内蒙古赤峰二中2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

赤峰二中2024级高三第二次月考 数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 3．“函数的图象关于原点对称”是“，”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．9 B． C． D．13 5．设，，，则有（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 7．下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A． B． C． D． 8．函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的面积为 C． D． 10．已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（ ） A． B． C．，的夹角为钝角 D．的最大值为2 11．已知函数，点在函数的图象上，且，的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A． B．的单调递减区间是， C．将的图象向右移动个单位长度后，所得到的图象关于轴对称 D．若在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是 三、填空题 12．已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则__________． 13．已知函数，则在上单调递减的区间为__________． 14．若不等式（，）对任意的恒成立，则的最大值为__________． 四、解答题 15．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）求与时间（单位：s）之间函数关系． （2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象． 17．已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同 （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用表示摸出的4个球中白球的个数，求的分布列和数学期望； （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球，计算在乙盒中摸出的是黑球的概率． 18．已知椭圆的离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值． 19．已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中第二次月考数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D B B ABD ABD 题号 11 答案 AB 12． 13． 14．/ 1． D 因为，， 所以. 2． B ，所以. 3．B 函数的图象关于原点对称，函数为奇函数； 当时，，即，解得. 当为偶数时，令，则； 当为奇数时，令，则； 函数的图象关于原点对称时，不一定等于， 则“函数的图象关于原点对称”不能推出“”，充分性不成立. 当，则； ， 函数是奇函数，其图象关于原点对称； “”可以推出“函数的图象关于原点对称”，则必要性成立. 综上，“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件. 4． B 已知正实数满足，由于，，等式两边同时除以， 化简得， 通过“1”的代换得. 由于，因此，当且仅当即时等号成立. 将代入，解得，满足正实数条件， 因此的最小值为. 5． B 由； 由，因为， 所以，故； 再由，所以, 所以，即. 6． D 根据，得， 所以， 所以. 7．B 对于A，函数的定义域为，由于， 所以函数为偶函数，不满足题意，故A不正确； 对于B，函数，由，得定义域为R， 而，则为奇函数， 令，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 根据复合函数单调性可得在上单调递减， 由于为奇函数，所以在上单调递减， 因为在上为连续函数，任取，都有 所以在上单调递减，故是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的，故B正确； 对于C，函数定义域为R，，即函数是奇函数， 又和是上的增函数，因此是增函数， 所以函数图像上任意两点的直线斜率均为正，故C不正确 对于D，函数的定义域为，，即函数是奇函数， 由于，所以不满足函数图像上任意两点的直线斜率均为负，故D选项错误. 8．B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 9．ABD 对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，，D正确. 10．ABD 对于A，，故正确； 对于B， 所以，即，故正确; 对于C， 因为，，故与夹角为锐角，不是钝角，故错误; 对于D，因为，开口向下，对称轴， 所以,故正确. 11．AB 选项A：将代入得，即，又，所以. 因为是函数的最大值，的最小值为， 所以最小正周期，则，A正确； 因此. 选项B：余弦函数的单调递减区间为， 令，则，解得，B正确； 选项C：向右平移个单位后得函数， 是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 选项D：极值点满足，即. 时的极值点依次为，恰有3个极值点则，D错误. 12． 角终边过，P到坐标原点的距离为， 故，，， 又，，， 原式. 13． 由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 14．/ 设，则对任意的恒成立， ，若，则，所以在单调递增， 当时，，不合题意； 所以，令得，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，所以， 设，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 所以，即的最大值为，此时. 15． 【详解】（1）由余弦定理可得：，………………………………2分 即，………………………………………………………………………………………3分 ………………………………………………………………………………4分 ；…………………………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理可得：，……………………………………………………………………8分 则，…………………………………………………………………………………10分 解得………………………………………………………………………………………………11分 …………………………………………………………………13分 16． 【详解】（1）由题意， 所以，，………………………………………2分 因为逆时针方向每分转2圈，所以,…………………………………………………………3分 因为时，，所以，即，…………………………………………………4分 又，所以，…………………………………………………………………………………5分 所以；……………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，……………………………………………………………………………………8分 列表如下……………………………………………………………………………………………………13分 x 0 0 0 描点连线，图象如图.…………………………………………………………………………………………15分 17．（1）依题意，随机变量的所有可能取值为，根据古典概型概率公式计算各取值概率：………………………………………………………………………………………………………………1分 ，，，， ，……………………………………………………………………………………6分 的分布列为：…………………………………………………………………………………………………7分 0 1 2 3 4 数学期望；……………………………………………8分 （2）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”， “从甲盒中摸出2个黑球”，“从乙盒中摸出1个黑球”， 显然两两互斥，且（样本空间），……………………………………………9分 ，，， ………………………………………………11分 条件概率：，，，……………………………13分 由全概率公式可得 .……………15分 18．（1）由离心率，得， 所以，即，…………………………………………………………………………2分 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得， 从而， 所以椭圆 的标准方程为.………………………………………………………………………4分 （2）（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ，………………………5分 根据韦达定理，………………………………………………………………7分 直线的斜率分别为， 因为， 所以，…………………………9分 分子为，所以为定值；……………………………10分 （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为，………………………………………12分 ，……………………………………………………13分 令，则，，，………………………14分 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号，……………………………15分 此时， 所以面积的最大值为………………………………………………………………………………17分 19． （1）当时，函数，求导得，…………………………1分 当时，，函数在区间上单调递减，……………………………………………2分 所以在区间上的最大值为.………………………………………………………3分 （2）不等式，令，求导得，令函数， 求导得，……………………………………………………………………4分 ①当时，， ，函数在区间上单调递减， 因此，即恒成立，符合题意；………………………………………………………6分 ②当时，，则，函数在区间上单调递减， 又，，因此存在唯一的，使得. 当时，，单调递增，则，不符合题意，…………………………8分 所以的取值范围为.…………………………………………………………………………………9分 （3）存在且，理由如下，………………………………………………………………………10分 一方面：由（2）知，求导得， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，，因此存在唯一的，使得；…………………12分 另一方面：当时，令， ， 令，，则，…………………………………………………13分 求导得，显然， 因此存在唯一的，使得，……………………………………………14分 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，则， 于是存在唯一的，使得，……………………………………16分 此时，所以.…………………………………………………………………17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $