江苏省宿迁中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

2025-2026学年度第二学期高一年级期中测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，则z的虚部是 A. 3 B. C. 3i D. 2.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 3.已知向量，若，则 A. B. C. 1 D. 2 4.求值： A. 1 B. C. D. 5.已知，为锐角，且，，则= A. B. C. D. 或 6.在中，若，则的形状为 A.  等腰三角形 B.  直角三角形 C.  等腰直角三角形 D.  等腰三角形或直角三角形 7.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的取值不可能是 A. B. C. D. 8.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点若，则的值是 A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9.下列关于平面向量的说法中正确的是 A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点G为的重心，则 10.已知，，下列说法正确的是 A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 11.已知在中，，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是 A. 若CD是中线，则 B. 若CD是高，则 C. 若CD是角平分线，则 D. 若D是线段AB的三等分点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为和，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度是__________ 13.已知，则           . 14.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则 的最小值是           . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 设复数， （1）若是实数，求； （2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16.（15分） 已知非零向量，满足，且 （1）求； （2）当时，求和向量与的夹角的值. 17.（15分） 已知函数 （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18.（17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， （1）若，求C的值； （2）若，AD平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19. （17分） 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，且， （1）求b的值； （2）求的面积； （3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点含端点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围. 高一数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级答案和解析 【答案】 1. B  2. B  3. D  4. D  5. C  6. D  7. B  8. A  9. AD  10. AC  11. AC  12.    13.   14.   15. 解：由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则； ， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得   16. 解：， ，，； ， ， ， ， ，  17. 解：由题意可得， 又， 所以， 故， 因为， 所以， 所以， 故 已知， 则， 所以， 所以， 又， 所以， 因为， 所以， 所以  18. ；   0；    19. 解：由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 因为，所以，即； 由AD为BC边上中线，可得， 则，即， 由，可得， 所以，所以， 所以， 所以； 由，可得，， 因为点E，F分别为边AB，AC上的动点含端点， 所以设， 由的面积为面积的， 可得， 所以，则， 设，由AD为中线，可得，则， 由E，F，G共线，可得， 所以， 由，可得， 由，可得，则  【解析】 1. 解：复数z满足，则z的虚部是 故选： 根据虚部的定义直接得到答案． 本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题． 2. 解：向量与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为 故选： 结合投影向量的公式，即可求解． 本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 3. 略 4. 解：， 故选： 由题意利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，计算求得所给式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于中档题． 5. 解：，为锐角，且，，，，， ，故， 故选： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值以及的范围，再利用两角和的正切公式求得的值，可得的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和和的正切公式的应用，属于基础题． 6. 【分析】 本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题． 由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得或进而可作出判断． 【解答】 解：， ， ， ， ， 或 ，， 或 为直角三角形或等腰三角形． 故选 7. 解：由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知：， 若c只有一解，可知以C为圆心，a为半径的圆弧与AD有一个交点， 则或，即或 故选： 8. 解：过点D作，交AB于点F， 由于，D是BC的中点，则，， 故 ， 由此得， 故，， 故选： 根据题意由向量的数量积运算得出向量的模的关系，即为线段的长度关系． 本题考查向量的数量积运算，属于中档题． 9. 【分析】 本题考查向量共线定理，向量的线性运算，向量的坐标运算及数量积，属于中档题. 由向量共线定理判断A，由向量的坐标运算及数量积，分类讨论即可判断B，由向量的运算律及数量积知识即可判断C，由向量的线性运算即可判断 【解答】 解：对于选项A：由向量共线定理知选项 A正确； 对于选项B：， 若与的夹角为锐角， 则， 解得， 当与共线时，，解得， 所以实数的取值范围是，故选项B不正确； 对于选项C：若，则， 因为，则与可能垂直，故选项C不正确； 对于选项D：若点G为的重心， 延长AG与BC交于M，则M为BC的中点， 所以， 所以，故选项D正确. 故选 10. 【分析】 本题考查复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轭复数、复数的模，属于基础题. 根据复数的四则运算、模长公式以及复数的概念，对各选项逐项判断，即可求出结果.  【解答】 解：设 ， A选项，若 ，则 ， 所以 或，当 时， 不符合题意，故 ， ， 所以是纯虚数，故A正确； B选项，若，则 ， 又 ，所以 与 不一定相等，故B错误； C选项，若 ，则或 故C正确； D选项，若 ， ，则 ， ，满足，但 、 的大小无法比较，故D错误. 故选 11. 解：A选项：由余弦定理知，，  因为CD是中线，则，  则， 则，故A正确；  B选项：因为，， 所以  所以，， 则，故B错误； C选项：， 即，  则，则，，故C正确； D选项：在中，  若D是线段AB的三等分点，则或， 在中，，  将或，代入计算得不到即，故D错误． 12. 【分析】 本题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边，属中档题． 要求树的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在由正弦定理可得． 【解答】 解：在，，，，   由正弦定理得： ，   ， 树的高度为  故答案为  13. 解：由， 得， 所以， 所以， 所以 故答案为： 14. 解：由， 得， 由正弦定理，得， 因C为锐角，， 则，故， 由，得， 则 设，， 则，即， 因，故，即，， 由基本不等式， 当且仅当时取等号， 则⟹， 故的最小值为 故答案为： 15. 首先求m，再根据复数的乘法运算公式，以及共轭复数，即可求解； 首先根据复数的除法计算公式求解，再根据复数的几何意义，列不等式，即可求解. 16. 由平面向量的数量积运算计算即可； 由平面向量的夹角公式直接计算． 本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题． 17. 由三角恒等变换，结合特殊角的三角函数求解． 由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解． 本题考查了三角恒等变换，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 18. 解：由得， 由正弦定理得， 得， 因为A，B为三角形内角，所以或舍去， 所以， 因，则 由得，AD平分，则， 设，因，则， 因为AD平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，， 在中由余弦定理得，， 得，， 又因为，则，，所以 在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 ， 因为为锐角三角形，， 解得，，则， 所以， 所以周长的取值范围为 利用正弦定理以及化简，得，即可求解； 设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得B，进而计算C； 利用正弦定理以及，将表示为关于角B的函数关系式，再根据锐角三角形求出角B的范围，即可求函数值域． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式的应用，属于中档题． 19. 由正、余弦定理结合条件计算即可求得； 由可得，求出，从而可求得，再由三角形的面积公式即可求得； 设，由的面积为面积的可得，再由平面向量的线性运算和数量积运算化简可得，再结合求其值域即可． 本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，正、余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $