第23章解直角三角形单元测试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026-2027学年华东师大版九上第23章解直角三角形单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D．sinA＝cosC 2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，sinA，那么AC边的长是（　　） A．8 B．10 C． D． 3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 4．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝BC＝17，AD＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 6．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 7．（3分）已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．25° C．35° D．40° 9．（3分）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角α的度数为43°，则支持力F与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．139° B．137° C．143° D．157° 10．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（　　） A． B．0.5 C． D．2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在△ABC中，若AB，tanB，AC，则BC＝________ ． 12．（3分）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足，则∠C＝____________ ． 13．（3分）如图，在坡度i＝1：的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为4米，则相邻两树间的水平距离AC为________________ 米． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD．利用此图，可算出tan75°的值为_________________ ． 15．（3分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，AC＝5，高BD＝4，则tan∠CBD的值为____________________ ． 16．（3分）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为45°．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD＝EF＝1.5米．则天下第一菹坛的高AB为________ ．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保留整数） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）2cos30°﹣tan60°+sin30°； （2）4sin60°•cos60°+tan45°﹣3tan30°． 18．（8分）如图，AB⊥CD，垂足为B，E是线段AD上一点，CE交AB于点F，∠A＝∠C．求证：△CED是直角三角形． 19．（8分）如图，在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，求AC的长． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，，BC＝4． （1）求AC的长； （2）求tan∠BAD的值． 21．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 22．（10分）如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上． （1）求AC的长； （2）求建筑物A、B间的距离．（结果保留根号） 23．（10分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 24．（10分）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向1800m处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西15°方向．（参考数据：，，） （1）求AB的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C，甲选择路线A→B→C，乙选择路线A→D→C，已知甲的速度为每分钟150m，乙的速度为每分钟200m，请通过计算说明甲和乙谁先到达点C． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D．sinA＝cosC 【解答】解：A、在Rt△ABC中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在Rt△ABD中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在Rt△ABD中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在Rt△ABC中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，sinA，那么AC边的长是（　　） A．8 B．10 C． D． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝12，sinA， ∴AB16， ∴AC4， 故选：D． 3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形， ∴∠A的大小不变， ∴sinA的值不变， 故选：C． 4．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝BC＝17，AD＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 由勾股定理得， ∴CD＝BC﹣BD＝17﹣15＝2， 故选：A． 5．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【解答】解：∵sin（α﹣10°），sin60°， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°， 故选：B． 6．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴BC＝AB•sin24°＝50•sin24°（m）． 故选：C． 7．（3分）已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ， 故选：A． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．25° C．35° D．40° 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD＝45°，∠CDB＝∠CDB′， ∵∠ADB′＝20°， ∴∠CDB＝∠CDB′（180°﹣20°）＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠BCD﹣∠CDB＝180°﹣45°﹣80°＝55°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝35°， 故选：C． 9．（3分）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角α的度数为43°，则支持力F与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．139° B．137° C．143° D．157° 【解答】解：重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．如图， 由题意得∠TOS＝∠DEB＝90°， ∴∠CDO＝∠BDE＝90°﹣α＝47°， ∵OS∥BC， ∴∠DOS＝180°﹣∠CDO＝180°﹣47°＝133°， ∴β＝360°﹣∠TOS﹣∠DOS＝360°﹣90°﹣133°＝137°． 故选：B． 10．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（　　） A． B．0.5 C． D．2 【解答】解：如图，连接BD，CD， ∵tan∠ACKtan∠DCM， ∴∠ACK＝∠DCM， ∵∠DCM+∠DCK＝180°， ∴∠ACK+∠DCK＝180°， ∴A、C、D共线， ∵CD2＝BD2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴BC2＝BD2+CD2， ∴∠BDC＝90°， ∵BD，AB5， ∴sin∠BAC． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在△ABC中，若AB，tanB，AC，则BC＝　6或4　 ． 【解答】解：分两种情况： 当高AD落在△ABC内时，如图： 过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，tanB， ∴， ∴设AD＝2x，则BD＝5x， ∴ABx， ∵AB， ∴x， ∴x＝1， ∴AD＝2，BD＝5， 在Rt△ACD中，AC， ∴CD1， ∴BC＝BD+CD＝5+1＝6； 当高AD落在△ABC外时，如图： 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，tanB， ∴， ∴设AD＝2x，则BD＝5x， ∴ABx， ∵AB， ∴x， ∴x＝1， ∴AD＝2，BD＝5， 在Rt△ACD中，AC， ∴CD1， ∴BC＝BD﹣CD＝5﹣1＝4； 综上所述：BC的长为6或4， 故答案为：6或4． 12．（3分）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足，则∠C＝　90°/90度　 ． 【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∵∠A，∠B均为锐角， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 13．（3分）如图，在坡度i＝1：的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为4米，则相邻两树间的水平距离AC为　2　 米． 【解答】解：∵斜坡的坡度为1：， ∴tanA， 则∠A＝30°， ∴AC＝AB•cosA＝42（米）， 故答案为：2． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD．利用此图，可算出tan75°的值为　2　 ． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC， ∴BCAC， ∵BD＝AB， ∴∠BAD＝∠D＝15°，BD＝2AC， ∴CD＝BC+BD＝（2）AC，∠CAD＝75°， ∴tan∠CAD2， 即tan75°的值为2， 故答案为：2． 15．（3分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，AC＝5，高BD＝4，则tan∠CBD的值为　或2　 ． 【解答】解：由题意得，， 当D点在边CA上时（如图1）， ∵CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2， ∴； 当D点在CA的延长线上时（如图2）， ∵CD＝AC+AD＝5+3＝8， ∴， 综上所述，tan∠CBD的值为或2． 故答案为：或2． 16．（3分）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为45°．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD＝EF＝1.5米．则天下第一菹坛的高AB为　15米　 ．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保留整数） 【解答】解：过点F作AB的垂线，垂足为点G， 由题意，知CD⊥BC，EF⊥BC， ∵CD＝EF， ∴四边形CDFE，四边形BEFG和四边形BCDG都是矩形， ∴DF＝CE＝8米，BG＝EF＝CD＝1.5米， 在 Rt△AGF中， ∵∠AGF＝90°，∠AFG＝45°， ∴AG＝GF， 在Rt△AGD中， ∵∠ADF＝32°，DG＝GF+DF＝GF+8（米）， tan∠ADG， ∴， 即， 解得AG≈13.6（米）， ∵BG＝CD＝1.5米， ∴AB＝13.6+1.5＝15.1≈15米． 答：天下第一菹坛的高AB为15米， 故答案为：15． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）2cos30°﹣tan60°+sin30°； （2）4sin60°•cos60°+tan45°﹣3tan30°． 【解答】解：（1）原式＝2 ； （2）原式＝41﹣3 1 ＝1． 18．（8分）如图，AB⊥CD，垂足为B，E是线段AD上一点，CE交AB于点F，∠A＝∠C．求证：△CED是直角三角形． 【解答】证明：∵AB⊥CD， ∴∠CBF＝90°（垂直的定义）， ∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，∠C+∠CFB+∠CBF＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE，∠CBF＝180°﹣∠C﹣∠CFB， ∵∠A＝∠C，∠AFE＝∠CFB， ∴∠AEF＝∠CBF＝90°（同角的补角相等）， ∴△CED是直角三角形． 19．（8分）如图，在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，求AC的长． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： 设AD为x， 在Rt△ABD中，sinB，AB＝3， ∴AD＝1， 在Rt△ACD中，tanC， ∴CDAD， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，，BC＝4． （1）求AC的长； （2）求tan∠BAD的值． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°， ∴tanC， ∵BC＝4， ∴AB＝3， 由勾股定理得到：AC5； （2）过D作DH⊥AC于H， ∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝DB， ∵△ADC的面积DC•ABAC•DH， ∵DC＝BC﹣BD＝4﹣BD， ∴3×（4﹣BD）＝5×BD， ∴BD， ∵AB＝3， ∴tan∠BAD． 21．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC， ∴sinα， 设AB＝3x，则AC＝5x， ∵AB2+BC2＝AC2， 即（3x）2+82＝（5x）2， 解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）， ∴AC＝10， ∵点O是AC的中点， ∴OCAC10＝5； （2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点， ∴OB＝OC＝OAAC＝5， 设OD＝y，则BD＝OB+OD＝5+y， ∵CD⊥OB， ∴CD2＝BC2﹣BD2＝OC2﹣OD2， ∴82﹣（5+y）2＝52﹣y2， 解得：y， ∴cos∠DOC． 22．（10分）如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上． （1）求AC的长； （2）求建筑物A、B间的距离．（结果保留根号） 【解答】解：（1）∵EF∥AB， ∴∠A＝∠ECA＝30°， ∵CD⊥AB，CD＝90米， ∴AC＝2CD＝180（米）； （2）在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA， ∴ADCD＝90（米）； 同理，BDCD＝30（米）， 则AB＝AD+BD＝120（米）． 23．（10分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【解答】解：一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．则： 根据题意得：∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 如图：过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴（海里）， ∵15＜16， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 24．（10分）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向1800m处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西15°方向．（参考数据：，，） （1）求AB的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C，甲选择路线A→B→C，乙选择路线A→D→C，已知甲的速度为每分钟150m，乙的速度为每分钟200m，请通过计算说明甲和乙谁先到达点C． 【解答】解：（1）过C作CH⊥AB于H， 则∠CBH＝60°，∠CAH＝45°，∠H＝90°， ∴， 在Rt△BCH中，， ∴， ∴， 答：AB的长度为； （2）由题意得∠DAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∠ACD＝45°﹣15°＝30°， ∴∠D＝60°， ∵AC＝1800m，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴甲选择路线A﹣B﹣C：（m）， 乙选择路线A﹣D﹣C：， ∵甲的速度为每分钟150m，乙的速度为每分钟200m， ∴甲所用时间为（分），乙所用时间为（分）， ∵13.36＜15.57， ∴甲先到达点 C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 17:17:44；用户：王俊燕；邮箱：13400470610@xyh.com；学号：23751262 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $