5.1认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第五章 二次函数 1 二次函数 1、通过三个问题情境列函数关系式，在教师的引导下归纳总结二次函数的定义及表达式和注意事项； 2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会举出符合条件的二次函数的例子； 3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的值； 学习目标 新课导入 知识回顾 2.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.它的解由什么决定的？ 1.什么是一元二次方程？定义中注意点是什么？ ax２＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,a≠0) 只含有一个未知数 方程是整式方程 未知数的最高次数为2(化简后) 4. 条件a≠0 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 新课导入 知识回顾 函 数 变量之间的关系 一次函数y=kx+b (k≠0) 反比例函数 二次函数 正比例函数y=kx(k≠0) 新课导入 知识回顾 4. 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 一般地，形如（是常数，）的函数叫做一次函数.当时，一次函数就叫做正比例函数. 5. 一次函数与正比例函数 新课导入 情境导入 你观察过公园的拱桥吗？篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 新课讲解 知识点1 二次函数的定义 合作探究 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 新课讲解 (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有 棵橙子树；这时平均每棵树结 个橙子。 (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. 变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多少，每棵橙子树的结果量，果园橙子的总产量，每个橙子的质量等等。 （100+x） （600-5 x） y与x的关系式为： 化简为： 新课讲解 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100x²+200x+100 新课讲解 解：依题意得， 一年后的本息和为： 两年后本息和为 ： 所以，y 与x的关系式为： 化简为： 新课讲解 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100 y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？ 新课讲解 一般地,形如 的函数,叫做二次函数.其中,x是自量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 二次函数解析式特征 (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 (3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但 . 注意: (2) a,b,c为常数，且 (4) 自变量x的取值范围是 任意实数 整式 a≠0. 2 不能没有二次项 新课讲解 知识点2 二次函数的应用 例 典例分析 下列函数中，是二次函数的有哪些？ ① y=ax2+bx+c ② (x-3 ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(2x+3)²4x² 不一定是，缺少a≠0的条件 不是，等号右边是分式 不是，x的最高次数是3 不是，化简后为一次函数 新课讲解 判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：（1）解析式是关于自变量的整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）化简后二次项系数不为0. 除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 等. 新课讲解 （1）m取什么值时，此函数是一次函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由一次函数的定义可知， 解得 解得m=3. （2）由二次函数的定义可知， 练一练 当堂练习 1、下列是二次函数的是：____________ ②③④ 当堂练习 2、下列函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)y＝－0.9x2＋2x－3；　(2)y＝－2x2－7； (3)y＝－x2＋x；　(4)y＝(x＋1)(x－1)－x2. 当堂练习 3、当m＝______时，函数y＝(m2－4)xm2－m－4＋x＋3是y关于x的二次函数. 3 当堂练习 4、为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放了a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是( ) A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2 C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a 当堂练习 5、(教材P30“随堂练习”2变式)若一正方形的边长是4 cm，当它的边长增加x cm时，面积增加y cm2. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当边长增加了3 cm时，面积增加了多少？ (3)当面积增加了48 cm2时，边长增加了多少？ 当堂练习 6、(教材P31习题2.1T4变式)已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元(x为非负整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？这时每件商品的利润率是多少？ 当堂练习 课堂小结 二次函数 定 义 (是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 (是常数）. THANKS 解：(1)依题意，得y＝(30－20＋x)(180－10x)＝－10x2＋80x＋1 800(0≤x＜4，且x为整数) (2)当y＝－10x2＋80x＋1 800＝1 920时，解得x1＝2，x2＝6，∵0≤x＜4，且x为整数，∴x＝2，∴每件商品的售价为30＋2＝32(元)时，每个月的利润恰好是1 920元，这时每件商品的利润率是 eq \f(32－20,20) ×100%＝60% $