专题09 圆锥曲线求值与证明（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题09圆锥曲线求值与证明 常考题型·精准突破 题型1 圆锥曲线中求值问题 题型2 圆锥曲线中数量关系的证明 题型3 圆锥曲线中位置关系的证明 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆锥曲线中求值问题 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例1】（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率. (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值. 【解】（1）由题意得，即， 【易错提醒】注意短轴长是2b，而不是b 又，解得， 则的标准方程为. （2）第1步：设点与直线方程 设，，， 由题意设的方程为， 第2步：直曲联立 由消去，可得， 由，得， 【易错提醒】不要忘记对判别式的判断，否则可能丢失步骤分 且，. 第3步：利用两点间的距离公式分别表示出与 ，同理， 第4步:利用根与系数的关系化简求值 所以 即=12. 【变式1】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 【解】（1）因为，所以椭圆的焦点在横轴上， 又因为点在椭圆上且又在横轴上，所以. 又因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 因为焦点在椭圆内部，所以过的直线一定与该椭圆相交， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即. 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，，   ∴ ． 【变式3】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 【变式4】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． (1)求椭圆的焦距与离心率； (2)若轴上一点满足，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【解】（1）由椭圆方程得，则，. 所以，所以焦距为，离心率为. （2）椭圆右焦点，设直线，，. 联立，整理得：. 由韦达定理得：. 由得，即：. 化简得，即. 代入韦达定理结果：，化简得. 即，对任意成立，故. （3）由得，代入得，代入得： ，化简得，即. 因此. . 点到直线的距离：. 所以. 【变式5】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 【解】（1）设的焦距为，由题意得得， 所以的方程为． （2）设：（），：，，． 由，得，得． 由得， 得， 所以 ， 同理可得． 由，得，得，得． 当时，， 得，，，，符合题意． 故的方程为． ◆题型2 圆锥曲线中数量关系的证明 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例2】已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【解】（1）当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，， 所以. （2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. 第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. 【易错提醒】不要忽视二次项的系数不为0，对判别式的判断，. 第三步：用，分别表示出， 于是， 同理可得，. 第四步：利用证明结论 因为，所以 整理得，，而，所以. 【变式1】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知椭圆：的左，右顶点分别是，． (1)点是上异于，的一动点，直线，的斜率分别是，，求的值． (2)直线：与椭圆交于，两点（在第二象限），直线与轴，轴分别交于，两点，求证：． 【解】（1） 椭圆的左、右顶点分别为，， 设点，因为点是椭圆上异于左、右顶点的动点， 所以，且， 直线的斜率，直线的斜率， 所以 （2）直线与椭圆相交，联立方程得，，化简得，， 交点为，，其中在第二象限，即， 由韦达定理得，，所以， 直线与轴、轴分别交于，， ，， 因为，所以 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线，分别交轴于，两点，证明：，，的横坐标成等差数列． 【解】（1）由已知得，，所以， 原点到直线的距离为， 所以 的方程为. （2）证明：当过点的直线斜率不存在时， 直线与椭圆只有1个交点，舍去， 设直线的方程为， 设、，由， 消去整理得， 因此，解得， ，， 直线的方程为，令，得， 同理可得． ， 又因为， ． 因此， 因此，，的横坐标成等差数列. 【变式3】（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【解】（1）由题意可得，，所以， 因为，所以， 所以的方程为. （2）证明：由（1）可知，，设，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【变式5】（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【解】（1）由题知，解得，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（）， 点，的坐标分别为，， 联立得，则， 由，得． 所以 ． 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． （3）由题意得，， 若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ， 因为，则， 则 ，所以，得证. ◆题型3 圆锥曲线中位置关系的证明 【例3】设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【解题指导】（1）切线→切点坐标→由椭圆方程和性质列方程→求→标准方程. （2）方法一：根据相切只有一个交点→联立方程组→求出切点坐标表达式→三点斜率证明三点共线. 方法二：先连接→求此时直线与椭圆的交点坐标→直线与椭圆相切→三点共线 【详解】（1）把代入，解得切点坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 则椭圆标准方程为. （2）第一步：设出直线方程 如图所示， ，设直线为， 第二步：曲线联立 联立方程得消去得. 第三步：利用相切列方程求，切点坐标 相切时，可得. 化简得，解得，故, 故得切点坐标， 第四步：证明三点共线 则，， 可知，则三点共线． 【变式1】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 【解】（1）由，可得① 由点在上，则② 联立①②得，，所以椭圆C的方程为. （2）如图，设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故. 【变式2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设 ，，则 ，. 因为直线 平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ， 所以 且 所以 ，， 又 ， 所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 【变式3】（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆：的焦距为，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形． 【解】（1）由题可知，当与轴垂直时，，不妨设的坐标为， 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为 . （2）设的方程为，，， 联立，消得，易知恒成立， 由韦达定理得，， 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，得，若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分， 下面证， 因为， 代入韦达定理得， 所以，即与相互垂直平分，所以为菱形． 【变式4】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 【解】（1）由椭圆的一个焦点为可知，故椭圆的另一个焦点为, 则， ，. 椭圆的标准方程是. （2）设，若过点P的切线斜率都存在，设其方程为 ， 由得， ， 因为直线与椭圆相切，， ， 整理得， 椭圆C的两条切线的斜率分别为，， 点P在圆上，，即， . 若过点的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为， 则的方程为，的方程为， 所以.综上，对任意满足题设的点，都有. 【变式5】已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 【解】（1）设点，点，则有， 则，因为点在上，所以， 解得或（舍），即， 所以点的坐标为，抛物线的方程为． （2）证明：由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上. 设直线l的方程为，代入，得， 设点，，则， 因为，所以， 得到直线的方程为，令，得， 所以点，同理，点， 设以线段为直径的圆与轴的交点为， 则，， 因为，所以，即， 则， 解得或，故以线段为直径的圆所过定点为和. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 【解】（1）因为，即， 所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线， 代入， 得， 整理得：. 设，因为均在的右支上， 所以，且，所以， 所以. 所以. 所以.所以直线的方程为：，即. 2．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 【解】（1）设的焦距为，由题意得， 可解得，所以的方程为. （2）设：，，． 由得， 得 由，得， 则，得，． 由，得，得． 当时，，与的右支交于两点， 所以的斜率为． 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值； (3)若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【解】（1）已知抛物线，则，所以， 焦点坐标为准线方程为 （2）设在抛物线上，则，且，点， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，函数在上单调递增， 最小值在处取得，即； 当时，对称轴，最小值在处取得， 此时所以 综上，； （3）已知正方形中，在抛物线上，在直线上， 由得：，斜率为，所以的斜率为， 正方形中，因此的斜率也为， 设直线的方程为 与抛物线联立：， 设交点，，则, 所以， 又与平行，在直线上，两平行线之间的距离为， 正方形中与是对边，所以边长等于这个距离，即， 于是，两边乘以，得 平方得 所以， 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 所以正方形的面积为或. 4．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 【解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. （2）由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点）． (1)求的离心率； (2)过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； (3)设过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程． 【解】（1）设椭圆的半焦距为，则有，即，代入， 可得，解得，所以椭圆的离心率为. （2）由（1）知，，，故椭圆方程可化为. 设，，则，则有，， 将两式作差，可得，则， 又轴，则，且，，三点共线，所以， 所以直线与直线的斜率之积为.    （3）由题意知，，则直线的方程为. 联立消去，化简得， 解得，.分别代入的方程，解得，. 因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设. 因为，且由（1）知，故，解得. 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2， 又由圆与相切，得，解得. 所以椭圆的方程为.    7．（2026·湖南岳阳·模拟预测）抛物线的焦点为，且过点．过点的一条直线与交于两点（在线段之间），且与线段交于点． (1)证明：点到和的距离相等； (2)若的面积等于的面积，求点的坐标． 【解】（1）由抛物线过点，得，解得，则的方程为，， 设直线的方程为，， 由得，则，，， 直线的斜率分别为，则 ， 而垂直于轴，则，所以点到和的距离相等. （2）由，得，则直线，， 由（1）得，于是，点P在线段AF的中垂线上， 因此点的纵坐标为1，其横坐标为，所以点. 8．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【解】（1）因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 9．（2026·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【解】（1）把代入，解得切点坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 则椭圆标准方程为. （2） 方法一：如图所示， ，设直线为， 联立方程得消去得. 相切时，可得. 化简得，解得，故, 故得切点坐标，则，，可知，则三点共线． 方法二：已知，可知直线解析式为， 联立直线方程和椭圆方程得，解得， 则交点坐标为， 因为，则直线解析式为， 化简得， 联立方程组得，消去得， 此时, 可知此时直线与椭圆只有一个交点，直线与椭圆相切，可得三点共线． 方法三：因为，可得，设， 可知椭圆参数方程为， 则椭圆切线方程为，代入得， 联立方程组，可知，因为， 所以，解得（舍）， 代入得，求得交点坐标， 则，， 可知，则三点共线． 10．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为. (1)求的离心率； (2)已知过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：. 【解】（1）因为，所以，因为，所以， 所以的方程为1， 故其离心率. （2）证明：当直线的斜率为0时，不妨记， 则， 则. 当直线的斜率不为0时，设， 直线的方程为. 由得， 则0， 所以，且，. 如图， 因为，所以点在线段的垂直平分线上，则. 设，则， 则.① 又点在直线上，所以， 则，所以， 则. 整理得.② 由①②，得，所以，则， 所以. 综上，. 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     12．（26-27高三上·广东·开学考试）已知抛物线经过点． (1)求的方程； (2)若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 【解】（1）因为经过点,所以， 解得,故的方程为． （2）证明：由已知及(1)知，直线轴,所以， 设，由共线得，所以， 所以直线的斜率为，即直线轴． 13．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的左右两支交于、两点． （i）若直线的斜率为，求的长； （ii）若，证明：，，成等比数列． 【解】（1）已知双曲线的离心率为，则，所以，即. 设双曲线的右焦点为，根据双曲线对称性不妨取渐近线方程为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）由（1）知，因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 设，，联立，消去并化简得， 则，， 所以； （ii）由（1）知双曲线的标准方程为，， 由题意直线的斜率存在，设， ，，则由题意. 联立，消去并化简得， 则，，，则有， 因为，所以， 即，所以， 化简得，此时 ， 而 ， 所以，所以，，成等比数列． 14．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 15．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 【解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，则，即. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程化为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故的方程为. （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ，，，， 联立直线的方程与双曲线的方程，并整理， 得， 则，. 与，分别联立，解得，， 则， 因此，即， 因为，， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆锥曲线求值与证明 常考题型·精准突破 题型1 圆锥曲线中求值问题 题型2 圆锥曲线中数量关系的证明 题型3 圆锥曲线中位置关系的证明 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆锥曲线中求值问题 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例1】（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率. (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值. 【变式1】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【变式3】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【变式4】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． (1)求椭圆的焦距与离心率； (2)若轴上一点满足，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【变式5】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． ◆题型2 圆锥曲线中数量关系的证明 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例2】已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【变式1】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知椭圆：的左，右顶点分别是，． (1)点是上异于，的一动点，直线，的斜率分别是，，求的值． (2)直线：与椭圆交于，两点（在第二象限），直线与轴，轴分别交于，两点，求证：． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线，分别交轴于，两点，证明：，，的横坐标成等差数列． 【变式3】（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【变式5】（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． ◆题型3 圆锥曲线中位置关系的证明 【例3】设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【变式1】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 【变式2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【变式3】（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆：的焦距为，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形． 【变式4】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 【变式5】已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 2．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值； (3)若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 4．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点）． (1)求的离心率； (2)过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； (3)设过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程． 7．（2026·湖南岳阳·模拟预测）抛物线的焦点为，且过点．过点的一条直线与交于两点（在线段之间），且与线段交于点． (1)证明：点到和的距离相等； (2)若的面积等于的面积，求点的坐标． 8．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 9．（2026·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 10．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为. (1)求的离心率； (2)已知过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：. 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 12．（26-27高三上·广东·开学考试）已知抛物线经过点． (1)求的方程； (2)若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 13．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的左右两支交于、两点． （i）若直线的斜率为，求的长； （ii）若，证明：，，成等比数列． 14．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 15．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $