5.2.2二次函数的图象 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第五章 二次函数 5.2.2二次函数y=ax2和y=ax2+c的图像和性质 学习目标 的图象，并能够比较它们 1.能作出二次函数 和 与 对二次函数图象的影响. 的图象的异同，理解 2.能说出二次函数 和 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. （2）描点. （3）连线. （1）列表. 问题1：画二次函数y=2x2的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x2 … … 18 8 2 0 2 8 18 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 新课讲解 1. 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 抛物线 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 2.二次函数y=2x2与y=x2有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 开口方向相同：向上 对称轴相同：y轴 顶点相同：原点 开口大小不同 开口方向：向上；对称轴：y轴；顶点坐标：（0，0） 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 开口方向、对称轴、顶点坐标相同，开口大小不同 二次函数 , y=x2 ,y=2x2的图象有什么相同和不同之处？ 当a>0时，a的值越大，开口越小. 问题2：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象如图所示，观察其开口大小与a的值有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a的值越小，开口越小. 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表： 函数 y＝ax2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x＝0) 左减 右增 当x＝0时， y最小值＝0 a＜0 向下 |a|越小， 开口越大 (0，0) y轴(直线x＝0) 左增 右减 当x＝0时， y最大值＝0 新课讲解 典例分析 例1 根据下列条件分别求a的取值或取值范围： (1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小， 当x＜0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－ x2的形状相同； (4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 当堂练习 1. 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　) D 2、当ab>0 时，y=ax2 与y=ax+b 的图象大致是下图 中的（ ） D 当堂练习 当堂练习 3、下列判断中正确的是（　　） A. 函数y=ax2的图象开口向上，函数y=-ax2的图象开口向下 B. 二次函数y=ax2，当x<0时，y随x的增大而增大 C. y=2x2与y=-2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同 D. 二次函数y=ax2与y=-ax2的图象关于x轴对称 D 4、如图，已知二次函数y=ax2与一次函数y=kx-2的图象相交于点A（-1，-1），B两点，y=kx-2的图象与y轴交于点G. （1）求a，k的值； （2）求点B的坐标； （3）求S△AOB. 问题3： 画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象，观察图象，看一看它们是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ (1)列表： x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y =2x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 (2)描点 (3)连线 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 y=2x2+1的图象是轴对称图形 开口：向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0,1） y=2x2-1的图象是轴对称图形 开口：向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0,-1） 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 结论： 抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （c＞0）或 （c＜0）平移 个单位. 向上 向下 |c| y=ax2+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴或直线x=0 y轴或直线x=0 （0,c） 当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. （0,c） 当堂小练 填表： 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 有最高（低）点 向下 向上 向下 y轴 y轴 y轴 有最高点 有最低点 有最高点 当堂练习 1、二次函数y＝5x2－3的图象开口向_______，顶点坐标为________，对称轴为____________．当x>0时，y随x的增大而________；当x<0时，y随x的增大而_________．因为a＝5>0，所以y有最______值，当x＝_____时，y的最______值是_________. 2、若关于x的二次函数y＝ax2＋a2的最大值为4，则a的值为 _____________． 上 (0，－3) y轴 增大 减小 小 0 小 －3 －2 3、 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取 值范围是____________． a＜2且a≠0 4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交 点的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 B 当堂练习 5、已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线y＝ax2＋k(a＞0)上，则(　　) A．y1＜y2＜y3　 B．y1＜y3＜y2 　 C．y3＜y2＜y1　 D．y2＜y1＜y3 分析：∵抛物线y＝ax2＋k(a＞0)关于y轴对称，且点(3，y2) 在抛物线上，∴点(－3，y2)也在抛物线上． ∵(－7，y1)，(－3，y2)，(－1，y3)三点都在对称轴左侧，在y轴左侧时，y随x的增大而减小，且－7＜－3＜－1， ∴y3＜y2＜y1. C 当堂练习 6、已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝4x2－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D 当堂练习 7、下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( ) A.y＝2x2与y＝3x2 B.y= x2+2与y=2x2+ C.y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2 D 当堂练习 8、(1)抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移_____个 单位得到． (2)抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2． (3)抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 (0，-5) 当堂练习 9、如图，抛物线y＝ax2＋1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B，C，则线段BC的长为_______． 当堂练习 10、 当堂练习 11、如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B. (1)求m的值和抛物线y＝ax2＋b(a≠0)的表达式； (2)抛物线上是否存在一点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 当堂练习 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c的图象及性质和关系 抛物线 y=ax2(a≠0) y= ax2 +c 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最值 关系 y=ax2向上（下）平移|c|个单位 a>0，开口向上， a＜0，开口向下 y轴 原点（0，0） a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 最大（小）值是0 最大（小）值是c （0，c） a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 THANKS 13．已知抛物线y＝ eq \f(1,4) x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为( eq \r(3) ，3)，P是抛物线y＝ eq \f(1,4) x2＋1上的一个动点，则△PMF周长的最小值是_______． $