七年级上册刘徽与割圆的测算专题训练--2026-2027学年统编版七年级历史上册

统编版·人教最新版《中国历史》七年级上册（2026年秋） 七年级上册刘徽与割圆的测算 专题训练 专题复习　贯通第四单元（三国两晋南北朝时期：政权分立与民族交融） （本卷共 14 小题，满分 100 分，建议用时 45 分钟） 一、方法指导 1．要说清刘徽与割圆的测算，先要知道它是一件以注书而立其术、以割圆而求其数的事：刘徽者，淄乡人，魏晋之世数学家；其注《九章算术》，于方田、商功诸章多所发明，又于圆田之术别出心裁，创为割圆之术，以圆内接正六边形为始，递倍其边，以至于九十六边，得圆周之率三丈一尺四寸有奇，世称徽率；又撰《重差》一卷，后人别行，是为《海岛算经》。读此专题，最要紧处是把三事分开看：一是割圆之术何以能立，二是其推算之次第如何，三是此一测算于古代算学有何位置。三者既明，则魏晋算学之所以精与其后祖冲之所以更进皆可得而言。 2．要说清割圆之术何以能立，须看其理其法其器。其一在其理：所说割之弥细，所失弥少说明，其以细分而减其差，凡分愈细者其差愈微；所说割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失说明，其极至之处与圆为一，凡极而不可复分者其数乃真。其二在其法：所说以圆内接正六边形为始说明，其起于易算之形，凡先易者其术可循；所说递倍其边，至于九十六边说明，其循其次而进，凡有次第者其功可积。其三在其器：所说以算筹布算说明，其以筹为具，凡有具者其数可核；所说算之必以矩度相参说明，其不专恃一端，凡相参者其误易见。合而观之，有其理以明其可至，有其法以循其可进，有其器以核其所得，便是割圆之术之所以能立。 3．要说清其推算之次第，可分三层。其一在立基：所说先求圆内接正六边形之周长说明，其初易得而以为本，凡有本者其后可推；所说六边形之边与半径等长，故其周为径之三倍说明，其初数之来有据，凡有据者其算不妄。其二在递进：所说倍之为十二边，又倍之为二十四边说明，其倍数有序，凡有序者其误可校；所说每倍一次，必以勾股求其新边之长说明，其每进皆依于前，凡相因者其法不乱。其三在得数：所说至九十六边而止，得周三丈一尺四寸有奇说明，其止于可用而止，凡知止者其力不费；所说以径一丈计之，则周三一四有奇说明，其以径为率而归于一，凡归一者其率可传。合而观之，立基以起其端，递进以积其功，得数以成其率，便是其推算的次第。 4．要说清此一测算于古代算学有何位置，可分两层。就本术之说：所说前人但言周三径一说明，其旧率粗而不足于用，凡率粗者其积必差；所说徽于是别求其真，使率有定数说明，其以密代疏，凡密者其用乃广。就流泽之说：所说其后祖冲之循其术而益精说明，其术既传则后人得以更进，凡有可承者其进易；所说祖氏定圆周率于盈朒二数之间，密到毫厘说明，其精至之境实基于割圆，凡基于前术者其功不可没。合而观之，在本术为破旧率而立新率，在流泽为开祖氏而启后学，便是刘徽与割圆应有的位置。 5．要说清其位置，可分两层。就当时之说：所说魏晋之世，谈玄者众而务算者寡说明，其风尚不在于实，凡尚虚者其业易废；所说徽独覃思于九章，成一家之说说明，其以实学自守，凡务实者其功可久。就后世之说：所说徽注既出，而九章之术始大明说明，其功在于发明而非创撰，凡善发明者其泽及后人；所说割圆之术为中国古代算学求圆周率之正途说明，其法不止于一数之得，凡可为法者其事为大。合而观之，在当时为实学之一脉，在后世为算学之一源，便是刘徽与割圆应有的位置。 二、单项选择（10 小题，每题 3 分，满 30 分） 1．刘徽所生活的时代是 A．东汉 B．魏晋 C．隋唐 D．明清 2．刘徽为之作注、并借此阐明算理的古代算书是 A．《九章算术》 B．《周髀算经》 C．《缀术》 D．《缉古算经》 3．刘徽用以推算圆周率的方法是 A．方程术 B．盈不足术 C．割圆术 D．正负术 4．刘徽割圆之术，起算所用的圆内接正边形是 A．正四边形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形 5．“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割”说的是 A．丈量土地时分割丘块的办法 B．割圆术中边数递增而逼近圆周的道理 C．铸造器物时分割铜料的方法 D．划分田赋等级的办法 6．刘徽所定圆周率的近似值是 A．3.1416 B．3.1428 C．3.14 D．3.1415926 7．刘徽所撰、唐以后单行为《海岛算经》的算书原名是 A．《缀术》 B．《五曹算经》 C．《重差》 D．《孙子算经》 8．继刘徽之后，把圆周率精确到小数点后七位的南朝数学家是 A．何承天 B．虞喜 C．张衡 D．祖冲之 9．刘徽为求球体体积而创设、后世称为牟合方盖的，是 A．一种用于推求体积的立体模型 B．一种量地的器具 C．一种记时的仪器 D．一种测天的浑仪 10．就实质而言，割圆术的价值在于 A．只是把周三径一的旧率重述一遍 B．专为丈量田亩而设 C．以有限逼近无限，使圆周率之求有法可循 D．专为推算历法而设 三、材料解析题（共 4 小题，第 11 题 16 分，第 12—14 题各 18 分，共 70 分） 第11题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料一　史载：徽注《九章算术》，于圆田之术曰：割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。（据有关史籍记载改写） 　　材料二　又载：徽以圆内接正六边形起，递倍其边，至九十六边，以径一丈计之，得周三丈一尺四寸有奇。（据有关史籍记载改写） 　　（1）根据材料一，说明刘徽割圆之说所依据的道理。 　　（2）根据材料二，指出刘徽推算圆周率的次第。 　　（3）综合材料一、二，说明其道理与其次第之间的关系。 第12题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料三　又载：徽又造《重差》一卷，以测望高远，后人名之曰《海岛算经》。（据有关史籍记载改写） 　　材料四　又载：徽于商功之章，谓球体之积古无其术，乃作牟合方盖以求之，虽未竟其功，而径以开后人之思。（据有关史籍记载改写） 　　（1）根据材料三，说明刘徽在测望之术上的创获。 　　（2）根据材料四，说明刘徽处理球体体积的做法。 　　（3）综合材料三、四，说明刘徽治算的特点。 第13题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料五　又载：徽注既成，九章之术始有以明其所以然，学者循其注而入，如暗得烛。（据有关史籍记载改写） 　　材料六　又载：后世祖冲之得其术而益精之，定圆周率于盈朒二数之间，为中国算学之一大进。（据有关史籍记载改写） 　　（1）根据材料五，说明刘徽之注对算学的意义。 　　（2）根据材料六，说明刘徽之术后世的命运。 　　（3）综合材料五、六，说明注与前术对后世算学的作用。 参考答案与评分说明 二、单项选择题 　　第1题 B；第2题 A；第3题 C；第4题 D；第5题 B；第6题 A；第7题 C；第8题 D；第9题 A；第10题 C 三、材料解析题 第11题 　　（1）其所依据的道理，材料一可分两层看。其一在渐近：所说割之弥细，所失弥少说明，其分愈细则差愈小，凡有差可减者其数可趋于真；所说割之又割说明，其不一次而止，凡不辍者其进不已。其二在极限：所说以至于不可割说明，其分之至极而无以复分，凡至极者其形与圆为一；所说则与圆周合体而无所失说明，其至极而后无余差，凡无余差者其率乃定。合而观之，以渐近而减其差，以极限而定其率，便是割圆之说所依据的道理。 　　（2）其次第，材料二可分三层看。其一在起算：所说以圆内接正六边形起说明，其初取易算之形以为本，凡有本者其后可推；所说六边形之边等于半径说明，其初数可得而无误，凡数有据者其算不妄。其二在倍增：所说递倍其边说明，其每次皆倍于前，凡倍增者其进有常；所说至九十六边说明，其止于九十六而不已，凡知止者其力不费。其三在得率：所说以径一丈计之说明，其以径为一而归之，凡归一者其率可比；所说得周三丈一尺四寸有奇说明，其得数有定而可传，凡有定者其用可广。合而观之，起于六边，倍至九十六，以径归一而得其率，便是刘徽推算的次第。 　　（3）其关系，宜分两层说。就相辅说：合材料一所说割之弥细观之，则虽有倍数之劳而无渐近之理则不知其何以益精，凡无理者其法为空，此其一。就相成说：合材料二所说至九十六边观之，则虽有理可据而不循其次第以算之，则终无其数，凡无数者其理为虚，此其二。合而观之，理为其所以然，次第为其所由行，理由次第而显，便是二者之间的关系。 第12题 　　（1）其创获，材料三可分两层看。其一在其术：所说造《重差》一卷说明，其别为一书而不附于注，凡别行者其术为专；所说以测望高远说明，其用在于量不可及之物，凡不可及者有待于术。其二在其传：所说后人名之曰《海岛算经》说明，其书单行而为一家，凡单行者其学易传；所说列为算经之一说明，其至唐而与诸经并列，凡列于经者其术为世所重。合而观之，创为专术以测高远，单行成书而列于算经，便是刘徽在测望之术上的创获。 　　（2）其做法，材料四可分两层看。其一在知难：所说球体之积古无其术说明，其前未有其法，凡无旧法者其事为难；所说徽明言其难而不妄为之说说明，其不掩饰其所不知，凡知不知者其学为真。其二在立法：所说乃作牟合方盖以求之说明，其别构一形以当其体，凡能构形者其径已开；所说虽未竟其功说明，其终未得其数，凡有未竟者其志不止。合而观之，先明其难而不苟，后立其形以开其径，便是刘徽处理球体体积的做法。 　　（3）其特点，宜分两层说。就所务说：合材料三所说造《重差》观之，则其学不止于注前人之书而能自出机杼，凡能自出者其术日新，此其一。就所持说：合材料四所说未竟其功观之，则其于所不能者明言而不讳，凡不讳者其言可信，此其二。合而观之，既能创为新术，又能明言所不能，便是刘徽治算的特点。 第13题 　　（1）其意义，材料五可分两层看。其一在明理：所说九章之术始有以明其所以然说明，其不但言其法而且言其故，凡知故者其用不穷；所说以注释术说明，其功在于使人知其然又知其所以然，凡两知者其学乃固。其二在导学：所说学者循其注而入说明，其后学有门径可循，凡有门径者其入不难；所说如暗得烛说明，其明之效见于学者之目，凡能明人者其功为大。合而观之，明其理以立其本，导其学以开其途，便是刘徽之注的意义。 　　（2）其命运，材料六可分两层看。其一在承：所说祖冲之得其术说明，其术不随其人而亡，凡有传者其学不坠；所说得其术而益精之说明，其承之者不止于守，凡能益者为善承。其二在进：所说定圆周率于盈朒二数之间说明，其以两限夹之而数益密，凡有夹之者其真可定；所说为中国算学之一大进说明，其功为举世所认，凡公认者其功不磨。合而观之，其术有人承之，其承之者又能进之，便是刘徽之术后世的命运。 　　（3）其作用，宜分两层说。就所启说：合材料五所说学者循其注而入观之，则注之设原为使人可入，凡可入者其传乃广，此其一。就所成说：合材料六所说益精之观之，则既有可入之门，而后能进者得缘之而上，凡有待于前者其进非自起，此其二。合而观之，注以启其途，前术以成其进，便是二者对后世算学的作用。 复习备考提示 ·　刘徽，魏晋时人，为《九章算术》作注，于算理多所发明。 ·　徽创割圆术：割之弥细，所失弥少，以至于不可割，则与圆周合体。 ·　其术以圆内接正六边形起，递倍其边，至九十六边，得周三一四有奇。 ·　徽又造《重差》一卷，专言测望高远，唐以后单行为《海岛算经》。 ·　于球体体积，徽作牟合方盖以求之，虽未竟功而径已开。 ·　后世祖冲之循其术益精，定圆周率于盈朒二数之间。 学科网（北京）股份有限公司 $