04基本不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式的基础应用与综合拓展，构建从最值计算到参数求解再到实际建模的递进式训练体系，培养数学推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用基本不等式求最值|3例+3训练|正实数条件下的和积互化、给定等式的最值计算|从基本形式到条件变式，强化“一正二定三相等”推理应用| |求参数值或范围|1例+2训练|恒成立背景下的参数求解|衔接最值与不等式性质，提升运算推理能力| |解决实际问题|1例+2训练|面积优化、造价控制等建模问题|从数学抽象到实际应用，发展模型意识与应用能力|

2027届高三数学一轮复习——基本不等式专项训练 2027届高三数学一轮复习——基本不等式专项训练 04基本不等式 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点一、利用基本不等式求最值 例1． （1）若，则的最大值为________． （2） ．若，则的最大值是______． （3）．已知正实数，满足，则的最小值为________． 训练1-1．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 训练1-2．若，则函数的最小值为_____. 训练1-3．已知实数，，且，则的最小值是__________． 考点二、利用基本不等式求参数值或范围 例2．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 训练2-1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 训练2-2．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 考点三、利用基本不等式解决实际问题 例3．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 训练3-1．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 训练3-2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习——基本不等式专项训练 2027届高三数学一轮复习——基本不等式专项训练 04基本不等式 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点一、利用基本不等式求最值 例1．（1）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. （2）．若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. （3）．已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 训练1-1．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 训练1-2．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 训练1-3．已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 考点二、利用基本不等式求参数值或范围 例2．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 训练2-1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 训练2-2．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解最值即可. 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 故答案为：． 考点三、利用基本不等式解决实际问题 例3．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 训练3-1．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 训练3-2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $