专题10 圆锥曲线存在性探究问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题10圆锥曲线存在性探究问题 常考题型·精准突破 题型1 参数存在问题 题型2 点存在问题 题型3 直线存在问题 题型4 位置关系存在问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 参数存在问题 ( 解题贴士 ： 求解含参数的探究性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. ) 【例1】（2026·河南开封·模拟）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． （2）设直线的方程为， 由得， 则，且，， 假设存在，使，则． 因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得．   由，解得．故存在，使． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 【变式2】已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 【变式3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）由，得， 代入椭圆方程可得， 又椭圆离心率为，可知， 解得，， 故椭圆的方程为. （2）①设，，则中点， 由，，三点共线，知， 由，均在椭圆上，，得， 由，则，则. ②由，得， ，解得， 由，故， 则， 而到的距离， 令的面积为，则. 令函数，， 记的导函数为， ， 又根据以及的符号， 知在上单调递增，在和上单调递减， 故在处取得最大值， 所以当，取得最大值. ◆题型2 点存在问题 ( 解题贴士 ： 存在性问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． ) 【例2】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为直线与曲线：（，），交于点，所以，.    设，由直线与轴垂直，所以，， 又因为，所以，即，解得， 再将代入得（因为，故舍去）. 因此点的坐标. （2）设，    因为四边形是以，为邻边的矩形，所以， 因此，得， 又因为，所以，因此，得， 因为在曲线上，所以，再将代入， 得，，， ，令，则， 解得（负根舍去），即. 所以，显然，满足在曲线上. 由， 所以, 所以，所以，即，因此点在线段上. 因此，存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，此时点的横坐标为. 【变式1】椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【解】（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，离心率. （2）设， 当时， 此时；（或者可由） 由对称性，不妨设，且在第一象限，则 此时； 综上，的面积为或. （3）设，则直线， 由已知. 同理：. 因而，是方程的两根，所以. 得 ，由在第一象限得. 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【解】（1）因为抛物线，所以， 设，由抛物线的定义可知， 已知，，则，解得， 将代入抛物线方程，得，因为，所以， 所以，已知的面积为，因为， 又因为，解得，所以抛物线方程为：. （2）    设，，，设直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为：， 因为为直线交直线的交点， 令，则，所以， 因为平分，所以有：， ，，，代入上式有：， 因为在抛物线上，所以，又因为， 将，代入，有：， 整理有：，解得：. 【变式3】（2026·山东临沂二模）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于两点. (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意得，则， 所以，，右焦点， 因为， 所以， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2） 当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ，则， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 因为，因而得证， 综上，存在定点. ◆题型3 直线存在问题 【例3】（2026·重庆·模拟）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 【变式1】设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）． (1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由． 【解】（1）当M的坐标为时，设过点的切线方程为， 与联立，得，整理得， 令，解得或， 分别代入方程得和，故得，， 同时可求得直线MA的方程为，直线MB的方程为， 进而可知，即直线MA与直线MB互相垂直， 则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB， 设该圆上任一点的坐标为，则，， 所以， 从而过M，A，B三点的圆的一般方程为． （圆的标准方程：）． （2）设切点分别为，， 过抛物线上点的切线方程为， 与联立，整理得， ，所以， 又因为，从而过抛物线上点的切线方程为， 即，同理可得过点的切线为， 又切线MA，MB都过点，所以得，， 即点均满足方程， 故直线AB的方程为． 设，其为直线上任意一点， 故对任意成立，从而直线AB恒过定点． （3）由（2）知是方程的两实根， 故有，又，，， 所以． ①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形； ②当时，，，不可能为直角三角形； ③当时，，， 因为，， 所以， 若，则，整理得， 又因为，所以． 因为方程有解的充要条件是，所以当时，有，（的情况同理）， 所以为直角三角形． 综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形， 当时，直线上存在两点，使为直角三角形； 当或时，不是直角三角形． 【变式2】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由已知可得，解得． 故椭圆C的方程为． （2）不存在，理由如下： 据题意，假设存在平行于AB的直线l， 设直线l的方程为，设，， 联立，得， ，即， ，， 因为以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形， 所以，即成立， ，， ， ， 整理得． 代入， 得，即或， 当时，，则， 又因为，解得． 当时，直线l方程为与直线AB重合，不符合题意，舍去； 当时，直线l方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去； 所以不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形． 【变式3】双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以，故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. ◆题型4 位置关系存在问题 【例4】（2026·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上有一动点，求的取值范围； (3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 【解】（1）由题意，得，，所以， 则椭圆的标准方程为； （2）设动点，，， ， ，所以的取值范围为； （3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、， 联立， 消去得， ，即①， 则，， 则，， 则，故， 若，则有， 设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得，故②， 由①②式得，， 则，解得， 所以当时，不存在点，使得. 【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． (1)求的方程． (2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． (3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解】（1）已知离心率，故，结合得, 所以双曲线方程可写为，代入点得：， 解得，所以，双曲线的方程为. （2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论： 若直线斜率不存在，则，由得， 不妨设， 则：，所以； 若直线斜率存在，设为，则， 由，得， 此时且. 设， 由韦达定理：， 则： . 综上，，即为定值. （3）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合， 设中点为，则。 设，则，两式相减得，即， 整理得方程为。 又在双曲线上，代入得，即，故方程为. 若，联立与双曲线，消去得， 即，判别式： 若，则，，代入双曲线得，无实根. 因此不存在满足条件的三点. 【变式2】（25-26高三上·四川·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，. (1)求p的值. (2)设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上. ①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由. ②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由抛物线定义知，，解得； （2）由（1）可得抛物线，， ①若四边形FBAD是平行四边形，则，所以直线DF的方程为， 由，得，因为点B，D均在第一象限，所以， 所以，则， 点A到直线DF的距离为6，平行四边形FBAD的面积为， 故存在点B，D，使得四边形FBAD是平行四边形，且其面积为24；    ②设，， 若，则，因为在矩形FBED中，，则， 又，则， 而不在上，不符合题意； 若，则直线的斜率， 因为在矩形FBED中，，所以，则， 所以直线FB的方程为， 由点的纵坐标，得， 因为在矩形FBED中， 则，将其坐标代入，得， 解得或（舍）， 因为，所以，即， 综上，存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形，此时.    【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. （2）如图：    由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得， ∵，∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. (3)存在，证明如下： 假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上， 由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且， 所以过三点的圆的方程为. 如图：    下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·重庆九龙坡·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. (1)求圆 的方程； (2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 【解】（1）抛物线的焦点，令，得，所以， 所以圆的方程为. （2）不存在这样的，理由如下： 设，， 联立，消去整理得， 故，， 若，则，即得， 又，所以，即，即， 所以，无解，故不存在这样的，使得. 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到，联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得，所以 （3）假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 3．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. （3）不存在常数，使恒为定值.理由如下：如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 【解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左焦点为，所以， 因为点为上一点，为的右焦点，所以， 因为的周长为12，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. （2）（i）因为直线与轴的交点为，所以． 当直线的斜率为0时，三点共线且在轴上，故，此时； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，化简消去得：， ， 解得或， 所以，由韦达定理得，， 所以 ， 综上，为定值0． （ii）由题． 点到直线的距离为， 所以， 令，则，所以． 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，此时成立， 所以面积的最大值为 5．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）设()，则. 直线的斜率，直线的斜率. 由，得，即. 整理得，即，故(，即). 所以的方程为(). （2）设()在上，则. 点与关于轴对称，故. 直线的方程为，令，得，所以. 直线的方程为，令，得，所以. 设，如图所示：，. 由，得，即. 由，得. 代入得，即. 因为，所以，即. 故存在点，坐标为或. 6．（2026·陕西安康·三模）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为抛物线经过点， 所以，所以的方程为．       （2）由题得的方程为，即， 联立，取， 由，得，所以点处的切线的斜率为2， 则在点处的切线方程为，即， 所以点处的切线的斜率为， 则在点处的切线方程为，即， 所以在点处的切线方程为． （3）由题可知的斜率存在， 设，， 联立，得， 则． 当时，，此时点为线段的中点， 过点作的垂线，其方程为， 与直线的交点即为，满足平分．       下面证明点满足题意： 当直线的斜率不存在时，， 此时，则，直线的斜率为， 易得，所以平分， 根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在， 同理可得平分；       当直线的斜率存在且不为时，， 设直线，直线， 点到直线，的距离分别为， 又 成立， 所以，   所以平分． 综上，直线上存在定点，使得平分． 7．（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）由题意得，，，则， 则椭圆的方程为； （2）因为在椭圆上，且点与点关于轴对称， 所以，， 则直线，令，则，则， 直线，令，则，则， 设，则， 因为，所以，得， 因为，所以，故. 8．（2026·广西桂林·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. (1)求的方程； (2)直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 【解】（1）因为是面积为2的等腰直角三角形， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为. （2）联立方程，消去y可得， 则，解得， 设，则，， 可得， 又因为， 若四边形为平行四边形， 则，即， 因为点在椭圆上，则，解得， 所以. 9．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【解】（1）将点代入得，所以：. （2） （i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得， 设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得， 所以， 直线：， 整理得， 因此直线过定点. 又，所以， 所以点F到直线的最大距离为. 10．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【解】（1）解：因为离心率，所以，，， 所以椭圆的标准方程为， 因为经过点，所以，所以 所以椭圆的标准方程为 （2） 解：因为直线l不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在且不为0， 设不垂直于坐标轴的直线的方程为 所以联立得 因为直线l与椭圆C相切， 所以，即， 因为右焦点为F的坐标为， 所以过F作直线l的垂线的方程为， 因为垂足为H，所以联立，得，即 所以 将代入得， 所以，线段的长度是定值，这个值为2． 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设双曲线 ， 由题意得：解得故双曲线方程为 . 设，则 ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点. ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或） 联立方程组：消去得：. 由，即. 又，则，， 所以，即，解得. 所以直线，又，则. 联立方程组：消去得：，因为. 则上式化简为，恒成立. 设，，则，所以为AB的中点. （2）因为与相交，则切线的斜率存在， 由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得 所以，，则， . 所以. 故存在，使得恒成立. 12．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即， 则，， 又因为的面积，即，， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）可知：，， 则直线的斜率，且线段的中点为， 假设存在直线l满足题意，设直线l：，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 即，则， 可得线段的中点为，直线的斜率， 此时，可知直线与直线不垂直， 这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意. 13．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知椭圆C：（）离心率等于且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探究：的面积是否为定值，并说明理由． 【解】（1）由题意得，， 得， 故椭圆C的标准方程为； （2）是，理由如下： 联立，得， 设，则， ， 则 ， 得， 则的面积 ， 即的面积为定值. 14．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． （2）因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以，此时， 设，因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． （3）证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10圆锥曲线存在性探究问题 常考题型·精准突破 题型1 参数存在问题 题型2 点存在问题 题型3 直线存在问题 题型4 位置关系存在问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 参数存在问题 ( 解题贴士 ： 求解含参数的探究性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. ) 【例1】（2026·河南开封·模拟）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. ◆题型2 点存在问题 ( 解题贴士 ： 存在性问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． ) 【例2】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式3】（2026·山东临沂二模）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于两点. (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. ◆题型3 直线存在问题 【例3】（2026·重庆·模拟）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式1】设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）． (1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由． 【变式2】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【变式3】双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． ◆题型4 位置关系存在问题 【例4】（2026·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上有一动点，求的取值范围； (3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． (1)求的方程． (2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． (3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26高三上·四川·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，. (1)求p的值. (2)设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上. ①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由. ②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·重庆九龙坡·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. (1)求圆 的方程； (2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 5．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 6．（2026·陕西安康·三模）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 8．（2026·广西桂林·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. (1)求的方程； (2)直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 9．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 10．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 13．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知椭圆C：（）离心率等于且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探究：的面积是否为定值，并说明理由． 14．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $