第六章计数原理章末检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章《计数原理》检测试卷 考试范围： 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理；6.2 排列与组合；6.3 二项式定理。 时间120分钟。 1. 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 某班有男生20人、女生15人，现从中选1人担任班长，不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 15 C. 35 D. 300 1. 从甲、乙、丙、丁4人中选出2人分别担任正、副组长，不同的选法种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. -160 B. 160 C. -20 D. 20 1. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 48 1. 将5名志愿者全部分配到3个不同的社区服务，要求每个社区至少1名志愿者，不同的分配方案种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 1. 若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ） A. -160 B. -80 C. 80 D. 160 1. 某班从6名男生、4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少有1名女生且至多有2名女生，则不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 150 C. 170 D. 195 1. 设集合，从中任取3个不同元素构成子集，若这3个元素中任意两个之和都不等于6，则满足条件的子集个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 1. 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 1. 关于排列与组合，下列说法正确的是（ ） A. 5人站成一排，甲不站排头也不站排尾的排法有72种 B. 从5名男生、3名女生中选3人，恰有1名女生的选法有30种 C. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的放法有36种 D. 6人分成甲、乙、丙三组，每组2人，不同的分组方法有15种 1. 关于二项式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中各项系数之和为 1 C. 展开式中二项式系数最大的项为第4项 D. 展开式中的系数为 60 1. 某工程队有6名队员，其中队长1人。现从6人中选出3人去执行任务，要求队长必须参加，且至少有一名普通队员参加，则下列计数思路或结果正确的是（ ） A. 先选出队长，再从剩余5人中选2人，结果为 B. “队长必须参加”等价于“先固定队长，再从剩余5人中任选2人”，无需排除其他情形 C. 若执行任务的3人中队长必须参加，不同的选法共有10种 D. 若队长不参加，则有种选法 1. 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 1. 计算：______。 1. 在的展开式中，的系数为______。 1. 用4种不同的颜色给一个正方体的6个面涂色（相邻面颜色不同，相对面可以同色），不同的涂色方案共有______种（旋转后重合视为同一种）。 1. 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （13分） 有5名男生和4名女生排成一排照相。 1. 若4名女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ 1. 若男生甲不站两端，且4名女生中有且只有2人相邻，有多少种不同的排法？ 1. （15分） 已知的展开式中，第3项的二项式系数为15，且各项系数之和为 64。 1. 求与的值； 1. 求展开式中系数最大的项。 1. （15分） 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人。 1. 若每人各得2本，共有多少种不同的分法？ 1. 若甲至少得1本，乙至少得1本，丙至少得1本，共有多少种不同的分法？ 1. 若将6本书分成三堆，每堆2本，共有多少种不同的分堆方法？ 1. （17分） 在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等。 1. 求 n 的值； 1. 求展开式中所有有理项的系数之和。 1. （17分） 甲、乙、丙三人进行传球训练，球从甲开始传出，每次传球时，持球人等可能地将球传给另外两人中的一人。记经过次传球后，球在甲手中的传球方式数为，球不在甲手中的传球方式数为。 1. 求，并写出与的关系； 1. 证明：，并求（用表示）； 1. 求经过6次传球后，球在甲手中的概率。 参考答案与详细解答 一、单项选择题 1. C 解析： 选1人担任班长，可从男生或女生中选，适用分类加法计数原理，20+15=35。 考点： 分类加法计数原理。 2. C 解析： 正、副组长是不同岗位，从4人中选2人并安排顺序，。 考点： 排列数公式。 3. A 解析： 通项。令，得，常数项为。 考点： 二项展开式的通项。 4. B 解析： 按个位是否为0分类。个位为0时，百位从1,2,3,4中选1个，十位从剩余3个中选1个，共个；个位为2或4时，个位有2种选法，百位不能为0，有3种选法，十位从剩余3个数字中选1个，共个。总数。 考点： 有限制条件的排列，分类加法计数原理。 5. A 解析： 5人分到3个不同社区且每社区至少1人，人数分配为 3,1,1 或 2,2,1。 3,1,1 型：先选出3人一组，再分配社区，； 2,2,1 型：。 共 60+90=150。 考点： 分组分配问题。 6. A 解析：，。通项 ， 时系数 。 考点： 二项式系数的性质、通项公式。 7. C 解析： 至少有1名女生且至多有2名女生，即女生人数为1或2。 女1男3：； 女2男2：。 共 80+90=170。 考点： 组合数、分类加法计数原理。 8. A 解析： A 中两数之和为6的配对为 (1,5),(2,4)，3不在任何配对中。 若选3：不能同时选1和5，也不能同时选2和4。从中取3个元素，已取3，还需从中取2个。总取法，减去同时取和这2种，得。 若不选3：含 的3元子集有 ，含 的有 ，共4个，全部不满足条件。故不选3时满足条件的为 。 综合 。 考点： 组合计数、分类讨论、间接法。 二、多项选择题 9. AB 解析： A：甲不站排头也不站排尾，先排甲（3种），再排其余4人（），共。A正确，但本题为多选，需判断所有选项。 B：恰有1名女生，即女1男2，。B正确。 C：4个不同小球放入3个不同盒子，恰有一个空盒。先选空盒（3种），再将4球放入2个盒且每盒至少1球。总放法（减去全放入同一盒的2种），故，不是36。C错误。 D：6人分成甲、乙、丙三组，每组2人且组有名称，；若仅分成三堆（无名称），为。D表述“分成甲、乙、丙三组”组有名称，应为90，D错误。 10. BCD 解析： A：展开共项，错误。 B：令 x=1，(1-2)^6=1，各项系数之和为1，正确。 C：二项式系数 C_6^r 在 r=3 时最大，对应第4项，正确。 D：通项，系数为，正确。 考点： 二项式定理的系数性质与赋值法。 11. AC 解析： 队长必须参加，再从5名普通队员中选2人，，A、C正确；B中“无需排除其他情形”表述不准确（已固定队长，剩余5人选2人自然满足至少一名普通队员），但并非错误思路的核心；D中队长不参加有，本身正确，但不符合“队长必须参加”的条件。考点： 组合计数与条件理解。 三、填空题 12. 55 解析： ，，和为55。 考点： 组合数与排列数的计算。 13. 10 解析： 通项。令，得，系数。 考点： 二项展开式特定项。 14. 6 解析：经典结论：正方体6面用4色相邻不同，旋转等价下有6种. 考点： 有限制条件的涂色计数（旋转等价）。 四、解答题 15.（13分） （1） 4名女生必须站在一起，将4名女生捆绑为一个整体，与5名男生共6个“元素”排列，再考虑女生内部排列： （2） 男生甲不站两端，4名女生中恰有2人相邻。 先将5名男生排成一排：甲不站两端，甲有3个位置（第2、3、4位），其余4名男生在剩余4个位置全排列。 男生排好后形成6个空位（含两端）。女生4人中有且只有2人相邻，分为“相邻的2人”和“另外2个单独的人”，共3个“女生单元”插入6个空位中。 选出相邻的2名女生：；这两人内部排列。 将3个女生单元（一个相邻整体+两个单独）安排到6个空位中：。 女生排列总数为。 与男生排列相乘：。 考点： 捆绑法、插空法、有限制条件的排列。 16.（15分） （1） 第3项二项式系数为，即，解得（负值舍去）。 各项系数之和令：，故，。 （2） (1+x)^6 展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项。n=6 为偶数，二项式系数最大为 C_6^3=20，对应第4项： 考点： 二项式系数的性质、赋值法。 17.（15分） （1） 甲、乙、丙各得2本，按人分配： （2） 每人至少1本。6本不同书分给3人，每本有3种去向，总。减去有人未得到书的情形： 恰有1人未得到：选未得到的人（3种），剩余2人分6本，每本2种去向，但需排除全给同一人的2种，故。 恰有2人未得到：即6本全给1人，3种。 由容斥，每人至少1本：。 （或先分组 2,2,2 或 3,2,1 或 4,1,1 再分配，结果相同。） （3） 6本书分成三堆，每堆2本，堆无名称： 考点： 分组分配、容斥原理。 18.（17分） （1） 第4项二项式系数，第6项，由得。 （2） 有理项要求为整数，即为偶数，为偶数。 r=0,2,4,6,8 时均为有理项。系数分别为： ：； ：； ：； ：； ：。 系数之和。 考点： 二项式系数性质、通项公式、有理项系数和。 19.（17分） （1） ：传1次后球在甲手中。第1次甲必须把球传出，球不可能在甲手中，故。 ：第1次甲可传给乙或丙，。 ：第2次后球在甲手中，意味着第1次球在乙或丙手中（2种），第2次传回甲（1种），。 。 ：第3次后球在甲手中，需第2次球不在甲手中。第2次球不在甲手中的方式，每种情况下第3次传给甲有1种，故。 关系：第 n 次后球在甲手中，当且仅当第 n-1 次后球不在甲手中，且第 n 次持球人将球传给甲。而第 n-1 次后球不在甲手中时，持球人（乙或丙）传给甲的方式只有1种，因此 （2） 每次传球有2种选择，经过次传球总方式数为。球要么在甲手中，要么不在甲手中，故 由（1），又，所以 迭代： 令可化，但用特征根：齐次对应，特解为形式。设，代入：，。故 验证：：；：；：，正确。 （3） 经过6次传球后，球在甲手中的概率为 由（2），概率 考点： 分步乘法计数原理、递推计数、分类讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $