精品解析：吉林吉林市田家炳高级中学2026-2027学年高三上学期10月模拟测试数学试题

吉林市田家炳高级中学2026高三年级10月模拟测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 当时，若的值域是，则 D. 当时，曲线与有4个交点 10. 已知双曲线的离心率，上的点到其焦点的最短距离为，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的渐近线方程为 C. 若点为双曲线上的动点，则点到两条渐近线的距离之积为定值 D. 直线与恒有两个交点 11. 如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 球的体积为 C. 球被平面截得的截面面积为 D. 过点与直线，所成角均为的直线可作4条 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量之间的夹角都是60°，且，则__________. 13. 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是______． 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 四、解答题（共5小题，77分） 15. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． （1）求证：为的中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 16. 在中，角对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 17. 已知函数，，． （1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； （2）若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 18. 记，对数列和的子集若，定义，若定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数若求证：； （3）对任意正整数若，记数列的前项和为，求证： 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，分别为椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于点，，到直线，的距离分别为和，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市田家炳高级中学2026高三年级10月模拟测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先需要求解集合的元素，找出公共元素即可得到. 【详解】解一元二次方程，因式分解得，解得或，因此； 已知，因此. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式，同角三角函数关系以及倍角公式即可. 【详解】因为 所以，所以. 所以. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 4. 已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数在上是减函数，则每一段是减函数且时的最小值要大于等于时的最大值，然后求解即可. 【详解】由题可知，解得. 故选：D 5. 已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合分段函数的值域即可求解. 【详解】由函数， 当时，， 当时，，若时， 函数单调递减，所以， 若时，函数单调递增，所以， 又因为分段函数的值域为[1，+∞）， 所以，， 所以. 所以的取值范围是. 故选：D 6. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作出平面平面，即可得到点的轨迹为线段，然后利用等面积法即可求最小值. 【详解】取上靠近点的四等分点，连接、， 由是棱的中点，点是棱的中点，易得，则平面， 取、中点、，取上靠近点的四等分点，连接、、、， 由正方体的性质易得，，则， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，，平面，故平面平面， 又平面，平面，故，即点的轨迹为线段， 设点到的距离为，有， 故，故的长度最小值为. 故选：D. 7. 已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值. 【详解】∵ ，并且是严格增数列， ， ∵ ， 即 ， ，即n的最大值为12； 故选：C. 8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折可知：NC=NE，所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大，由翻折可知：MN是CE的垂直平分线，延长GN交AB于点D，可得DN平分∠ANB，过点D作DH⊥BN，然后证明Rt△AND≌Rt△HND（HL），可得AN=HN=6，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】如图， 由翻折可知：NC=NE， 所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大； 在Rt△ABC中，∠A=90°，∵AB=8，tan∠ABC=，∴AC=12， ∵点N是边AC的中点，∴AN=CN=6，∴NE=6， 由翻折可知：MN是CE的垂直平分线， ∴∠ENG=∠CNG，延长GN交AB于点D，∴∠BND=∠AND，∴DN平分∠ANB， ∵DA⊥AN，过点D作DH⊥BN，∴DA=DH，∴DB=AB-AD=8-DH， 在Rt△AND和Rt△HND中， ，∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），∴AN=HN=6， 在Rt△ABN中，AB=8，AN=6， ∴BN==10，∴BH=BN-HN=10-6=4， 在Rt△DBH中，DB=8-DH，根据勾股定理得： DB2=DH2+BH2，∴（8-DH）2=DH2+42，解得DH=3， 在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根据勾股定理得： DN2=AD2+AN2，∴DN2=32+62=45，∴DN=3， ∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，∴∠ADN=∠NCG， ∵sin∠ADN=，∴sin∠NCG=sin∠NCE=． 故选：D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 当时，若的值域是，则 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象的相邻同向零点求周期与，再由过零点的位置与升降求，得解析式；随后逐条验证：B解三角方程比较解的间距，C由值域的三个端点条件列不等式，D用关键点符号与单调性数交点个数. 【详解】由图象可知. 曲线在与处都是由下往上穿过轴，故这两点是相邻的同向零点， 它们的距离等于一个周期，即，从而. 把代入得，即，； 又且图象在该点上升，故取，得. 所以，A正确. B中，由得， 所以或，即或，； 相邻两解的最小距离为（如与），B正确. C中，时. 值域恰为需同时满足三条：取到最大值， 需，即；取到最小值，需，即； 不能取到，需，即. 故，C错误. D中，画出，在区间上的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，所以D选项正确. 10. 已知双曲线的离心率，上的点到其焦点的最短距离为，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的渐近线方程为 C. 若点为双曲线上的动点，则点到两条渐近线的距离之积为定值 D. 直线与恒有两个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件求出、、的值，可判断AB选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误. 【详解】双曲线上的点到其焦点的最短距离为，该双曲线的离心率为， 所以，，，，双曲线的标准方程为. 对于A选项，双曲线的焦点坐标为，A选项正确； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B选项正确； 对于C选项，设点，则， 双曲线的两条渐近线方程分别为、， 则双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为，C选项正确； 对于D选项，当时，直线方程为， 联立，整理可得，解得， 所以，直线与双曲线只有一个交点，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法： （1）方程思想的应用： 把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在的情况下考察方程的判别式. ①时，直线与双曲线有两个不同的公共点； ②时，直线与双曲线只有一个公共点； ③时，直线与双曲线没有公共点. 当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. （2）数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系； ②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系. 11. 如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 球的体积为 C. 球被平面截得的截面面积为 D. 过点与直线，所成角均为的直线可作4条 【答案】ABD 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，根据线面垂直的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B；求出球O被平面截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D. 【详解】设分别为的中点，连接， 则, 故，则四边形为平行四边形， 故交于一点，且互相平分，即O点也为的中点， 又，故, 平面，故平面， 由于平面，则平面， 故，结合O点也为的中点，同理可证, 平面，故平面，A正确； 由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为, 棱长为2的正四面体中，，M为的中点， 则，故, 则，所以球O的体积为，B正确； 由平面，平面，故平面平面， 平面平面，由于平面， 延长交平面于G点，则平面，垂足G落在上， 且G为正的中心，故， 所以， 故球O被平面截得的截面圆的半径为， 则球O被平面截得的截面圆的面积为，C错误； 由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将平移至正方体的底面内，过 和的角平分线作垂直于底面的平面，即平面，在平面内一定存在过O点的两条直线使得该直线与直线，所成角均为，同理可知，过和的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点与直线，所成角均为的直线可作4条，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量之间的夹角都是60°，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用向量的数量积的定义，结合完全平方公式，化简整理，即可得到所求值． 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和运算性质，考查完全平方公式，考查运算能力，属于基础题． 13. 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数f(x)的图象分析可知m需满足,解不等式组即得解. 【详解】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足 即 解得＜m＜. 【点睛】本题主要考查二次函数的零点的分布和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】要使的值最小，两个铁球必须分别与圆柱形容器的侧面与上下底面相切，再结合已知条件，根据图形即可算出的最小值. 【详解】∵铁球的半径为，圆柱形容器底面半径为, 圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，要使最小， ∴铁球的摆放方式如图所示， 其中，，，，， 由几何知识得，， ∴，，， ∴, ∴， 故答案为：. 四、解答题（共5小题，77分） 15. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． （1）求证：为的中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】（1）在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故． 16. 在中，角对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，求出； （2）由面积公式得出，再根据余弦定理得到. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 左边为， 因为，所以，即，又，得. 【小问2详解】 由面积公式，得， 由余弦定理， 代入，得，得． 17. 已知函数，，． （1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； （2）若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 【答案】（1）是，对称中心为 （2）（i）在上单调递增 （ii）， 令， 则. 又，函数在上均单调递增， 在上单调递增. ， ，使得， 又是的两个零点，且，， 又，， 又，在上单调递增，，即， ， ，故，即成立. 【解析】 【分析】（1）首先变形得到，根据曲线的对称中心可推出所求. （2）（i）根据函数单调性的性质：增函数+增函数=增函数可求解；（ii）根据的解析式可令，得到，根据函数零点存在定理求出的两个零点的范围，再结合的单调性得到的关系，进而得到，两边同取自然对数可得证. 【小问1详解】 是. 当时，， 因为曲线是中心对称图形，根据图形的平移可知曲线也是中心对称图形，下面求其对称中心： 由上知的定义域为， ， 曲线的对称中心为. 【小问2详解】 （i），， 的定义域为. 又在定义域内单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. （ii）略 18. 记，对数列和的子集若，定义，若定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数若求证：； （3）对任意正整数若，记数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先由数列为等比数列和当时 求出，再进一步求出数列的通项公式； （2）利用等比数列的通项公式和前项和公式以及放缩法进行证明； （3）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 【小问1详解】 由已知得， 于是当时， 又故，即.所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以. 因此，. 【小问3详解】 法一： 法二： 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，分别为椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于点，，到直线，的距离分别为和，求证：. 【答案】（1） （2）证明:，， 设点，，直线，的斜率分别为，， 则， ，，或 ， 直线，的方程分别为，， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由椭圆几何性质和点在曲线上可解； （2）联立方程组，再由点到直线的距离公式可证. 【小问1详解】 由题知解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $