湖南长沙市宁乡市第一高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年高一年级10月阶段性检测数学试题 时量: 120分钟 总分: 150分 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.命题“ 的否定是 2.已知集合 则A∩B= A.[-1,1] B.[-2,1] 3.下列各组函数中是同一个函数的是 A. y=x+1与 与 C. y=2x与y=2x(x≥0) 与 4.若a>b，c>d，则下列不等式一定正确的是 A. ac> bd B. a-c>b-d D. ac+ bd> ad+ bc 5.已知正数a,b满足a+4b=1,则 的最小值为 B.9 C.5 D.6 6. “k<1”是“函数 在[0,+∞)上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为x，y元/升(x≠y)，甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油，哪种方式更经济实惠呢?(两次平均油价较低) A.加固定金额的方式 B.加固定体积的方式 C.两种方案一样 D.要视具体价格而定 8.集合 有5个元素，设M 的所有非空子集为 每一个中所有元素的乘积记为 .则 A.0 B.1 C.-1 D.2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9.设 若A∩B=B，则实数a的取值可以是 A.0 C.1 D.3 10.若a>0, b>0, a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a, b恒成立的是 A. ab≤1 D. 11.已知关于x的一元二次不等式 的解集为M ，则下列说法正确的是 A.若M=∅,则a<0且 B.若 则关于x的不等式 的解集也为M C.若M={x|-1<x<2},则关于x的不等式 的解集为N={x|x<0或x>3} D.若 ,且a<b,则 的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数 的定义域为 13.已知 若f(m)>m，则实数m的取值范围是 14.设函数 若∃x≥0, ∀∈[-1,1],不等式 恒成立，则实数t的取值范围是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 已知函数 (1)用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递减； (2)若函数f(x)定义域为(1,+∞),且 求实数的取值范围. 16. (本题满分15分) 已知命题P：对 都有 成立；命题q：关于x的方程 有实数根. (1)若命题P为真，求实数的取值范围； (2)若P 与q有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. (本题满分15分) 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本： 万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? (2)若每个人形机器人的售价为 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润=售价×销量-成本。 18. (本题满分17分) 已知二次函数 (1)若 求函数的值域： (2)若关于x的不等式y<0的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围 19. (本题满分17分) 已知集合 (1)证明: (2)证明：任何奇数都是A中的元素； (3)判断偶数4k-2(k∈Z)是否为A的元素?请说明理由; (4)试求A中第2026个正整数. 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 1.D2.D3.B4.D5.B 6.B 7.A8.C 7.A【详解》设两次加油的油价分别为x,y(x,y>0,且x≠y), 乙方案每次加油的量为a(a>0)；甲方案每次加油的钱数为(b>0),则乙方案的平均油价为“+四=x+ 2a 2 2b2 29y 甲方案的平均油价为b+5=工工x+, x y x y 因为+2->0，所以生>号，即甲方案更经济。 2x+y2(x+y) 8.C【详解】由乘法分配律，(1+930)1-5)1-1)(1+0)1+π)展开后，每一项都对应集合M的一 个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择1表示该元素不被选入， 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为(1+930)(1-5)1-1)(1+0)1+)=0. 其中常数项1对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以，+m2+…+,=0-1=一1.故选：C 9.ABC 10.ABD 【详解】选项A:因为a>0,b>0,a+b=2,由基本不等式2√ab≤a+b=2, 所以√abs1,即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确， 选项B:（Na+VB)=a+2Wb+b=2+2Wab,又Va而≤1，所以（√a+V6}≤4， 而Va+6>0,所以√a+√B≤2，当且仅当a=b=1时取等号，故B正确 选项C:(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2,代入a+b=2,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab, 则(a+1}+(b+12=10-2ab,因为ab≤1，所以-2ab≥-2， 则10-2ab28,即(a+1)2+(b+1)2≥28，当且仅当a=b=1时取等号，故C错误。 选项D:c3+b°=(a+b)(a2-ab+b2)=2(a+b)-3ab=8-6ab, 因为abs1,所以-6ab≥6，则8-6ab≥2，即0+b≥2，当且仅当a=b=1时取等号，D正确. 11.ACD 【详解】A选项，若M=必，即一元二次不等式ax2+bx+c>0无解，则一元二次不等式ax2+bx+c≤0恒 成立，a<0且b2-4ac≤0，A正确： B送现◆号号号e1,则a=d、b=出、e=地， 1 不等式可转化为(2+bx+c)>0,当t<0时，得a2+bx+c<0,其解集不等于原来的M,故B错误； C选项，若M=(叶1<x<2,则a<0,且-1和2是一元二次方程的两根，且-6=-1+2=1， a =(-x2=-2,所以b=-a,c=2a, 把b=-a,c=-2a代入a(x2+1)+b(x-1)+c<2m可得x2-3a<0, 因为a<0,所以不等式的解集为(x|x<0或x>3),C正确； D选项，因为M=(x≠x,所以开口向上a>0且B-4ac=0,即4c=B a 又a<b,得6-a>0,把4e=代入得a+26+ea+2b+ 2,令k=6-“>0,则6=1+， b-a Γb-a 0 g+26+4c_a+26+g b-a .b-a a=k ++42 +4=8,当且仅当k=2等号成立， 4 所以+26+4c的最小值为8，D正确。 b-a 2. 13.(-o,-1DU[0,2) 14.1≤-2或t=0或122 【详解1因为x20,所以1+2>02x≥0，所以220，当x=0时，0)-=0，所以=-0， 3x≥0，Va∈[-l,],不等式f(x)≤-2at恒成立，等价于x20时，f(x)≤2-2at,对a∈[-1,1恒成 立，即-2ta+2≥0在ae[-1,1]上恒成立，记g(a)=-2ta+2, 所以只需 Jg(-020m12+2t≥0 g0≥0，即 2-20解得1≤-2或1=0或1≥2. 15.【详解】 证明：Q)因为f)=x=x-1+1 ,x-1x川 Vx,2∈(1，+∞)，且x2>x,· 则0w1- 因为x3>>1,则(-1(：-1)>0，x-x2<0, 则f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x),故f(x)在(，+∞)上单调递减：.6分 (2)由(1)f(x)在(，o)上单调递减，函数f(x)定义域为(L,+∞)， 2 合 =2 齐的 内的 更 [a2>1 所以 2a+3>1,解得1<a<3, a2<2a+3 所以所求实数a的范围是(1,3). 13分 ·16.【详解】 (1)命题卫为真命题：对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立， 当a=0时，1>0恒成立，当a≠0时，则 a>0 4<0'即 a>0 2-4a<0' 解得0<a<4, 综上a的取值范围为[0,4). 6分 (2)若9为真命题，则△=4a2-16≥0，解得a≥2或a≤-2， 8分 0≤a<4. 若卫真g假，则 -2<a<2,则0≤a<2, 11分 a<0或a≥4 若卫假9真，则 a≥2或as-2'则a≤-2或a≥4， 14分 综上，0≤a<2或as-2或a≥4. 15分 17.X详解】 (1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 x2 1000+10x+ x x -1004+10≥20o0+10=30 x10 Vx 10 当且仅当10必心-若即z=10时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.7分 （2)设月雅捐为形万元则有”-3+引10-10：-需-后+13x-100， 中3x-1002400,整理得2+30x-1400020,解得x≤-200（舍去 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 15分 18.【详解】 (1)答案[-4,12，过程略。 3分 (2)当a-1时，-a<1,此时不等式y<0的解集为{x|-a<x<1}, 要使解集中恰有3个整数，则-3≤-a<-2,解得2<a≤3， 当a=-1时，-a=1,此时不等式y<0的解集为0，不符合题意； 当a<l时，-a>1,此时不等式y<0的解集为{x1<x<-a}, 3 要使解集中恰有3个整数，则4<-a≤5，解得-5≤a<-4, 综上：实数a的取值范围为{a-5≤a<4或2<a≤3} 9分 (3)当xs3时，不等式y>1-)x+(2a+1)x-2a+1恒成立， 整理可得a(-x+小>2x+1对收el分x≤3恒成立， 又因为之4-(-导0，可得a>247对e恒皮立 令=2x+12s1≤7，则x=1, 2x+1 可得x2-x+】 因为1+2≥2，，7=27，当且仅当1=2，即4=万时等号成立， 2x+14 42W7+4 -≤ 因为2<7<7，所以2-x+1+2-427-43, 7 可得a>27+4 所以a的取值范围 ala>25+4 3 3 17分 19.【详解】 (1)3=22-12,3∈A 3分 (2)任意奇数可表示为2+1=（亿+1）2-k2，k∈Z,因此可知任何奇数都是集合A中的元素、7分 (3)x=m2-n2=(m+m)(m-n),m,n∈Z,且m+”,m-n同是奇数或同是偶数， 所以集合A中的元素是奇数，或者是4的倍数. 4化-2(k∈☑一定是偶数，但不是4的倍数，所以数字4k-2不是集合A中的元素. 12分 (4)因为相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数，由(2)知这4个数中有3个是集合A的元 素.因为2026=675×3+1，所以A中第2026个正整数是675×4+1=2701 17分 4