时，，，函数为奇函数，∴. ∴，B选项正确. C选项，，当且仅当，即时取等号，而方程无解，故函数取不到最小值6，C选项错误. D选项，由，即，且， 由，即， 故与的定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数，D选项正确. 故选：BD. 7．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 8．设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用初等函数的性质，求得函数的单调性和值域，画出函数的图像，设，得到，求得，结合换元法和函数的单调性，求得函数的值域，即可求解. 【详解】当时，，可得在上单调递减，且值域为， 当时，， 若，可得，此时在上单调递减，且值域为， 若，可得，此时在上单调递增，且值域为， 画出函数的图像，如图所示， 设，则，其中，，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 所以， 令，则且，代入可得， 因为在上为单调递增函数， 当时，，当时，，所以， 所以，结合选项，可得，即B、C、D选项符合题意. 三、填空题 9．函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 10．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 【答案】2 【解析】化简得到，根据和得到，解得答案. 【详解】，则，则， 即，，故， ，即，即， . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键. 11．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ，在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 四、解答题 12．已知二次函数满足，且图象经过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用待定系数法，设，由过得，再展开，与比较系数，得方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）由，开口向上，对称轴，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类，分别求最小值并列方程，得的取值. 【详解】（1）设 因为的图象过点，所以，故， ， 又， 由得， 消去，整理得， 该式对任意成立，所以，解得，故 （2）已知， 这是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当时，即当时， 此时在上单调递增，则，解得，符合题意； ②当时，即当时，则， 解得或，均不符合题意，舍去； ③当时，即当时， 此时在上单调递减，则，解得，符合题意. 综上，或. 13．材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： (1)判断在上的单调性； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上递减，在上递增 (2)单调递减区间是，单调递增区间是；值域为 (3) 【分析】（1）由材料一可得出函数的单调性； （2）化简得出，设，，则，利用复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，由此可得出函数的值域； （3）分析可知在上的值域是在上的值域的子集，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出该函数的值域，即可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由材料一可知在上递减，在上递增. （2）， 设，，则，且在上单调递增， 则函数可转化为，， 由材料信息得，当，单调递减，即时，单调递减； 当，单调递增，即时，单调递增. 所以的单调递减区间是，单调递增区间是, 由，，，得的值域为. （3）因为，， ， 由题意，在上的值域是在上的值域的子集， ①当时，函数在上单调递增， 所以，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得； ②当时，函数在上单调递减， 所以，， 由题意可得，解得； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 当时，函数在上的值域为， 所以，无解； 当时，函数在上的值域为， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. （附加题）14．已知函数在定义域上的最大值为． (1)求的值与函数解析式． (2)设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2， (2)（i）若，即在区间上单调递增； 若，在区间上单调递减，上单调递增； 若，在区间上单调递减． （ii）若“对区间上任意三个数， 都存在以为边长的三角形”等价于对，只需． 当时，在区间上单调递减， 只需， 即，解得， 故，所以的取值范围是． 【分析】（1）利用对勾函数的单调性分类求出的最值，进而得到的值，再代入到中即可； （2）（i）利用对勾函数的单调性与复合函数的单调性法则分类讨论可得的单调性， （ii）换元，令，原题可转化为，利用的单调性求出的最值即可. 【详解】（1）， 若在区间上单调递减，（舍去）； 若，则在区间上单调递增，， 解得． 综上，的值为2． 由上知，则， 函数． （2）（i）由（1）知在区间上单调递增， 则，即． 设，则， 利用对勾函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，分类讨论： ①若在区间上单调递增， 即在区间上单调递增； ②若在区间上单调递减，上单调递增， 即在区间上单调递减，上单调递增； ③若在区间上单调递减， 即在区间上单调递减． （ii）略 试卷第10页（共13页） 试卷第11页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 4．在科技、经济以及社会生活中经常需要用到无理数，并且在数学中也起着举足轻重的作用，它的值约等于2.71828 ，若命题“，使得成立”是假命题，则实数的值不可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 6．下列选项正确的是（   ） A．命题“”否定是“”． B．若函数在定义域上为奇函数，则． C．函数的最小值为6 D．函数与是相同的函数． 7．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 8．设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的值域为________. 10．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 11．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 12．已知二次函数满足，且图象经过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 13．材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： (1)判断在上的单调性； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. （附加题）14．已知函数在定义域上的最大值． (1)求的值与函数解析式． (2)设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第2页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $