第3章 函数的概念与性质 章末归纳提升-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 章末归纳提升 对应学生用书P91 [网络构建] 定义域→自变量x的取值范围 概念 对应关系 值域→函数值构成的集合 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表 一次函数棋型的应用 示函数关系的方法 表示方法 图象法：用函数图象来表示函数的方法 →二次函数模型的应用 函数的 解析法：用代数式（或解析式）来表示函数的方法 →反比例函数模型的应用 函数的 增函数→x1>x2→f(x1)>f(x2) 念与性质 单调性 应用 幂函数模型的应用 减函数→x1>x2→f(x1)<f(.x2) 基本性质 奇函数 f(-x)=-f(x) →“对勾”函数棋型的应用 →奇偶数 偶函数→f(-x)=f(x) →分段函数棋型的应用 最大值 →最值 最小值 →图表型函数的应用 定义：y=x“(a∈R) 幂函数 五个具体幂函数的图象和性质 幂函数的图象和性质 [归纳提升] 题型二 求函数的定义域 (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2]，则 求函数定义域的类型与方法 y=f(1一3.x)的定义域为 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有 A专 B【-33] 意义的自变量的取值集合. (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意 C.[0,1] D【子 义，还应考虑使实际问题有意义， [解析] (1)由题意知 11-x>0, ,解得x<1且x (3)复合函数问题 3.x-1≠0 ①若f(x)的定义域为[a,b],f[g(x)]的定义域应 由a≤g(x)≤b解出； ≠分即f)的定又战是(-u(信小月 ②若f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义 (2)由y=f(.x-1)的定义域是[-1,2]，则x-1∈ 域为g(x)在[a,b]上的值域. [-2,1],即f(x)的定义域是[-2,1]，令-2≤1 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相 3x≤1，解得0≤x≤1，即y=f(1-3.x)的定义域为 同； [0,1]. ②定义域所指永远是自变量x的范围. [答案](1)D(2)C ◇[变式训练] [例1](1)函数f(.x)= 2x+(3x-1)°的定义 1- 1.已知函数f(x)的定义域为(2，十∞)，值域为R,则 () 域为 A.函数f(x2+2)的定义域为R A.(-0,3) (合 B.函数f(x2十2)-2的值域为R c() D.(-,U C.函数f(,x2+2x十3)的定义域和值域都是R D.函数f(f(x)的定义域和值域都是R 134· 第三章函数的概念与性质 解析：B[对于A选项，令x2十2>2，可得x≠0， ◇[变式训练] 所以函数f(x2十2)的定义域为{xx≠0}，故A错 2.(1)已知f(x+1)=x2-5.x十4，则f(x)= 误；对于B选项，因为f(x)的值域为R,x2十2≥2， (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2, 即x2+2可取遍(2，+o∞)内的所有数，所以f(x2 f(2)=5,则该二次函数的解析式为 十2)的值域为R,可得函数f(x2+2)-2的值域也 (3)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,则f(x)的解析 为R,故B正确；对于C选项，令x2十2x十3=(x十 式为 1)2+2>2,得x≠-1，所以函数f(x2+2x+3)的 定义域为{xx≠一1}，故C错误；对于D选项，函 解析：(1)令x+1=t, 数f(f(x)的定义战为r>2, 则x=t-1, 的解集，故函数 f(x)>2 因为f(x+1)=x2-5x+4, f(f(x)的定义域不为R,故D错误.] 所以f(t)=(t-1)2-5(t-1)+4=t2-7t+10, 题型三 求函数的解析式 所以f(x)=x2-7x+10. 求函数解析式的题型与相应的解法 (2)设二次函数的解析式为f(x)=a.x2十b.x十c(a (1)已知形如f[g(x门的解析式，求f(x)的解析式， fc=1, 使用换元法或配凑法. ≠0)，由题意得 a+b+c=2, (2)已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数）， 4a+2b+c=5, 使用待定系数法 fa=1, (3)含f(.x)与f(-x)或f(x)与f(1),使用解方程 解得{b=0,故f(x)=x2+1. 组法。 c=1, (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式， (3)令t=x-1,则x=t+1,t∈R, 可用奇偶性转移法. 原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1), ① [例2](1)已知f(√元-1)=x-2√x,则f(.x)的解析 以-t代替t,①式变为3f(-t)+2f(t)=2(1-t), 式为 ② (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)=1, 并且Vx,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y 由①©清去(-)得0=2+号， +1),则f(x)= [解析](1)f(.x)=x2-1(x≥-1)(2).x2+x+1 故f)=2+号 [(1)法一（换元法）令t=√(-1，t≥-1，则x= 答案：(1)x2-7x+10 (t+1)2,所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t≥ (2)f(.x)=x2+1 -1), 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥一1). (8)f)-2x+号 法二（配凑法）f(x-1)=x-2√ 题型写 分段函数 =x-2√+1-1=(W-1)2-1. 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变 因为√元-1≥一1，所以函数的解析式为 量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式 f(x)=x2-1(x≥-1). 求值.当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次 (2)法一由已知条件得f(0)=1, 求值. 又f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先 令y=x,则f(x-y)=f(0) 假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后 =f(x)-x(2x-x十1)=1， 所以f(.x)=x2十x十1. 求出相应自变量的值，切记要检验 法二令x=0,得 3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范 f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的 即f(-y)=1-y(-y+1), 各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取 将-y用x代换得f(x)=x2+x十1.] 值范围，再求它们的并集即可. ·135· 数学·必修第一册 [例3]设f(x)= W(,0<x<1, [例4幻(1)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在 若f(a)=f(a+1), 2(x-1),x≥1. (-∞，0]上是塔函数，若f(a)≤f(2),则实数a的 则r) 取值范围是 ( A.a≤2 B.a≥-2 A.2 B.4 C.6 D.8 C.-2≤a≤2 D.a≤-2或a≥2 [解析]当0<a<1时，a十1>1， (2)已知f(x)=x(x≠a). f(a)=√a,f(a+1)=2(a+1-1)=2a, x-a f(a)=f(a+1), ①若a=-2,试证明f(x)在（一∞，-2）内单调 a=2a,解得a=子 递增； ②若a>0且f(x)在(1，十∞)内单调递减，求a的 f(日)=f)=2x4-1D=6. 取值范围 (1)[解析]D[因为y=f(x)是偶函数，且在 [答案]C (一∞，0]上是增函数，所以y=f(x)在[0，十∞)上 ⊙[变式训练] 是减函数，由f(a)≤f(2),得f(|a)≤f(2),所以， 3.根据如图所示的函数f(x)的 |a≥2，得a≤-2或a≥2，故选D.] 图象，写出函数的解析式 (2)[解]①证明：Hx1<x2<-2, 解：当一3≤x<一1时，函数 则f)-f(x2)=。-。 2(x1一2） f(x)的图象是一条线段（右 x1+2x2+2(x+2)(x2+2) 端点除外)， 因为(x1十2)(x2十2)>0，x1-x2<0, 设f(x)=ax十b(a≠0).将点（-3,1)，(-1，-2) 所以f(x1)<f(x2), 代入， 所以f(x)在(-∞，一2)内单调递增. ②H1<x1<x2,则 3a+b=1, 21 可得 解得 -a+b=-2, f(x1)-f(x2)=1-x2 x1-a xi-a a(x2-x1） 7 可得f(x)=- 3 2x-2 (x1-a)(x2-a)1 因为a>0,x2-x1>0, 当-1≤x<1时，可设f(x)=cx十d(c≠0)，将点 所以要使f(x1)-f(x2)>0, (-1,-2),(1,1)代入上式可求得c= 2, 只需(x1一a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]. d=- 2 ◇[变式训练] fx)=- 2x-29 4已知园教)是定义在（一1，D上的奇园 当1≤x<2时，f(x)=1. 综上所述， 数，且f1)= (1)求f(x)的解析式； 7 2x-2,-3≤x<-1, (2)用定义法证明：f(x)在（一1,1）上是增函数； f(x)= 3 (3)若实数t满足f(2t-1)+f(t-1)<0,求实数t 2x,三1≤x1 的范围. 1,1≤x<2. 解：1)：函数f(x)=x十是定义在(-1,1)上的 题型四 函数的单调性与奇偶性 1+x 奇函数， 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 .f(0)=0,.b=0, (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性 (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间， 又f0=即骨-分a=1, 1 (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式， (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围 f)1中（经检验符合题高)， ·136· 第三章函数的概念与性质 (2)证明任取x1,x2∈（-1,1)，且x1<x2, [解](1)由f(x)为偶函 那么f(x)-fx2)=, 数可知，其图象关于y轴对 1+x1+x 称，如图所示，作出已知图 =十x1x-x2-xix2 象关于y轴对称的图象，即 (1+x)(1+x2) 得该函数的完整图象由图 (x1-x2)(1-x1x2) 可知，函数f(x)在（一∞， (1+x)(1+x2) 一1)上单调递减，在（一1,0）上单调递增，在(0,1) -1<x1<x2<1,x1-x2<0, 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以函数 1-x1x2>0,1+x>0,1+x2>0, f(x)的增区间是(-1,0)，(1，+∞). .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(一1) .f(x)在(-1,1)上是增函数， =(-1)2十2×（一1）=-1.由偶函数的性质可得 f(x)≥-1，即函数的值域为[-1，十o∞). (3)f(2t-1)+f(t-1)<0, ⊙[变式训练] .f(2t-1)<-f(t-1), 5.(1)已知函数y=a.x2十bx十c,如果a>b>c且a十 又由已知f)-千7是(-1.山上的寺高数， b十c-0,则它的图象可能是 .f(2t-1)<f(1-t). “f)=1十7是(-11)上的增画数， r2t-11-t, 1<2-1<10<<号， -1<1-t<1 即1的取位范周为〔0，号》 C D (2)对于函数f(x)=x一2|x|. 题型五 函数的图象及应用 ①判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 作函数图象的方法 ②画此函数的图象，并指出单调区间和最小值， (1)描点法 求定义域；化简；列表、描点、连线， 解析：(1)D[因为a>b>c且a+b+c=0,所以a (2)变换法 熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、 >0,c<0,f(1)=0,则可知开口向上，排除A、C,然 翻转. 后根据f(0)=c<0,可知函数图象与y轴的交点 ①平移，y=f(x)左加右减 y=f(x±h); 在x轴下方.门 y=f(x)上加下减 (2)解：①函数的定义域为R,关于原，点对称， y=f(x)±k(其中h>0,k>0). f(-x)=(-x)2-2-x|=x2-2|x1. ②对称：y=f(x)关于y轴对称y=f(一x); 则f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. y=f(x)关于x轴对称y=一f(x): 图象关于y轴对称 y=f(x)关于原点对称=y=-f(-x). ②f(x)=x2-2|x 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化 2-2x=(x-1)2-1,x≥0， 作图. {x2+2x=(x+1)2-1,x<0. [例5]已知函数f(x)是定义在R 画出图象如图所示， 上的偶函数，且当x≤0时，f(x) =x2+2x. 10 (1)现已画出函数f(x)在y轴左 -10Λ /2x 2 侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1.单调递增 整，并根据图象写出函数f(x)的增区间； 区间是[-1,0]，[1，十∞)；单调递减区间是(-∞， (2)写出函数f(x)的值域. -1],[0,1]. ·137· 数学·必修第一册 题型亢】 函数的应用 因为0<x<214,且x∈N,k∈N,所以当0<x≤ 在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应 137时，g(x)>h(x), 用中 当137<x<214时，g(x)<h(x). 900 在建立模型的过程中，要遵循以下基本原则： ,0x137, ka (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化， 所以f(x)= 其中x 抓主要因素、主变量，可通过一些假设来减少系统 k(214-x137<x<214, 500 中的变量个数，尽量建立较简单的模型，即在建立 ∈N. 模型时，应采用尽可能简单的数学工具，但又必须 (2)因为当0<x≤137时，f(x)为减函数，当137< 能反映现实原型的本质特征和关系。 t<214时，f(x)为增函数，且f137=900 ,f(138)-137k (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意义，对其 既能进行理论分析，又能计算和推理，且能推算出 500 137X<1,所以当x=137时f) (214-138)k9×76 一些确定的结果.若建立的数学模型在数学上是 的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名 不可推算的，得不出确定的可以应用于原型的结 工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少， 果，那这个模型就没有价值 ◇[变式训练] (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的 6.为纪念2025年成都世界科幻大会发行纪念邮票， 特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所 从2025年8月1日起上市，经过市场调查，得到该 得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到 纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与 具体研究对象中去解决问题， 上市时间x(单位：天)的数据如下： [例6]某工厂有214名工人，现要生产1500件产 上市时间x天 2 品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套 市场价y元 5 2 10 组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价 所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加 y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系， 工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型 并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函 零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A 数；②二次函数，并求出函数的解析式； 型零件5k(k∈N“)个，加工完A型零件所需的时 (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价 间为g(x),加工完B型零件所需的时间为h(x). 最低时的上市天数及最低的价格， (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任 解：(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小 务所需时间的表达式； 后增大， (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？ 而模型①为单调函数，不符合题意， [解](1)由已知A型零件需要生产4500个，B 故选择二次函数模型②， 型零件需要生产1500个，加工B型零件的工人有 设f(.x)=a.x2十b.x十c(a≠0)，由表中数据可知 (214一x)名，单位时间内每名工人加工B型零件 a+b+c=5, fa=1, 3k个 4a+2b+c=2,解得{b=-6, 所以g(x)=4500_900 36a+6b+c=10, c=10, 5kx .f(x)=x2-6x+10(x≥0)， 1500 500 h(x)= (2)由(1)知，f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1, 3k(214-x)k(214-x) ∴.当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低 则g(x)-h(x)=900 500 为1元， kx k(214-x) 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低 200963-7x x(214-x) 的价格为1元. 138·