29.1.2 过三点的圆（第1课时） 教案（含大单元教学设计） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

分课时教学设计 第二课时《29.1.2 过三点的圆（第1课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是圆的有关概念的延伸，承接上一课圆的定义，以过一个点、两个点、不在同一直线上的三个点作圆展开探究，得到核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，由此引出三角形外接圆、外心概念．本节课把尺规作图、垂直平分线旧知和圆的新知结合，是平面几何作图的重要内容．外心是三角形三边垂直平分线交点，沟通三角形与圆的联系，为后续四点共圆、圆内接多边形做好铺垫．学生经历动手作图猜想、逻辑确认定理的探究过程，体会确定圆的两个要素：圆心、半径．本节课训练学生几何作图与推理能力，体现"作圆转化为确定圆心"的数学转化思想，在本章的概念体系中起到承上启下的关键作用． 学习者分析 学生已经掌握线段垂直平分线的尺规作图与性质，知道垂直平分线上点到线段两端距离相等，具备尺规作图基础．学生能够理解"两点确定一条直线"，但是对于"几点确定一个圆"没有认知．学生动手作图的时候，能够画出过一点、两点无数个圆，但不容易自主发现：过三点作圆，圆心是两条垂直平分线交点．学生容易忽略前提条件"不在同一直线上"，直接记忆"三点确定一个圆"，漏掉关键条件．学生小组动手探究可以降低理解难度，教师需要反复强调定理的限制条件，结合作图错误案例加深印象． 教学目标 1.经历探究过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2.掌握尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 3.了解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点． 教学重点 不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心概念． 教学难点 理解作圆本质是确定圆心；作图理解为什么三点共线不能作出圆． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.经历探究过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2.掌握尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 3.了解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题1：圆由哪两个要素确定？ 答案：圆心、半径 问题2：线段垂直平分线有什么性质？ 答案：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 导入：我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ 引出课题． 学生活动2： 学生回忆旧知，集体作答． 活动意图说明： 复习圆心半径、垂直平分线性质，为本课探究作圆找圆心做好知识铺垫，类比直线引出本节课探究问题． 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：(1)经过一个点能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ (2)经过两个点能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点? (3)经过不在同一条直线上的三个点能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 分析：作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 解：(1)经过一个点作圆，只要以点以外任意一点为圆心，以这一点与点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个(如图所示) (2)经过两个点作圆，由于所作圆的圆心到两点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个(如图所示). (3)经过不在同一条直线上的三个点作圆，因为所作的圆要经过三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等，所以所作圆的圆心既要在线段的垂直平分线上，又要在线段的垂直平分线上，显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 可以用直尺和圆规作出经过三点的圆.如图所示，分别作线段和的垂直平分线，设相交于点，则.以点为圆心，为半径，作出就是经过三点的圆. 指出：由作法可知，线段的垂直平分线有且只有一个交点，所以的圆心是确定的，进而其半径也是确定的.因此，经过三点可以作一个并且只可以作一个圆. 归纳：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 温馨提示： (1)三个点确定一个圆的前提是“三个点不在同一条直线上”． (2)“确定”的含义是“有且只有”的意思，即经过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆． 讲解：如图所示，连接AC．由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 例：如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为原来的模样，你有办法复原吗？（保留作图痕迹） 解：在圆弧上任取三点A，B，C，连接AB，BC．分别作出AB，BC的垂直平分线，其交点为O．连接AO，以O为圆心，AO为半径，画出这个圆． 归纳：确定圆心的方法 (1)不在同一条直线上的三点确定一个圆，三点所连线段的垂直平分线的交点即为圆心； (2)先确定直径，两条直径的交点或一条直径的中点即为圆心． 学生活动3： 学生跟随教师阅读教材；思考回答相关问题；小组合作尺规作图，完成三角形外接圆，小组互相检查作图，小组代表上台展示作图成果． 活动意图说明： 借助教材三个探究问题开展教学；落实教材定理与概念；小组动手作图，体会确定圆心的原理；强调定理"不在同一直线上"的前提条件，突破难点． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：29.1.2 过三点的圆（第1课时） 一、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 二、三角形的外接圆 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 答案：A 2．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°． 答案：73 3．如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示，即为所求 选做题： 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 解：将三棵古树看作三个点，分别连接其中两棵古树得到两条线段，作出这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为经过三棵古树的圆的圆心，该点就是所求圆形广场的圆心，以该点为圆心，以到古树的距离减去为半径作圆，即可满足古树都在圆形广场边缘外处的要求． 如图，点O即为圆形广场的圆心 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 答案：② 3．（1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 解：（1）如图即为所求， （2）连接， ， ， ， ， 故答案为：． 选做题： 4．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 答案：A 【综合拓展类作业】 5．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 解：（1）如图所示，点即为所求． （2）连接， ， 故外接圆的面积为． 教学反思 本节课以教材探究为主线，学生小组尺规作图参与度较高，但部分学生尺规作图不规范，垂直平分线画得不准确．不少学生口头复述定理会漏掉"不在同一直线上"的关键条件，是高频易错点．课堂对于"共线三点不能作圆"只做简单说理，没有展开深入，部分学生理解模糊．后续练习中要加强定理条件辨析，增加错题辨析，强化作图规范性训练，加深学生对外心概念的理解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科《圆》单元教学设计 数学 年级 九年级 设计者 教材版本 人教版 册、章 上册第二十九章 课标要求 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系． 2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 4．了解三角形的外心． 5．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 6．会计算圆的弧长、扇形的面积． 7．通过实例体会反证法的含义． 内容分析 本章是初中平面几何中研究曲线图形的重要单元，是在学生学习三角形、四边形等直线型几何、图形变换之后开展教学．教材从生活中的圆形实例入手，从动态旋转与点的集合两个角度定义圆，依次学习圆的基本概念、点与圆的位置关系、垂径定理、圆心角与圆周角定理、圆内接四边形性质，最后学习弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算．圆兼具轴对称与旋转对称性，本章充分利用对称性推导各类定理，是对前面全等、勾股定理、图形变换知识的综合运用．本章渗透数形结合、转化、反证法等数学思想，既是初中几何知识的重要收尾，也为后续高中解析几何、三角函数的学习打下基础．同时结合赵州桥、古代铜镜等素材，体现数学文化价值，培养学生几何直观与逻辑推理素养． 学情分析 学生在小学已经对圆有直观认识，已经掌握直线型图形的证明、勾股定理、旋转与轴对称等知识，具备初步尺规作图和简单演绎推理能力．但学生长期接触直线图形，对于曲线图形的性质比较陌生；本章概念多，弦、弧、圆心角、圆周角等概念容易混淆．学生对于借助圆的对称性推导定理的思路不易理解，辅助线的添加没有固定套路．同时，学生容易把直线图形的思维直接套用到圆的问题中，在定理综合计算、推理证明、数形结合运算方面存在困难，需要借助动手探究、问题串降低思维难度，逐步建立曲线图形的研究思维． 单元目标 （一）教学目标 1．理解圆的定义，掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等基本概念；掌握点和圆的三种位置关系；会用尺规作过不在同一直线上三点的圆，了解三角形的外心，初步了解反证法． 2．探索圆的轴对称、旋转对称性，掌握垂径定理及其推论；掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系． 3．掌握圆周角定理及其推论，理解直径与圆周角的关系；掌握圆内接四边形对角互补的性质，能够进行角度计算与简单证明． 4．理解弧长、扇形面积公式的由来，会计算弧长、扇形面积，掌握圆锥侧面积、全面积的计算方法，能解决简单实际问题． 5．在探究定理、尺规作图过程中，体会数形结合、转化思想，发展几何直观与逻辑推理，感受圆在生活、传统文化中的应用价值． （二）教学重点、难点 重点： 1．圆的相关基本概念；垂径定理及其推论；同圆或等圆中弧、弦、圆心角的关系． 2．圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，能够运用定理进行角度计算与简单几何推理． 3．弧长、扇形面积、圆锥侧面积相关公式，运用公式解决有关计算和简单实际问题． 难点： 1．利用圆的轴对称性、旋转对称性推导相关定理，结合图形合理添加辅助线解决圆的几何问题． 2．区分圆中易混淆概念，综合运用多个定理完成圆的几何证明与角度、线段的综合计算． 3．弧长、扇形、圆锥相关公式的理解与综合运算，结合实际情境提取几何模型解决问题． 单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 1-3 圆的有关概念 3 4-7 圆的有关性质 4 8-9 弧长和扇形面积 2 10 数学活动——四等分圆周与探究四点共圆的条件 1 11 章末复习 1 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 29.1.1圆的有关概念 1.结合实例，从动态、集合两个角度理解圆的定义，认识圆心、半径． 2.探索点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离d与半径r的数量关系判断位置． 3.理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧的相关概念，能辨析易混淆概念． 1.能说出圆的两种定义，准确识别圆心、半径． 2.能根据d和r的大小关系判断点与圆的位置关系． 3.能区分弦与直径、弧与半圆、等圆与等弧，正确判断相关说法正误． 4.能在圆的图形中标注出弦、直径、优弧、劣弧． 任务一：认识圆的定义，举出生活中的圆实例． 任务二：探究点和圆的位置关系 任务三：完成教材例题，识别圆相关概念． 29.1.2过三点的圆（第1课时） 1.经历探究过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2.掌握尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 3.了解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点． 1.能说出"不在同一直线上三点确定一个圆"，理解三点共线不能作圆． 2.能独立用尺规作出过不在同一直线上三点的外接圆． 3.能说出三角形外心的定义，知道外心到三角形三个顶点距离相等． 任务一：动手探究过1个点、2个点、3个点作圆，理解定理． 任务二：尺规作图，作三角形的外接圆． 任务三：了解三角形外接圆、外心的概念． 29.1.2过三点的圆（第2课时） 通过实例体会反证法的含义，了解反证法基本思路． 能说出反证法大致步骤，读懂教材反证法证明． 任务：阅读教材反证法案例，完成简单说理练习． 29.2.1垂直于弦的直径 1.通过折叠探究，理解圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴． 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.会运用垂径定理进行简单线段、弧长的计算与证明，会添加对应辅助线． 1.能说出圆的轴对称性，完整表述垂径定理内容． 2.能结合图形写出垂径定理的几何符号语言． 3.能构造直角三角形，结合勾股定理利用垂径定理进行计算． 任务一：动手折叠圆纸片，探究圆的轴对称性，猜想垂径定理． 任务二：学习教材例题，利用垂径定理解决弦长、半径计算问题． 29.2.2圆心角 1.理解圆心角的概念，认识圆心角所对的弧、弦． 2.探究同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的相等关系． 3.会运用三者之间的关系进行简单证明和角度、线段推理． 1.能在圆中识别圆心角，说出圆心角所对的弧和弦． 2.能表述同圆或等圆中弧、弦、圆心角的互推关系． 3.能利用三者相等关系，完成简单几何证明． 任务一：旋转圆形纸片，探究圆心角、弧、弦之间关系． 任务二：研读教材例题，利用圆心角性质进行证明． 29.2.3圆周角（第1课时） 1.理解圆周角定义，能区分圆周角与圆心角． 2.探索圆周角定理，掌握圆周角定理的推论． 3.会运用圆周角定理及其推论解决实际问题． 1.能判断一个角是不是圆周角． 2.能完整表述圆周角定理及其推论，理解定理的推导思路． 3.能利用圆周角定理进行求解或证明． 任务一：对比圆心角，认识圆周角，辨析图形． 任务二：分类探究圆周角定理及推论，完成教材例题． 29.2.3圆周角（第2课时） 1.理解圆内接多边形、多边形的外接圆的概念，掌握圆内接四边形对角互补的性质． 2.综合运用圆内接四边形对角互补的性质解决角度计算与简单证明． 1.记住圆内接四边形对角互补，进行角度计算． 2.能综合圆周角定理及其推集结完成几何推理． 任务一：探究圆内接四边形对角关系 任务二：完成教材例题． 29.3弧长和扇形面积（第1课时） 1.理解弧长公式的推导过程，掌握弧长计算公式． 2.理解扇形定义，推导扇形面积两个计算式． 3.会直接利用弧长、扇形面积公式进行相关计算． 1.能说出弧长、扇形面积公式的由来，记住公式． 2.能代入圆心角、半径，正确计算弧长、扇形面积． 3.能在简单情境中识别扇形，选取合适公式计算． 任务一：由圆周长推导弧长公式，由圆面积推导扇形面积公式． 任务二：完成教材例题，运用公式进行计算． 29.3弧长和扇形面积（第2课时） 1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念． 2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形． 3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题． 1.能识别圆锥母线、高、底面半径，理清三者数量关系． 2.能说出圆锥侧面展开图与原扇形各元素的对应关系． 3.能计算圆锥侧面积与全面积，解决简单实际应用题． 任务一：剪开圆锥模型，观察侧面展开图，寻找各量对应关系． 任务二：研读教材例题，完成圆锥面积相关计算． 数学活动：四等分圆周与探究四点共圆的条件 1.通过动手操作，尝试四等分圆周，感受圆的对称性． 2.探究四点共圆的条件，理解四点共圆的判定思路． 3.在探究活动中体会观察、猜想、验证的数学研究方法，提升几何直观． 1.能借助尺规完成四等分圆周的操作． 2.能说出四点共圆的基本条件，会简单判断四点能否共圆． 3.能小组合作完成探究，表达自己的猜想与推理． 任务一：动手尺规作图，四等分圆周． 任务二：小组合作，画图、测量、猜想，探究四点共圆的条件． 第29章圆章末复习 1.梳理本章圆的基本概念、定理、公式，构建知识框架． 2.能综合运用垂径定理、圆心角、圆周角、弧长扇形面积等知识解决问题． 3.总结圆中辅助线添加思路，提升综合几何推理能力． 1.能独立梳理本章知识结构图，复述核心定理与公式． 2.能综合运用多个圆的定理完成计算与证明． 3.能根据题型，合理添加圆中常用辅助线． 任务一：结合教材回顾与思考问题，小组合作梳理全章知识思维导图，辨析易错概念 任务二：典型例题巩固，完成旋转计算、中心对称作图、原点对称坐标综合练习 圆 圆的有关概念 任务一：圆的有关概念 任务二：过三点的圆 任务三：反证法 圆的有关性质 任务一：垂直于弦的直径 任务二：圆心角 任务三：圆周角 任务四：圆内接四边形 弧长和扇形面积 任务一：弧长和扇形面积 任务二：圆锥的侧面积和全面积 数学活动 活动：四等分圆周与探究四点共圆的条件 章末复习 任务：对本章内容进行回顾和思考 学科网（北京）股份有限公司 $