第22章图形的相似单元测试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026-2027学年华东师大版九上第22章图形的相似单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 2．（3分）下列各点到y轴距离最小的是（　　） A．（﹣3，2） B．（2，3） C． D． 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0 D．已知点P（﹣5，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴 5．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（　　） A． B．2a C． D．4a﹣1 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，下列结论不成立的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 9．（3分）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽DE＝2.7m，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7m，窗高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高度BC是（　　） A．4m B．3m C．3.5m D．4.5m 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1）和（8，2），则在此图上熊猫馆位置的坐标是___________ ． 12．（3分）已知：，且a﹣2b+3c＝4，那么a＝__________________ ． 13．（3分）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_______ cm． 14．（3分）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则∠1，∠2、∠3这三个角的度数之和等于________ ． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE，垂足为G．若EG＝3，则正方形ABCD的边长为________________ ． 16．（3分）已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________ ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）已知点P（3m﹣6，m+2），请分别根据下列条件，直接写出点P的坐标： （1）点P的纵坐标比横坐标大4； （2）点P在过点A（﹣3，5）且与y轴平行的直线上； （3）点P到两坐标轴的距离相等； （4）点P到x轴的距离为2． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 19．（8分）如图．直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DE＝6，求DF的长． 20．（8分）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔AB的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为1.65米，其眼睛到地面的距离CD为1.50米，同时测得小明到镜子的水平距离DM＝0.3米，信号塔到镜子的水平距离BM＝4米．请根据以上数据，求信号塔AB的高度． 21．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，BC边上的高AD为6cm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长？ 22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC，求DC的长． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P（P为位似中心）成位似图形． （1）则点P的坐标为__________ ； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． （3）△A2B2C2的面积为_____ ． 24．（10分）如图，E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且FD•CD＝BD•AD． （1）求证：AE⊥BC； （2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【解答】解：由题知， 因为1×4≠2×3， 所以A选项不符合题意； 因为2×5≠3×4， 所以B选项不符合题意； 因为1×5≠2×3， 所以C选项不符合题意； 因为2×6＝3×4， 所以D选项符合题意． 故选：D． 2．（3分）下列各点到y轴距离最小的是（　　） A．（﹣3，2） B．（2，3） C． D． 【解答】解：点（﹣3，2）到y轴的距离为3，点（2，3）到y轴的距离为2，点（，）到y轴的距离为，点（，）到y轴的距离为， 而3＞2， 所以点（，）到y轴的距离最小． 故选：C． 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【解答】解：∵矩形的对应边不一定成比例， ∴A错误，不符合题意； ∵正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴B正确，符合题意； ∵各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴C错误，不符合题意； ∵相似比是对应边的比， ∴D错误，不符合题意． 故选：B． 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0 D．已知点P（﹣5，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴 【解答】解：因为点M坐标为（2，﹣5）， 所以点M到x轴的距离为：|﹣5|＝5， 故A选项不符合题意； 因为平方根等于本身的数只有0，1的平方根是±1， 故B选项不符合题意； 因为x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0， 所以点P（x，y）在坐标轴上时，xy＝0， 故C选项符合题意； 因为点P（﹣5，6），Q（﹣3，6）， 所以直线PQ∥x轴， 故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（　　） A． B．2a C． D．4a﹣1 【解答】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据黄金比例，列方程：， ． 答：相邻下一圈螺纹的直径约为． 故选：C． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 【解答】解：∵DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2， ∵在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC． ∴，则， ∴BE＝12． 故选：A． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，下列结论不成立的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴，∠ADE＝∠C，所以A选项符合题意，C、D选项不符合题意， ∴，所以B选项不符合题意． 故选：A． 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB， ∴△BFA∽△DFE， ∴， ∴， ∵AB＝CD， ∴DE：DC＝2：5， 故选：D． 9．（3分）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽DE＝2.7m，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7m，窗高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高度BC是（　　） A．4m B．3m C．3.5m D．4.5m 【解答】解：∵BD∥AE， ∴△CBD∽△CAE， ∴， 即， ∴CB＝4（m）． 答：窗口底边离地面的高度BC是4m， 故选：A． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 【解答】解：如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1）和（8，2），则在此图上熊猫馆位置的坐标是　（5，﹣1）　 ． 【解答】解：根据猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1）和（8，2），建立平面直角坐标系如下： 熊猫馆位置的坐标是（5，﹣1）． 12．（3分）已知：，且a﹣2b+3c＝4，那么a＝　　 ． 【解答】解：由条件可得，c＝3a， ∵a﹣2b+3c＝4， ∴a﹣5a+9a＝4， 解得． 故答案为：． 13．（3分）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为　32　 cm． 【解答】解：连接AB，CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∵像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O， ∴△COD∽△BOA， ∵AB＝6cm，CD＝3cm， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴OE＝2OF＝2×16＝32（cm）， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为32cm， 故答案为：32． 14．（3分）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则∠1，∠2、∠3这三个角的度数之和等于　90°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD，ABEF，EFHG都是边长为1的正方形， ∴∠1＝45°，AF＝AB＝BC＝1，AH＝2， 由勾股定理得AC， ∴，， ∴， 又∵∠CAF＝∠HAC， ∴△CAF∽△HAC， ∴∠2＝∠ACH， ∵∠1是△ACH的外角， ∴∠1＝∠ACH+∠3＝45°， ∴∠2+∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝45°+45°＝90°， 故答案为：90°． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE，垂足为G．若EG＝3，则正方形ABCD的边长为　2　 ． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a， 则在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝2a，∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠EAD＝90°， ∵E是CD的中点，， ∴， ∵EG＝3， ∴， ∵BF⊥AE， ∴∠AGB＝90°＝∠D， ∴∠BAG+∠ABG＝90°， ∴∠ABG＝∠EAD， ∴△ABG∽△EAD， ∴，即， 解得， ∴正方形ABCD的边长为， 故答案为：2． 16．（3分）已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝　1：5　 ． 【解答】解：过点D作DH∥BE交AC于H， ∵DH∥BE， ∴1，3， ∴AE＝EH，CH＝3EH， ∴AE：AC＝1：5， 故答案为：1：5． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）已知点P（3m﹣6，m+2），请分别根据下列条件，直接写出点P的坐标： （1）点P的纵坐标比横坐标大4； （2）点P在过点A（﹣3，5）且与y轴平行的直线上； （3）点P到两坐标轴的距离相等； （4）点P到x轴的距离为2． 【解答】解：（1）因为点P的纵坐标比横坐标大4， 所以m+2﹣（3m﹣6）＝4， 解得m＝2， 所以点P坐标为（0，4）； （2）因为点P在过点A（﹣3，5）且与y轴平行的直线上， 所以3m﹣6＝﹣3， 解得m＝1， 所以点P坐标为（﹣3，3）； （3）因为点P到两坐标轴的距离相等， 所以3m﹣6＝m+2或3m﹣6+（m+2）＝0， 解得m＝4或1， 所以点P坐标为（6，6）或（﹣3，3）； （4）因为点P到x轴的距离为2， 所以m+2＝±2， 解得m＝0或﹣4， 所以点P坐标为（﹣6，2）或（﹣18，﹣2）． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 【解答】证明：∵AB＝4，BD＝2， ∴， ∵AB＝4，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△BAC∽△BDA． 19．（8分）如图．直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DE＝6，求DF的长． 【解答】解：（1）∵直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F，AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴，即， ∴； （2）∵a∥b∥c， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴DF＝15． 20．（8分）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔AB的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为1.65米，其眼睛到地面的距离CD为1.50米，同时测得小明到镜子的水平距离DM＝0.3米，信号塔到镜子的水平距离BM＝4米．请根据以上数据，求信号塔AB的高度． 【解答】解：∵∠ABM＝∠CDM＝90°，∠AMB＝∠CMD， ∴△ABM∽△CDM， ∴， 即， ∴AB＝20（米）． 答：信号塔AB的高度为20米． 21．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，BC边上的高AD为6cm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长？ 【解答】解：一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，BC边上的高AD为6cm．则： 设正方形EFHG的边长为xcm， ∴EF∥BC． ∴△AEF∽△ABC． 设高AD与EF交于点K． ∵AD⊥BC，EF∥BC， ∴AD⊥EF，且四边形EGDK为矩形． ∴KD＝EG＝xcm． 由AD＝6cm，得AK＝AD﹣KD＝（6﹣x）cm． 根据相似三角形对应高之比等于相似比得， 代入得：， 解得：x＝4， 所以，这个正方形零件的边长为4cm． 22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC，求DC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴， 设CD＝x，则BD＝3﹣x， ∴， ∴x＝1或x＝2， ∴DC＝1或DC＝2． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P（P为位似中心）成位似图形． （1）则点P的坐标为　（0，2）　 ； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． （3）△A2B2C2的面积为　1　 ． 【解答】解：（1）连接A与A1、B与B1、C与C1，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为（0，2）； 故答案为：（0，2）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． （3）△A2B2C2的面积为， 故答案为：1． 24．（10分）如图，E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且FD•CD＝BD•AD． （1）求证：AE⊥BC； （2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC． 【解答】证明：（1）∵CD⊥BA， ∴∠ADF＝∠BDC＝90°， ∵FD•CD＝BD•AD， ∴， ∴△FAD∽△BCD， ∴∠F＝∠B， ∵∠BAE＝∠FAD， ∴∠AEB＝∠ADF＝90°， ∴AE⊥BC； （2）∵BE＝CE，AE⊥BC， ∴AB＝AC， ∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°， ∴△ABE∽△CBD， ∴， ∴， ∴BC2＝2BD•AC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 16:55:03；用户：王俊燕；邮箱：13400470610@xyh.com；学号：23751262 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $