5.1认识二次函数（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 5.1 认识二次函数 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 二次函数定义 一般地，形如 $\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a\(b、c\)b\(b、c\)c$ 是常数，$\boldsymbol{a≠0}$）的函数叫做**二次函数**。 - $x$ 是自变量，$y$ 是因变量； - $ax^2$：二次项，$a$ 是**二次项系数**； - $bx$：一次项，$b$ 是**一次项系数**； - $c$：常数项。 > 注意：$\boldsymbol{a≠0}$ 是核心！如果$\(a=0\)$，式子变成$\(y=bx+c\)$，就是一次函数，不再是二次函数；$b\(b、c\)c$可以等于0。 ### 2. 二次函数常见特殊形式 1. $y=ax^2$（$\(\(b=0\),\(c=0\)\)$） 2. $y=ax^2+c$（$\(b=0\)$） 3. $y=ax^2+bx$（$\(c=0\)$） ### 3. 判断是不是二次函数的步骤 ① 整理成整式； ② 看自变量最高次数是否等于2； ③ 二次项系数 $a≠0$。 > 易错提醒 1. 必须是**整式**，分母含有$x$\(b、c\)根号内含$x$，都不是二次函数； 2. 最高次数必须恰好是2，不能高于2； 3. 题目求参数取值时，**千万不要漏掉 $a≠0$**。 ## 一\(b、c\)选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数属于二次函数的是（） A.$y=3x-1$ B.$y=3x^2+2x$ C.$y=\dfrac1{x^2}$ D.$\(y=2x+1\)$ 2. 二次函数 $y=2x^2-3x+1$ 的二次项系数是（） A.$2$ B.$-3$ C.$1$ D.$0$ 3. 若函数$y=(m-2)x^2+3x-1$是二次函数，则$m$满足（） A.$m≠0$ B.$m≠2$ C.$\(m=2\)$ D.$\(m>2\)$ 4. 下列不是二次函数的是（） A.$y=x^2$ B.$y=-2x^2+5$ C.$y=x(x-1)$ D.$y=\sqrt{x^2}+2$ 5. 函数$y=x^2-5$的一次项系数为（） A.$1$ B.$0$ C.$-5$ D.$5$ ## 二\(b、c\)填空题（每题4分，共20分） 1. 形如$y=ax^2+bx+c$（$\(a,b,c\)$为常数，______）的函数叫二次函数。 2. $y=-3x^2+4x-2$，二次项系数=____，一次项系数=____，常数项=____。 3. 函数$y=x^2-6x$，常数项是________。 4. 若$y=(k+1)x^{k^2+1}$是二次函数，则$\(k=\)$________。 5. $\(y=x(x+2)\)$化成标准形式是________。 ## 三\(b、c\)解答题（共60分） 1.（18分）判断下列式子是不是二次函数，并说明理由： （1）$y=5x^2$ （2）$y=2x-3$ （3）$y=\dfrac{2}{x^2}+1$ 2.（20分）已知二次函数$y=3x^2-5x+7$。 （1）写出二次项\(b、c\)一次项\(b、c\)常数项； （2）求当$\(x=2\)$时，函数$y$的值。 3.（22分）已知函数$y=(m-1)x^{m^2+1}+2x-3$是二次函数，求$m$的值。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：A\(b、c\)D是一次函数；C分母含$x$不是整式。 2.A 3.B 解析：二次项系数$m-2≠0 \Rightarrow m≠2$。 4.D 解析：D化简后是一次函数。 5.B 解析：没有一次项，一次项系数为0。 ### 填空题 1.$a≠0$ 2.$-3；4；-2$ 3.$0$ 4.$1$ 解析：$\begin{cases}k^2+1=2\\k+1≠0\end{cases}\Rightarrow k^2=1,k≠-1 \Rightarrow \(k=\)1$ 5.$y=x^2+2x$ ### 解答题 1.解： （1）是二次函数。整理为$y=5x^2+0x+0$，$a=5≠0$，自变量最高次数为2，整式。 （2）不是，自变量最高次数是1，属于一次函数。 （3）不是，分母含有$x$，不是整式。 2.解： （1）二次项：$3x^2$；一次项：$-5x$；常数项：$7$ （2）代入$\(x=2\)$ $y=3\times 2^2-5\times2+7=3\times4-10+7=12-10+7=\boldsymbol{9}$ 3.解： $\because$是二次函数 $\therefore \begin{cases}m^2+1=2\\m-1≠0\end{cases}$ $m^2=2-1=1$，$m=\pm1$ 又$m-1≠0\Rightarrow m≠1$ $\therefore \boldsymbol{m=-1}$ ## 易错点总结 1. 判断二次函数两大条件：整式，自变量最高次数=2，**$a≠0$**； 2. 没有一次项，则一次项系数是0；没有常数项，常数项是0； 3. 求参数题目，一定要列两个不等式/方程：次数=2，二次项系数≠0； 4. 先展开整理，再判断，例如$y=x(x-2)$要先展开再看。 下一节：**5.2 二次函数$y=ax^2$的图像与性质**，继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 5.1认识二次函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二次函数 素养目标 问题1：某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 探究点1：二次函数的定义 变量：增种的橙子树数量、橙子树总棵数、单棵树橙子个数、橙子总产量； 自变量：增种棵数； 因变量：总棵数、单棵结果数、总产量； 常量：原有100棵、原单棵 600个、每多种1棵少结5个. (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果树总棵数：原有＋新增 = 100 + x； 每棵树结果数量：原产量－减少量＝600－5x 探究点1：二次函数的定义 (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 y 与 x 之间的关系式是什么？ x 能取哪些值？ y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 这个关系式是函数关系式吗？ 总产量＝总棵树×单棵产量 探究点1：二次函数的定义 ∵ x≥0，600 - 5x＞0 x 是非负整数， ∴ 0≤x＜120，x 为整数. 【尝试·思考】(1) 某公司今年 4 月的利润为 20 万元，预计 5~6 月利润将持续增长. 如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为 x，6 月的利润为 y 万元，那么 y 与 x 之间的关系式是什么？x 能取哪些值？ 5月利润 月均增长率 x 20(1 + x) 20(1 + x)2 月均增长率 x 6月利润 4 月利润 20 分析： 两月后 y = 20(1 + x)2 = 20x2 + 40x + 20. y 是 x 的函数 增长率为正数，∴ x＞0. 探究点1：二次函数的定义 (2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少? 如果设这个矩形的一条边长为 x cm，面积为 y cm2，那么 y 与 x 之间的关系式是什么？x 能取哪些值？ y = x(20 - x) = -x2 + 20x 当 y = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得 x1 = x2 = 10. 当 y = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x1 = 5，x2 = 15. ∵边长大于 0，x＞0，20 - x＞0，∴0＜x＜20 探究点1：二次函数的定义 (3) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，这两个数的积是 y，那么 y 与 x 之间的关系式是什么？ x 能取哪些值? y = x(20 - x) = -x2 + 20x 取值：无实际限制，x 取全体实数. 探究点1：二次函数的定义 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 上述问题中函数关系式有什么共同点? 【合作探究】 y = -5x² + 100x + 60000 y = 20x2 + 40x + 20 y = -x2 + 20x 函数都是用 自变量的二次整式表示的 探究点1：二次函数的定义 二次函数的定义： a 为二次项系数，ax2 叫作二次项； b 为一次项系数，bx 叫作一次项；c为常数项. 一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数. 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 探究点1：二次函数的定义 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9 探究点1：二次函数的定义 【方法归纳】 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 探究点1：二次函数的定义 知识点1 二次函数的定义 1.[西安铁一中期中] 下列函数中，是 的二次函数的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 12 2.已知是关于的二次函数，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 3.已知函数 。 （1）当时， ____; （2）当时， _______。 6或 返回 举一反三 14 【归纳总结】 y = x2 y = -5x² + 100x + 60000 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) y = x(20 - x) b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 【合作探究】 探究点1：二次函数的定义 例2 若函数 y = (m + 1)xm² - 2m - 1 + (m - 3)x + 4 是二次函数，求 m 的值. ∴ m = 3. 总结 本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案. 解：由题意得 m² - 2m - 1 = 2， m + 1 ≠ 0， 探究点1：二次函数的定义 【链接中考】2. 已知 y = (m² - m)x² + mx - 2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解：(1) 由题意得 m² - m = 0， m≠0， 探究点1：二次函数的定义 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 例3 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即 S = 4πr² (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. (2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 【练一练】1. 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 解：由题意得 y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1< 2x ≤12，∴1<x≤6， 即 y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴ y 是 x 的二次函数. 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 2. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. ∴ y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了 2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 4.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 函数表达式 二次项系数 一次项系数 常数项 ____ ___ ____ ____ ___ ____ ___ ____ ___ 2 0 1 0 返回 举一反三 23 知识点2 建立二次函数模型 5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降 价。若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为 元， 则与 之间的关系式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 24 6.已知两个实数，其中一个数比另一个数大2，设较小的数为 ，这两个 实数的积为，则与 之间的关系式为____________。 返回 举一反三 25 7.一个正方形的边长为，假设边长增加 时，正方形的面积增加 。 （1）与 之间的关系式为____________； （2）当正方形的边长增加，， 时，正方形的面积各增加 _______________________。 ，， 返回 举一反三 26 8. 若关于的函数是二次函数，则 的值 为___。 2 返回 举一反三 27 9.某商店经销一种学生用的双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元。经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与售价 （元/个）有如下关系：，且为整数 。设这 种双肩包每天的销售利润为元，则与之间的函数表达式为 ____________________。 返回 举一反三 28 10.如图，在一面靠墙的空地上用长为 的篱 笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 （中间的篱笆垂直于墙），设花圃的边 的长 为，面积为 。 （1）若墙足够长，求与之间的函数表达式及自变量 的取值范围； 解： ， 由题意得解得 。 举一反三 29 （2）当时，矩形花圃的面积最大，此时的面积为____ ； 48 （3）若墙的最大可用长度为，求此时自变量 的取值范围。 解：因为，所以。结合（1）得 。 返回 举一反三 30 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 谢谢观看 THANKS $