2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册10月月考质量检测卷

2026—2027学年度（上）高二年级10月月考质量检测 数学试题（空间向量与立体几何） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题栏上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置。回答非选择题时，将答案写在对应题号的横线上或下方空白处。写在其他位置无效。 第Ⅰ部分 （选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法正确的是（　　） A．单位向量的模都等于1，所以单位向量都相等 B．若两个向量相等，则这两个向量一定共线 C．若 ，则 D．零向量与任意向量的数量积为1 2．在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C．若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D．若向量 共面，则存在实数 使 4．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．下列关于空间向量基底的说法正确的是（　　） A．空间任意三个不共线的向量都可以作为空间的一个基底 B．若 是空间的一个基底，则其中任意两个向量都不共线 C．空间的一个基底中可以含有零向量 D．给定基底后，空间任一向量用该基底表示的系数不唯一 6．已知向量 ，，且 与 互相垂直，则实数 （　　） A． B． C． D． 7．下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．一个平面的法向量是唯一的 C．若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D．若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 8．已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．相交但不垂直 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9．在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．异面直线 与 所成的角为 B．异面直线 与 所成角的正弦值为 C． D．直线 与平面 所成角的正弦值为 10．已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 且 ，则 C．若 ，则 与 一定平行 D．若 ，则 11．在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．直线 与平面 所成角的正弦值为 B．直线 与平面 所成的角为 C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 第Ⅱ部分 （非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量 ，，则 ______． 13．已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ， 则点 到直线 的距离为______． 14．《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标，并求 ；（6分） （2）若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ．（7分） 16．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标， 并求直线 的一个方向向量；（6分） （2）证明： 平面 ．（9分） 17．（15分）如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标；（5分） （2）求直线 与底面 所成角的大小；（5分） （3）求平面角 和平面所成角的余弦值．（5分） 18．（17分）如图，正四面体 的棱长为 2，记 ，，，取 为空间的一组基底． （1）用这组基底表示与（为的中点）；求，并由此求异面直线与所成的角；（8分） （2）设 为 在平面 上的射影，用基底表示 ，并求点 到平面 的距离及直线 与平面 所成角的正弦值．（9分） 19．（17分）如图1，在四边形中，点位于两侧，且，，．将沿折起，点到达点 的位置（如图2），记二面角 的大小为 （）． （1）建立适当的空间直角坐标系；当 时，求 线段 的长，并证明 ；（5分） （2）用 表示点 的坐标，并求 关于 的表达式；（6分） （3）在折叠过程中，求点 到平面 的距离的最大值，并求出此时 的大小．（6分） 参考答案与详细解析 【答案速查】 一、单项选择题：1．B　2．A　3．C　4．C　5．B　6．A　7．C　8．B 二、多项选择题：9．ACD　10．AB　11．AC 三、填空题：12．　13．　14．1 一、单项选择题 1．B　【解析】 单位向量只要求模为1，方向可不同，故A错；相等向量方向相同、模相等，必共线，故B对； 只能说明模相等，方向未必相同，故C错；零向量与任意向量的数量积为0，故D错． 2．A　【解析】 由空间向量加法的三角形法则，，又 ，故 ．选A． 3．C　【解析】 A错：当 时， 未必共线；B错：需补充条件 ；D错：需 不共线时才能线性表示 ；C为空间共面向量定理的推论，P、A、B、C 四点共面．选C． 4．C　【解析】 设夹角为 ，则 ，又 ，故 ．选C． 5．B　【解析】 A错：三个向量需不共面才能构成基底；C错：基底中不能有零向量（含零向量则三向量共面）；D错：给定基底后表示系数唯一；B对：基底中三个向量不共面，故任意两个都不共线．选B． 6．A　【解析】 ，，则 ，．由垂直得 ，即 ，解得 ．选A． 7．C　【解析】 A、B错：方向向量与法向量都不唯一（相差一个非零倍数即可）；D错：法向量垂直说明两平面垂直；C对： 说明直线与平面平行或直线在平面内．选C． 8．B　【解析】 平面 的方程为 ．由 知 或 ；又点 不满足 ，即 ，故 ．选B． 二、多项选择题 9．ACD　【解析】 以 为原点建立空间直角坐标系（棱长 2）：，，，，，． ，，故 ，C对； ，，故所成角为 ，A对，B错（正弦值应为 ）； 平面 为 ，法向量可取 ，直线 与它所成角的正弦值为 ，D对．故选ACD． 10．AB　【解析】 A对：两平面垂直的充要条件是法向量垂直；B对：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（面面垂直的判定定理）；C错：法向量平行时两平面平行或重合；D错： 时 或 ．故选AB． 11．AC　【解析】 棱长为 2，，，，，，平面 的法向量 ． ，，故A对、B错（不是 ）； ，，故 ，C对、D错．故选AC． 三、填空题 12．　【解析】 ，故 ． 13．　【解析】 ，，，．由点到直线的距离公式 ． 14．1　【解析】 由 平面 得 ，；又 ，且 ，故 平面 ，从而 ，四个面都是直角三角形，符合“鳖臑”的定义． 以 为原点， 的方向分别为 轴正方向，与 平行的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 ，，，．设 （），则 ． ，， ． 当 ，即 为 的中点时， 取得最小值 ． 四、解答题 15．（1），，；（2），．　【解析】 先算两个基本量：，，，故 ，从而 不共线． （1）由空间向量坐标的线性运算： ； ． ．（6分） （另解：由 得 ．） （2）． 由 ，存在实数 使 ， 即 ，于是 ，，．由第一式得 ； 代入第二式得 ，即 ，第三式 也成立． 故 ，此时 ． （或 ）．（7分） （另解： 不共线，由系数成比例 直接得 ．） 16．（1）坐标与方向向量；（2）证明　【解析】 以 为原点， 的方向分别为 轴正方向建立空间直角坐标系（棱长为 2）． 则 ，，，，． （1），即直线 的一个方向向量为 （或 ）．（6分） （2），． ，故 ； ，故 ． 又 ，且 平面 ，由线面垂直的判定定理得 平面 ．（9分） 17．【解析】 以 为原点， 的方向为 轴正方向，底面内垂直于 且指向 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系． 则 ，，，，，． （1）由中点坐标公式： 为 的中点，； 为 的中点，．（5分） （2），．底面 的一个法向量为 ， ，故直线 与底面 所成的角为 ．（5分） （3），．设平面 的法向量 ， 由 ，，取 ； 又 ，，同理得平面 的法向量 ． ，法向量夹角为锐角，二面角的锐钝还需进一步判断． 在棱 上取分别位于两个半平面内且垂直于棱的向量（其中 ）： ，， ，，， ，故二面角 为钝角，其余弦值为 ．（5分） 18．【解析】 正四面体的每个面都是边长为 2 的正三角形，故 ，且 ， 于是 ． （1）； 为 的中点，由中点向量性质 ． 又 ，故 ， 所以 ，异面直线 与 所成的角为 ．（8分） （2）由 及 平面 得 等三式相等，即 ，故 为 的外心； 又 为正三角形，外心与重心重合，故 ， ． ， 故点 到平面 的距离为 ． 由 平面 知 就是直线 与平面 所成的角， ．（9分） 19．【解析】 由 ， 得 ，故 ，同理 ． 设 为 的中点，则 ，且 ，． 以 为原点，射线 为 轴正方向， 所在方向为 轴正方向，过 垂直于平面 向上为 轴正方向，建立空间直角坐标系． 则 ，，，折叠前 ． 折叠后点 在垂直于 的平面内绕 转动，可设 （ 时 与 重合， 时为直二面角）． （1）当 时，，故 ，． 又 ，， ，故 ．（5分） （2）由上述设法，，， ； ， 故 （）．（6分） （3）平面 即 平面（），故点 到平面 的距离 ． 因为 ，所以 ，当且仅当 时 ． 故距离的最大值为 ，此时二面角 为 （即直二面角）．（6分） 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $