29.2.1 垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 圆的对称性 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 垂直于弦的直径 9. 对接中考 6. 知识点3 垂径定理的应用 1. 通过探究理解圆的对称性，感悟圆的对称美. 2. 探索并证明垂径定理，能应用垂径定理及其推论解决相关问题，发展推理能力. 学习目标 知识回顾 连接圆上任意两点的线段叫作弦. 经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. 弦的定义 弧的定义 新课导入 对于圆，与之相关的几何对象有线段、弧和角. 研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系. 我们先来研究与圆有关的线段. 与圆有关的线段主要是直径和弦，而提到直径，你能想到圆的哪种对称性？ 新课讲解 知识点1 圆的对称性 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？ 重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？ ●O 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 如何证明这个结论呢？ 新课讲解 如图，设AB是⊙O 的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′=OM， 因此点M′在⊙O 上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. M′ M A B N O 新课讲解 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴. 直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径”. O 总结 新课讲解 练一练 下列说法中，不正确的是 ( ) C A. 圆是轴对称图形 B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 新课讲解 知识点2 垂直于弦的直径 思考 M′ M A B N O 相等的线段： MN=M′N. 相等的弧： ， . 回顾刚才的证明过程，⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直线AB的对称点，把圆沿着直径AB对折，你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 新课讲解 ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AM=BM， ( ( AC =BC， ( ( AD =BD. 数学语言： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段，如下图所示. 垂径定理 新课讲解 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是， 因为没有垂直 是 不是， 因为CD没有过圆心 练一练 A B O E 新课讲解 知识点 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 新课讲解 垂径定理的推论 知识点 “不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 数学语言 · O A B C D ∵ CD是直径， AM=BM， ∴ CD⊥AB， ( ( AC =BC， ( ( AD =BD. 新课讲解 在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个： ①经过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 简称“知二推三”. 新课讲解 例 B 1. 如图，的半径为5，弦 ，于点，则 的长为 ( ) A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 解：的半径为5， 弦 ，， ， ， . 新课讲解 例 B 2. 如图，，，都是 的半径，，交于点.若， ，则 的长为 ( ) A. 5 B.4 C.3 D.2 解：， （垂径定理的推论）. 在 中， ， ， ． 新课讲解 例 3. 如图，是的弦，直径于点 ，，，则线段 的长为_____. 解：如图，连接， 是 的弦，直径， ， ， ， ，， ， ， . 新课讲解 一构造：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； 二求解：用勾股定理，列方程求解. （如图 ，） 弦，弦心距，弓形高，半径之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 用垂径定理求相关线段长的方法 新课讲解 练一练 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1. 如图，是的直径，是 的一条弦，于点 ，则下列结论： ； ；； . 其中一定正确的有 ( ) C 新课讲解 练一练 2. 已知的半径为2，点为内一定点，且 .过点作 的弦，其中最短的弦的长度是 ( ) C A. 4 B. C. D. 2 解：如图，当过点的弦与垂直时，弦长最短，此时，连接 . 在中，，， ， ， 最短的弦的长度是 ． 新课讲解 练一练 3. 如图，的直径为10，弦的长为6， 为弦上的动点，则线段 的长的取值范围是____________. 解：由题意，知当点与点（或点 ）重合时，取得最大值， 当时， 取得最小值. 如图，连接，过点作于点 ， 则 的直径为10， . 在 中，由勾股定理， 得， 线段 的长的取值范围是 . 新课讲解 知识点3 垂径定理的应用 例 4. 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 新课讲解 解：如图， 表示主桥拱，设  所在圆的圆心为 O，半径长为  m. 经过圆心O作弦 AB的垂线 OC，D 为垂足，OC 与  相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理，D 是 AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知AB=37， CD=7.23， ∴ ADAB×37=18.5. OD=OC-CD=R-7.23. 在 Rt△OAD 中，由勾股定理， 得 即 解得R27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 例 4. 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥 主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 新课讲解 例 A. B. C. D. 5. 如图1，有一个底部呈球形的烧瓶，图2是底部球形的平面简易图，球的半径为 ，瓶内液体已经过半，最大深度 ，则过球心的竖直截面圆中弦 的长为 ( ) C 解：如图，连接.由题意，得， ， ， ， ， ， ． 新课讲解 练一练 1. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉. 在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 AB=1 尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸. 解：设该圆材的半径为 x 寸. AB=1 尺 = 10寸. 如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 D，交 于点 C，连接 OA， 则 CD=1 寸，OA=x 寸，AD=BDAB=5寸. 在 △AOD 中，，即 ， 解得 x=13，则 2x=2×13=26，即该圆材的直径为26寸. 26 A B O C D 1  x   x-1   5 新课讲解 练一练 2. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为 ，桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为 . (1) 求桥拱的半径； 解：由题意得，点是的中点， ， . 由题意知，又 ， . 由勾股定理，知 ， 即， . 答：桥拱的半径是 . 新课讲解 练一练 2. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为 ，桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为 . (1) 求桥拱的半径； (2) 现水面上涨后水面跨度为， 则水面上涨的高度为____ . 解：如图，设水面上涨后水面跨度为 ， ，交于点，连接 ，则 ，， ， ． 10 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距. 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 当堂小练 证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD. E 1. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证 AC=BD. 当堂小练 2. 如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形. 证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形ADOE是矩形. ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC，AD=AB. 又AB=AC， ∴AE=AD， ∴四边形ADOE是正方形. 当堂小练 3. 在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离 的取值范围是__________. 解：如图，，，过点作 于点，于点，连接， ，则 ，， 在 中，， 在 中，， 点在以点 为圆心，4为半径的圆上； 点在以点为圆心，3为半径的圆上. 两圆上两点之间的最小距离为； 两圆上两点之间的最大距离为， 的取值范围为 . 当堂小练 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（ O在水面上方）为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB的长为6米，点C为运行轨道的最低点，OC⊥AB于点D，点C到水面的距离是1米，求⊙O的半径． 解：如图，连接OA. 由题意，得OA=OC=1+OD，OC⊥AB， ∴OD=OA-1，AD=BD=AB=3. 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2， 即OA2=(OA-1)2+32，解得OA=5， 即⊙O的半径为5米． 当堂小练 5. 如图，将一个矩形纸片盖在 上，矩形的边与圆交于点，，，已知的顶端到直线的距离为 ，求 半径的长. 解：如图，连接，过点作于点 ，反向延长交于点，设的半径长为 . 由题意得， ， ，， . 在中，由勾股定理得 ， 即，解得 ， 的半径长为 . 当堂小练 6. 已知圆O的直径CD=10 cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD ，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为( ) A.2cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm. 解：∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD， AB=8 cm， · O A B C D M 图1 ∴AM=AB= 4 cm，OD=OC=5 cm， ①当AC的位置如图1所示时，连接AO. ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3 cm， ∴CM=OC+OM=8 cm， ∴AC= =4cm. ②当AC的位置如图2所示时， · O A B C D M 图2 同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴CM=5-3=2（cm）， ∴ AC= =2(cm)． C 当堂小练 7. 已知⊙ O 的直径为 10， AB， CD 是两条平行的弦，且AB=6， CD=8，求 AB， CD 之间的距离 . 方法点拨：题中没有明确弦AB， CD在圆中的位置，解答问题时要考虑弦AB， CD在圆心O的 同侧与异侧两种情况. 解： ∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5.分为两种情况： ①如图 29.2-18，当弦 AB， CD 在圆心 O 的同侧时，过点 O 作 OF ⊥ AB 于点 F，交 CD 于点 E，连接 OC， OA. ∵ AB ∥ CD，∴ OE ⊥ CD. 由垂径定理，得 CE= CD=4， AF= AB=3. 在 Rt △ OCE 中， OC=5， CE=4，由勾股定理，得 OE= =3. 在 Rt △ OAF 中， OA=5， AF=3，由勾股定理，得 OF= =4. 故两条平行弦 AB 与 CD 之间的距离是 4－3=1； 当堂小练 解：②如图 ，当弦 AB， CD 在圆心 O 的异侧时，过点O 作 AB 的 垂 线，交 AB 于 点 F，延 长 FO，交 CD 于 点 E. 连 接OA， OC. ∵ AB ∥ CD， ∴ EF ⊥ CD. 由垂径定理，得 CE= CD=4， AF= AB=3. 在Rt△ OCE中， OE= = =3. 在 Rt△ OAF中， OF= = =4. 故两条平行弦 AB 与 CD 之间的距离是 3+4=7. 综上所述， AB， CD 之间的距离是 1 或 7. 7. 已知⊙ O 的直径为 10， AB， CD 是两条平行的弦，且AB=6， CD=8，求 AB， CD 之间的距离 . 当堂小练 8. 如图，在中，是的直径，是 的弦，的中点在直径上，， . (1) 求的面积；（结果保留 ） 解：如图，连接 . 是的直径，点为的中点， ， ， . 设的半径为 ， 在 中，由勾股定理， 得 ， ，的面积 . 当堂小练 8. 如图，在中，是的直径，是 的弦，的中点在直径上，， . (2) 连接，过圆心向作垂线，垂足为点，求 的长. 解：如图，连接 . 由(1)知， ， 在中， . ， . 又， 是 的中位线， . 由(1) 知， , ， . 在中， . ， . 在中， . 1. 如图，在平面直角坐标系中，直径为10的交 轴于点，，交轴于点，，且点， 的坐标分别为，，则圆心 的坐标为______. 对接中考 解：如图，过点作于点，连接 ，则 ，， ， ， 的直径为10，. 在 中，由勾股定理，得 ， 圆心的坐标为 . 对接中考 2. 如图，在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标是(3，a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被圆P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是( ) A.4 B.3+ C.3 D.3+ 解：作PC⊥x 轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，如图. x y O A B P D E ∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a. 把x=3代入y=x，得y=3， ∴CD=3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠ODC=45°， ∴∠PDE=∠ODC=45°. ∵PE⊥AB，∴△PED也为等腰直角三角形. ∵PE⊥AB， ∴AE=BE=AB= =2， 在Rt△PBE中，PB=3， ∴PE=1， ∴PD=PE= ， ∴a=3+． D 1. 如图，这是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底截线，弦是水位线， ，，于点 . (1) 当测得水面宽 时，求此时水位的高度 ； (2) 当水位的高度比(1)上升时，有一艘宽为 ，船舱顶部高出水面 的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形 ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞. 拓展与延伸 解：(1) ， ， ， ， .易知 ， 此时水位的高度 . (2) 由(1) 中水位高度为 可知此时 . 如图，延长交于，连接 ，则 . 货船宽为，船舱顶部高出水面 ， ，货船居中行驶时 ， .， 该货船能顺利通过桥洞. 拓展与延伸 2. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径 ，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为____ .（玻璃瓶厚度忽略不计） 7.5 解：如图，设球心为点，连接，，过点 作于点. 设球的半径为 ，由题意， 得， . 由垂径定理，得. 在 中，由勾股定理，得， 即，解得 ， 即球的半径为 . $