精品解析：湖北十堰市实验中学教联体 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期九年级十月数学学情诊断 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”进行判定即可求解． 【详解】解：A、含两个未知数，不是一元二次方程； B、整理后为，二次项消去，是一元一次方程，不是一元二次方程； D、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； 只有C项含一个未知数且最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程． 2. 升入九年级，班主任让班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“后起之秀”学习小组共写了42份留言，设该学习小组有位成员，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设该学习小组有位成员，则每名同学给同组其他名同学各写一份，名同学共写 份， ∴． 3. 将一元二次方程 化成一般式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，7，0 B. 3，0， C. 3，，1 D. 3，，0 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项得， 二次项系数 3，一次项系数 ，常数项 0． 4. 将抛物线 先向右平移 5 个单位长度后，接着再向上平移 2 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：抛物线先向右平移5个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为，即． 5. 已知抛物线 的对称轴为直线，且过点 ，则关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根，即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴由对称性可知抛物线过点， ∴关于  的一元二次方程  的两个实数根分别为． 6. 若实数满足，，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，是方程 的两个不相等的实数根， 则由韦达定理得． 7. 老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（ ） A. 图象的对称轴为直线 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 图象开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，与的函数值相等即可得到对称轴；对于B，把代入求值即可；对于C，根据对称轴，结合二次函数的性质判断；对于D，利用待定系数法求出的值，然后判断即可． 【详解】与的函数值均为， 二次函数对称轴为，A正确； ∴与时，函数值相等，即， ，B正确； ∵当时，，当时，， 代入得， 解得， ∴，图象开口向下，故D正确； ∵开口向下且对称轴为， 当时，随的增大而减小，故C错误． 8. 小聪同学周末自主学会了“瓜豆原理”的数学模型，并利用在校的大课间把它分享给班级其他同学． 周一大课间，他教会了若干名同学，周二大课间所有会该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样就有名同学会这个模型． 若设名同学每次都能教会 名同学，则下列结论错误的是（ ） A. 第一次后共有名同学会这个模型 B. 第二次又增加名同学会这个模型 C. 由题意可列方程 D. 若不考虑其他因素，经过周三大课间后共有名同学会这个模型 【答案】D 【解析】 【分析】先分析每轮新增人数，列出两轮总人数方程，求出每人每轮教会人，再计算三轮后的总人数，对比选项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，第一次后共有名同学会这个模型， 选项正确， 第二次增加名同学会这个模型， 选项正确， 可列方程， 选项正确， ，即， 解得，即名同学每次都能教会名同学， 则周三大课间后共有名同学会这个模型， 选项错误． 9. 在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象，以下四个选项中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，判断选项中两个函数图象各自待定系数的符号，看是否出现矛盾，出现矛盾的选项就是错误的，排除即可． 【详解】解：选项A：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意； 选项B：抛物线中，直线中，，，不符合，不符合题意； 选项C：抛物线中，直线中，，，没有矛盾，符合题意； 选项D：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意． 10. 二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤若点和在该图象上，则；⑥（其中为任意实数）． 其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；由对称性可得另一个交点在左侧，即可判断②；根据对称轴即可判断③；根据根的判别式即可判断④；根据两点与对称轴的距离大小，即可判断⑤；根据顶点处取最大值，即的函数值不小于的函数值，即可判断⑥． 【详解】解：由函数图像可得： 抛物线开口向下，则； 抛物线与轴交于正半轴，则； 对称轴为直线，即，得到，故③错误； ∴，故①错误； ∵图象左交点在右侧， ∴由对称性可得另一个交点在左侧，故时，②正确； 抛物线与轴有两个交点，则，④正确； ∵点和在该图象上，比离对称轴远，开口向下， ∴，⑤正确； ∵顶点处取最大值，即的函数值不小于的函数值， ∴ 整理得，⑥正确． 综上所述，正确的有②⑤④⑥，共4个． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果函数 是关于的二次函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 12. 关于的一元二次方程有一个根是2，则另一个根是________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，常数项，已知一个根为，设方程的另一个根为，则 ， 解得． 13. 如图，一农户要建一个矩形菜园，菜园的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，当所围矩形菜园的长、宽分别为________时，菜园面积为． 【答案】长、宽 【解析】 【详解】设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得， 解得， 当时，平行于墙的边长为，不合题意舍去， 当时，平行于墙的边长为，符合题意， 故所围矩形菜园的长、宽分别为、． 14. 已知一辆小汽车刹车后滑行的距离 （米）与滑行时间 （秒）满足的关系式为：，则这辆小汽车刹车后滑行________米才能停下来． 【答案】8 【解析】 【详解】解：， 即当时， 取最大值 8， ∴这辆小汽车刹车后滑行8米才能停下来． 15. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，，证明四边形是平行四边形，得到，则当三点共线时最小，再求出直线的解析式为，先求出，最后把向下移动两个单位长度得到． 【详解】解：令，解得，则； 令，得，则； 的对称轴为直线； 作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小； 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴向下移动两个单位长度得到． 三．解答题（9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ， 或， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意可得，整体代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 18. 抛物线 如图所示，回答下列问题． （1）关于 的方程 的解是________； （2）关于 的不等式 的解集是________； （3）当 时， 的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据图象求出图中所有点的坐标，再根据图象的对称性得到答案； （2）直接观察图象得到不等式的解集； （3）观察图象，得出在取值范围内的最大值和最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 由 得，其关于对称轴对称的点的坐标为 ， ， 【小问2详解】 解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 观察图象可得：不等式的解集为． 【小问3详解】 解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 当 时，观察图象可得最大值为 ，最小值 ， 的取值范围是： ． 19. 某住宅小区新修建了一个抛物线形的拱门，已知该拱门接触地面的跨度 为，拱门顶端最高处的高度为，为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各竖立一根垂直于地面且高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上． 以点为原点，直线 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 求这两根支柱之间的距离． 【答案】m 【解析】 【详解】解：由和题意可知，顶点为， 设，过得，解得． 令，则， 解得， ∴， ∴． 答：这两根支柱之间的距离为． 20. 已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围． （2）为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程有两个不相等实数根，利用根的判别式大于0列出不等式；再结合三角形三边关系，借助根与系数关系列出不等式，求出所有不等式解集的公共部分，得到的取值范围． （2）由为斜边，利用勾股定理得到两条直角边的平方和；结合根与系数的关系、完全平方公式变形，建立关于的方程求解；再对照第（1）小题的取值范围检验，确定符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． ∴ ， 解得， ，是三角形边长，均大于0，边的长为， ，，， 解得， 解得或， 由，得， ∴，即， 解得 综上可得． 【小问2详解】 解：是以为斜边的直角三角形，， ， ∵两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ，舍去． ，符合条件． ． 21. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，只要开平方得 ，则可求出方程得两个实数根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在图2三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】利用上述方法，画出能够求出方程的解的示意图（要标注必要数据），并求解该方程． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图3是由四个面积为12的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么此方程的系数________，________，求得方程的解为________． 【答案】（1）② （2）解：将方程，变为，即， 如图，画4个长为、宽为的相同矩形，拼成“空心”大正方形， 则外围大正方形的边长为，中间围成的小正方形边长为， 大正方形的面积既可以表示为，也可以表示为4个矩形面积加中间小正方形面积， 故， 开平方得： 当时，解得， 当时，解得， 因此方程的根为，； （3），或， 【解析】 【分析】（1）将原方程整理为，可看作一个长为，宽为，面积为21的矩形，可得答案； （2）将原方程变为，可看作一个长为，宽为，面积为10的矩形，可得答案； （3）原方程变为，可知四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，再由条件可知，进而得，则此题可解． 【小问1详解】 解：， ， 将看作长为，宽为的4个矩形拼成空心大正方形，中间小正方形的边长为，符合该拼接特征的只有构图②； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由条件可知， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知， 解得：， 当时，， ∴，解得：或， 当时，， ∴，解得：或， 综上所述，方程的解为，或，． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品掐丝珐琅书签制作·模拟营销”的项目式学习活动．经过几天的制作，同学们共准备了500个书签准备售卖，所有书签的平均成本为10元/个．根据大数据分析预测，当书签售价为13元/个时，能把书签刚好卖完；售价每涨1元，销量减少20个．市场规定售价不得高于平均成本的3倍． （1）每个书签的售价定为多少元时，总利润最大？最大的总利润是多少？ （2）要想保证总利润不低于3900元，应将售价定在什么范围？（售价为元，不写过程，直接写出的取值范围） 【答案】（1）售价定为24元时总利润最大，最大总利润为3920元 （2） 【解析】 【分析】（1）设售价为元（），根据“利润单个利润销量”列出函数关系式解答即可； （2）由，结合二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设售价定为元，（），则销量为个， ∵市场规定售价不得高于平均成本的3倍， ∴， ∵售价基础为13元，且销量不能为负， ∴，解得， ∴； 根据题意可得，总利润， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，最大（符合规定），元． 答：售价定为24元时总利润最大，最大总利润为3920元． 【小问2详解】 解：令，则，即， 解得：或， 则当时，． 23. 如图 1，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． （1）与的数量关系是________，与的位置关系是________． （2）当点在线段的延长线上运动时， ①如图 2，探究三条线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图 3，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）①，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明得到，，即可得到； （2）①由正方形得到，再证明，得到，最后根据证明即可； ②连接交于，设正方形的边长为，则，，，，，在中根据列方程解得，再求出，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵ 四边形、都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：①略； ②连接交于， 设正方形的边长为，则，，， ∵，， ∴，， ∴中， ∵中，， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，交轴于点． 动点沿轴从点向点运动，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． （1）求抛物线解析式； （2）是否存在点，使的面积等于的面积的？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由． （3）在轴右侧的抛物线上有一点，的横坐标为，设该抛物线在点与点 之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当 时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，点的横坐标为2或4 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，直线的解析式为，设，则，，表示出，再结合表示出，最后结合的面积等于的面积的，计算即可得出结果； （3）由题意可得，求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）可得，从而可得点关于对称轴对称的点的坐标为，再分三种情况，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：当时，，故， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴ ， ∵的面积等于的面积的， ∴， 整理得， 解得，，均符合， ∴点的横坐标为2或4． 【小问3详解】 解：由题意可得， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）可得， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ①当时，该段最高点为点，最低点为， ∵该抛物线在点与点 之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，最高点为顶点， 若，最低点为，此时符合； 若，，不符合； ③当时，最高点为顶点，最低点位于轴下方，， 由得， 即， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级十月数学学情诊断 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 升入九年级，班主任让班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“后起之秀”学习小组共写了42份留言，设该学习小组有位成员，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程 化成一般式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，7，0 B. 3，0， C. 3，，1 D. 3，，0 4. 将抛物线 先向右平移 5 个单位长度后，接着再向上平移 2 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线 的对称轴为直线，且过点 ，则关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 11 D. 7. 老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（ ） A. 图象的对称轴为直线 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 图象开口向下 8. 小聪同学周末自主学会了“瓜豆原理”的数学模型，并利用在校的大课间把它分享给班级其他同学． 周一大课间，他教会了若干名同学，周二大课间所有会该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样就有名同学会这个模型． 若设名同学每次都能教会 名同学，则下列结论错误的是（ ） A. 第一次后共有名同学会这个模型 B. 第二次又增加名同学会这个模型 C. 由题意可列方程 D. 若不考虑其他因素，经过周三大课间后共有名同学会这个模型 9. 在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象，以下四个选项中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤若点和在该图象上，则；⑥（其中为任意实数）． 其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果函数 是关于的二次函数，则的取值范围是________． 12. 关于的一元二次方程有一个根是2，则另一个根是________． 13. 如图，一农户要建一个矩形菜园，菜园的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，当所围矩形菜园的长、宽分别为________时，菜园面积为． 14. 已知一辆小汽车刹车后滑行的距离 （米）与滑行时间 （秒）满足的关系式为：，则这辆小汽车刹车后滑行________米才能停下来． 15. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 三．解答题（9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中满足． 18. 抛物线 如图所示，回答下列问题． （1）关于 的方程 的解是________； （2）关于 的不等式 的解集是________； （3）当 时， 的取值范围是________． 19. 某住宅小区新修建了一个抛物线形的拱门，已知该拱门接触地面的跨度 为，拱门顶端最高处的高度为，为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各竖立一根垂直于地面且高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上． 以点为原点，直线 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 求这两根支柱之间的距离． 20. 已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围． （2）为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 21. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，只要开平方得 ，则可求出方程得两个实数根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在图2三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】利用上述方法，画出能够求出方程的解的示意图（要标注必要数据），并求解该方程． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图3是由四个面积为12的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么此方程的系数________，________，求得方程的解为________． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品掐丝珐琅书签制作·模拟营销”的项目式学习活动．经过几天的制作，同学们共准备了500个书签准备售卖，所有书签的平均成本为10元/个．根据大数据分析预测，当书签售价为13元/个时，能把书签刚好卖完；售价每涨1元，销量减少20个．市场规定售价不得高于平均成本的3倍． （1）每个书签的售价定为多少元时，总利润最大？最大的总利润是多少？ （2）要想保证总利润不低于3900元，应将售价定在什么范围？（售价为元，不写过程，直接写出的取值范围） 23. 如图 1，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． （1）与的数量关系是________，与的位置关系是________． （2）当点在线段的延长线上运动时， ①如图 2，探究三条线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图 3，连接，若，求四边形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，交轴于点． 动点沿轴从点向点运动，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． （1）求抛物线解析式； （2）是否存在点，使的面积等于的面积的？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由． （3）在轴右侧的抛物线上有一点，的横坐标为，设该抛物线在点与点 之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当 时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $