2026-2027学年鲁教版（五四制）数学七年级上册第一二章练习卷

2026-2027年鲁教版七上一二章练习卷 一．选择题（共10小题） 1．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝21米，OB＝12米，A、B间的距离不可能是（　　） A．8米 B．10米 C．15米 D．25米 3．如图，用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 4．下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若AE＝4，则EC的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三边垂直平分线的交点处 C．△ABC三条中线的交点处 D．△ABC三条角平分线的交点处 7．如图，已知△ABC，∠ABC＝45°，BH＝5，H是高AD和BE的交点，EH＝1，则△ABC的面积为（　　） A．13 B．15 C．26 D．28 8．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝126°，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，连接AE，AF为△ACE的中线，则∠ADB的度数为（　　） A．24° B．27° C．28° D．38° 9．如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为（　　）cm2． A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．则对于以下结论：①△ABP≌△FBP；②∠PFD＝∠PBD；③AH+BD＝AB；④PD+FH＝AP，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 11．工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是 _____________ ． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 _____________ ． 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE＝4，则AC的长为_____ ． 14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝_____ ． 15．如图，在△ABC中，BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，交点为O，若∠BOC＝115°，连接AO，则∠BAO的度数为________ ． 三．解答题（共9小题） 16．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，若AD＝6cm，求DC的长． 18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝BE＝4，求CD的长； （3）若AB＝BE，△ABD的面积为8，求四边形ABCD的面积． 19．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积． 20．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，连接AE，DE，DC，AE＝CD． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠BAE＝15°，求∠EDC的度数． 21．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点． （1）如图1，连接BE、CE，问：BE＝CE成立吗？并说明理由； （2）如图2，若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF＝CF成立吗？并说明理由． 22．如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 23．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE+CF（如图1）； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE﹣CF； （3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明． 24．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，△ABD与△ACE全等吗？为什么？ （2）如图2，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数． 2026-2027年鲁教版七上一二章练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意； C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝21米，OB＝12米，A、B间的距离不可能是（　　） A．8米 B．10米 C．15米 D．25米 【分析】根据三角形的三边关系定理得到2＜AB＜14，根据AB的范围判断即可． 【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得： 21﹣12＜AB＜21+12， 即：9＜AB＜33， ∴AB的值在9和33之间． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键． 3．如图，用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OB＝OA，BC＝AC，OC＝OC，因此符合SSS的条件． 【解答】解：由作图知：OB＝OA，BC＝AC，OC＝OC（公共边）， 即三边分别对应相等（SSS），△OBC≌△OAC， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，要清楚作图时作出的线段OB与OA、BC与AC是相等的． 4．下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】过顶点B向AC边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，据此分析即可求解． 【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，所以此选项错误，不符合题意； B、AD是△ADC边AC上的高，所以此选项错误，不符合题意； C、BD是△DBC边BC上的高，所以此选项错误，不符合题意； D、BD是△ABC边AC上的高，所以此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形相关性质的熟练掌握． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若AE＝4，则EC的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角的性质求出∠ABE＝∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBE，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CE． 【解答】解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°， 在△ABC中，∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣90°＝30°， ∴CEBE4＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 6．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三边垂直平分线的交点处 C．△ABC三条中线的交点处 D．△ABC三条角平分线的交点处 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在△ABC三条角平分线的交点处． 【解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的重心，线段垂直平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，已知△ABC，∠ABC＝45°，BH＝5，H是高AD和BE的交点，EH＝1，则△ABC的面积为（　　） A．13 B．15 C．26 D．28 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BD＝AD，进而利用ASA证明△BDH与△ADC全等，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点， ∴△ADB是等腰直角三角形，∠BEC＝90°， ∴BD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，∠C+∠HBD＝90°， ∴∠CAD＝∠HBD， 在△BDH与△ADC中， ， ∴△BDH≌△ADC（ASA）， ∴BH＝AC＝5，BE＝BH+EH＝5+1＝6， ∴△ABC的面积， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能求出△BDH≌△ADC，难度适中． 8．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝126°，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，连接AE，AF为△ACE的中线，则∠ADB的度数为（　　） A．24° B．27° C．28° D．38° 【分析】根据轴对称的性质得到AE＝AB，，∠ADE＝∠ADB，结合AB＝AC得到AC＝AE，根据三线合一性质得到AF⊥CE，AF平分∠CAE，利用角的和差得出，再利用直角三角形的性质求出∠ADE的度数，即可求解． 【解答】解：由条件可知AE＝AB，，∠ADE＝∠ADB， ∵AB＝AC， ∴AC＝AE， 又∵AF为△ACE的中线， ∴AF⊥CE，AF平分∠CAE， ∴∠AFD＝90°，， ∴∠DAF＝∠EAD+∠EAF ＝63°， ∴∠ADE＝90°﹣63°＝27°， ∴∠ADB＝∠ADE＝27°． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为（　　）cm2． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】延长AP交BC于Q，如图，先证明∠BAP＝∠BQP得到BA＝BQ，则利用等腰三角形的性质得到AP＝QP，再根据三角形面积公式得到S△BPQS△ABQ，S△CPQS△CAQ，所以S△PBCS△ABC． 【解答】解：延长AP交BC于Q，如图， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠QBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠QPB＝90°， ∴∠BAP＝∠BQP， ∴BA＝BQ， ∵BP⊥AQ， ∴AP＝QP， ∴S△BPQS△ABQ，S△CPQS△CAQ， ∴S△PBC＝S△BPQ+S△CPQ（S△ABQ+S△CAQ）S△ABC10＝5（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．则对于以下结论：①△ABP≌△FBP；②∠PFD＝∠PBD；③AH+BD＝AB；④PD+FH＝AP，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依次对每个结论进行分析，通过角平分线的性质、三角形内角和以及全等三角形的判定与性质，判断结论的正确性． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°． ∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°， ∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°． 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°（垂直的定义）， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），所以结论①正确； 由△ABP≌△FBP，得∠PFD＝∠PAD，无法确定∠PFD＝∠PBD，所以结论②错误； 由△ABP≌△FBP，得∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， 又∵∠BAP＝∠CAP， ∴∠PAH＝∠PFD（等量代换）． 在△PAH和△PFD中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD（全等三角形对应边相等）， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD（等量代换）， 即AH+BD＝AB，所以结论③正确； 由△PAH≌△PFD， ∴PH＝PD，AP＝PF（全等三角形对应边相等）， ∴PD+FH＝PF＝AP，所以结论④正确． 综上所述，正确的个数是3，所以只有选项C正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质、全等三角形的判定定理来分析各个结论． 二．填空题（共5小题） 11．工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是 　三角形具有稳定性　 ． 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形是利用三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】此题考查三角形稳定性，关键是根据三角形具有稳定性解答． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　 ． 【分析】分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案． 【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键． 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE＝4，则AC的长为　6　 ． 【分析】运用线段垂直平分线的性质得∠A＝∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE＝∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算． 【解答】解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE＝BE． 得∠A＝∠ABE 根据折叠，得∠ABE＝∠CBE 再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30° ∴CEBE＝2 则AC＝4+2＝6． 【点评】此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统． 14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　4　 ． 【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NHMN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OHOP＝5，然后计算OH﹣MH即可． 【解答】解：作PH⊥MN于H，如图， ∵PM＝PN， ∴MH＝NHMN＝1， 在Rt△POH中，∵∠POH＝60°， ∴∠OPH＝30°， ∴OHOP10＝5， ∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4． 故答案为4． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质． 15．如图，在△ABC中，BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，交点为O，若∠BOC＝115°，连接AO，则∠BAO的度数为　25°　 ． 【分析】求出∠OBC+∠OCB，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案． 【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OR⊥BC于R， ∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴OM＝OR，ON＝OR， ∴OM＝ON， ∴O在∠BAC的角平分线上， ∴∠BAO∠BAC， ∵∠BOC＝115°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣115°＝65°， ∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2×65°＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BAO∠BAC＝25°， 故答案为：25°． 【点评】本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 三．解答题（共9小题） 16．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【分析】根据货站P到两条公路OA、OB的距离相等可得出点P在∠AOB的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点P在CD的垂直平分线上，由此作图即可． 【解答】解：如图，交点P即为所求， ． 【点评】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，若AD＝6cm，求DC的长． 【分析】在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝30°易求∠ABC＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD＝∠DBC＝30°，从而可得∠ABD＝∠A，进而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠A， ∴BD＝AD＝6cm， 又∵∠DBC＝30°， ∴DCBD＝3cm．即DC的长是3cm． 【点评】本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD＝AD＝6cm． 18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝BE＝4，求CD的长； （3）若AB＝BE，△ABD的面积为8，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可； （2）根据全等三角形的性质，得AB＝DE，BD＝DC，根据等量代换求出BE，即可； （3）根据全等三角形的性质，S△ABD＝S△EDC＝8，过点C作CH⊥BD交BD于点H，根据三角形的面积等底等高，可得SBEC＝S△EDC，再根据四边形的面积等于三个三角形的面积之和，即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDE， 在△ABD和△EDC中 ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDE， 在△ABD和△EDC中 ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）， ∴AB＝DE，BD＝DC， ∵AB＝BE＝4， ∴DE＝BE＝4， ∴BD＝BE+DE＝4+4＝8， ∴DC＝8． （3）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDE， 在△ABD和△EDC中 ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）， ∴S△ABD＝S△EDC＝8， 过点C作CH⊥BD交BD于点H， ∴， ∵， ∵DE＝AB，AB＝BE， ∴DE＝BE， ∴， ∴四边形ABCD的面积为：S△ABD+S△BCE+S△EDC＝8+8+8＝24． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，关键是根据AAS证明△ABD≌△EDC解答． 19．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积． 【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OF＝OD＝2，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可． 【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD， 即OE＝OF＝OD＝2， ∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACOAB•OEBC•ODAC•OF 2×（AB+BC+AC） 2×12 ＝12． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 20．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，连接AE，DE，DC，AE＝CD． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠BAE＝15°，求∠EDC的度数． 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBD； （2）由全等三角形的性质可得∠BAE＝∠BCD＝15°，BE＝BD，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL）； （2）∵Rt△ABE≌Rt△CBD， ∴∠BAE＝∠BCD＝15°，BE＝BD， ∴∠BED＝45°， ∵∠BED＝∠BCD+∠CDE， ∴∠EDC＝30°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 21．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点． （1）如图1，连接BE、CE，问：BE＝CE成立吗？并说明理由； （2）如图2，若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF＝CF成立吗？并说明理由． 【分析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE＝∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论； （2）成立，由BF⊥AC，∠BAC＝45°就可以求出AF＝BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论． 【解答】解：（1）成立． 理由： ∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE（　SAS　） ∴BE＝CE． （2）成立． 理由： ∵∠BAC＝45°，BF⊥AF． ∴△ABF为等腰直角三角形 ∴AF＝BF 由（1）知AD⊥BC， ∴∠EAF＝∠CBF 在△AEF和△BCF中， ． ∴△AEF≌△BCF（　ASA　）， ∴EF＝CF． 【点评】本题考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 22．如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得． （2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得； （3）过点A作AM⊥CE，垂足为点M，由题意易得AF＝AM＝2，然后可得M为CE的中点，则有CM＝AM＝ME＝2，进而根据割补法可求解面积． 【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）证明：由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴∠BCA＝∠E，AC＝AE， ∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠E＝∠ACD， ∴CA平分∠BCD； （3）解：如图②，AF是△ABC的边BC上的高，AF＝2，∠BCA＝∠ACD，过点A作AM⊥CE，垂足为点M． ∴AF＝AM＝2， ∵∠BAC＝∠DAE，DA⊥AB， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AM⊥CE，AC＝AE， ∴M为CE的中点． ∴CM＝AM＝ME＝2． ∴CE＝4． 又由（1）知△ABC≌△ADE， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE+CF（如图1）； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE﹣CF； （3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明． 【分析】（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案； （2）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案； （3）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， 在△ABE和△CAF中， ∴△BEA≌△AFC（AAS）， ∴EA＝FC，BE＝AF， ∴EF＝EA+AF＝BE+CF． （2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△ACF中， ∴△BEA≌△AFC（AAS）， ∴EA＝FC，BE＝AF， ∵EF＝AF﹣AE， ∴EF＝BE﹣CF． （3）EF＝CF﹣BE， 理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFA＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△ACF中， ∴△BEA≌△AFC（AAS）， ∴EA＝FC，BE＝CF， ∵EF＝EA﹣AF， ∴EF＝CF﹣BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似． 24．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，△ABD与△ACE全等吗？为什么？ （2）如图2，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数． 【分析】（1）通过等腰三角形的性质得出边和角的关系，由边角边的证明方法即可证明三角形全等； （2）利用等边三角形的性质由边角边的证明方法证明三角形全等，再通过角的计算求出∠BEC的度数． 【解答】解：（1）△ABD与△ACE全等；理由如下： ∵△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴∠ADB＝∠AEC． ∵△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线上，∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°． ∴∠AEC＝∠ADB＝120°． 又∵△ADE是等边三角形，∠DEA＝60°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠DEA＝120°﹣60°＝60°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质．需熟练掌握三角形全等的证明方法是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 11:04:33；用户：15918981596；邮箱：15918981596；学号：68053221 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $