精品解析：上海市上海虹口多校 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年度第一学期九年级阶段学情数学学科试卷 （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、单选题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是（ ） A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最小值是－3 C. 对称轴为直线 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 3. 若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分． 7. 已知，则的值为_________． 8. 已知抛物线经过点，那么m=________． 9. 抛物线与x轴的交点坐标为____________． 10. 若两个相似三角形的周长比为3：5，则它们的面积比为_____． 11. 已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 12. 对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 13. 已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 14. 黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 15. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 16. 桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为______米． 17. 已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 三、解答题：本大题共7题，满分82分 18. 已知a、b、c满足．求的值． 19. 已知二次函数． （1）求该函数的顶点坐标和对称轴； （2）求它与坐标轴的交点坐标，并求当时，函数的最大值和最小值． 20. 上海博物馆销售一种成本为每件40元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于80元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求每天销售该商品的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 22. 如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； （2）①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期九年级阶段学情数学学科试卷 （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、单选题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是（ ） A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 【答案】A 【解析】 【分析】判断四条线段是否成比例线段，可验证最大数与最小数的乘积是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段，据此选出正确选项． 【详解】解：A选项，，，乘积相等，是成比例线段． B选项，，不是成比例线段． C选项，，不是成比例线段． D选项，，不是成比例线段． 故选：A． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最小值是－3 C. 对称轴为直线 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，故A错误； 对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，故B错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故D错误. 3. 若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为． 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 5. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分． 7. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到，整体代入求解即可． 【详解】解：由已知，得：，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将已知正确变形． 8. 已知抛物线经过点，那么m=________． 【答案】4 【解析】 【分析】把点的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】∵经过点， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是解题关键． 9. 抛物线与x轴的交点坐标为____________． 【答案】， 【解析】 【分析】抛物线与轴交点的纵坐标为，令求解一元二次方程，即可得到交点横坐标． 【详解】解：对于抛物线，令， 得， 因式分解得， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 10. 若两个相似三角形的周长比为3：5，则它们的面积比为_____． 【答案】9：25 【解析】 【分析】根据两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为3：5， ∴两个相似三角形的相似比为3：5， ∴两个相似三角形的面积比为9：25， 故答案为：9：25． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方这一性质是解答的关键． 11. 已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段， 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 12. 对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口方向向下，对称轴为直线，即对称轴是轴， 此时在时，有最大值，且， ∵，且， ∴在时，有最小值，且， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13. 已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数要求自变量的次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵ （为常数）是二次函数， ∴ ，且， 解得或，即或， 由得， 因此． 14. 黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 15. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 16. 桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：由题意得，点， 设抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 即抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（米， 则在距离水面2米处桥拱宽度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 17. 已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题：本大题共7题，满分82分 18. 已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 19. 已知二次函数． （1）求该函数的顶点坐标和对称轴； （2）求它与坐标轴的交点坐标，并求当时，函数的最大值和最小值． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为；当时，函数的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）根据题意，确定抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为， 然后根据函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解： 故抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 令，， 解得； 令，， 故抛物线与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为； 根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为，函数的最小值为，且离对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为， 故当时，函数的最大值为，最小值为． 20. 上海博物馆销售一种成本为每件40元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于80元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求每天销售该商品的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （） （2） 当销售单价为70元时，每天的利润最大，最大利润为1800元 【解析】 【分析】（1）利用总利润单件利润销售量的数量关系，结合给定的销售量与单价的一次函数式推导利润函数，根据单价的限制条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点性质，结合自变量的取值范围求解利润的最大值. 【小问1详解】 解： 由题意得，每件商品的利润为元，销售量为件， ∵ 总利润单件利润销售量， ∴ ， ∵ 销售单价不低于成本单价，且不高于80元， ∴ ， 即与的函数关系式为（）； 【小问2详解】 解：在中，，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在自变量取值范围内， ∴ 当时，取得最大值， 将代入，得， ∴ 当销售单价为70元时，每天的利润最大，最大利润为1800元. 21. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 22. 如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 23. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在；， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 24. 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； （2）①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）1； （2）①；②； （3）或 【解析】 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【小问1详解】 解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $