专题07 直线与圆锥曲线综合问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题07直线与圆锥曲线综合问题 常考题型·精准突破 题型01求直线与圆锥曲线的交点 题型02直线与圆锥曲线的位置关系 题型03 弦长问题 题型04中点弦问题 题型05圆锥曲线的切线问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01求直线与圆锥曲线的交点 ( 解题贴士 ： 研究直线与 圆锥曲线交点 问题 ， 实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 ， 此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用 . ) 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． ◆题型02直线与圆锥曲线的位置关系 ( 解题贴士 ： 直线与 圆锥曲线 的位置关系有相交、相切、相离三种情形 ， 通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组 ， 消去方程组中的一个变量 ， 得到关于另一个变量的一元二次方程 ， 根据 Δ ＞ 0 ， Δ ＝ 0 ， Δ ＜ 0 即可判断直线与椭圆的位置关系 . 不含参数时也可以直接解方程组 ， 根据解的个数判断 . ) 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（    ）． A． B．或 C．且 D．且 【变式5】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式6】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【变式8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆题型03 弦长问题 ( 解题贴士 ： 　 求弦长的两种方法 （ 1 ） 求出直线与 圆锥曲线 的两交点坐标 ， 用两点间距离公式求弦长 ； （ 2 ） 联立直线与 圆锥曲线 的方程 ， 消元得到关于一个未知数的一元二次方程 ， 利用弦长公式求弦长 . ) 【例3】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】（25-26高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式4】（2026·河北承德·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【变式5】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. ◆题型04中点弦问题 ( 解题贴士 ： 解决 圆锥曲线 “ 中点弦 ” 问题的方法 ) 【例4】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【变式6】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 【变式7】（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【变式8】（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． ◆题型05圆锥曲线的切线问题 ( 解题贴士 ： 1. 设 为椭圆 上 的点, 则过该点的切线方程为 2 . 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为 3 . 设 为抛物线 上的点, 则过该点的切线方程为 ) 【例5】（2026·山东日照·一模）已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】求双曲线在点处的切线方程． 【变式2】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3】一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（2026·安徽合肥·二模）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 4．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 5．（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 9．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 13．（25-26高二上·浙江台州·期末）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 15．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆为第一象限内椭圆上的动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、，连接，则（   ） A．存在点，使得 B．面积的最大值为 C．重心的轨迹为椭圆的一部分 D．原点到直线的距离的最大值为 16．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 17．（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 18．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 19．（云南省部分校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 20．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 21．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 22.（2026·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直线与圆锥曲线综合问题 常考题型·精准突破 题型01求直线与圆锥曲线的交点 题型02直线与圆锥曲线的位置关系 题型03 弦长问题 题型04中点弦问题 题型05圆锥曲线的切线问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01求直线与圆锥曲线的交点 ( 解题贴士 ： 研究直线与 圆锥曲线交点 问题 ， 实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 ， 此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用 . ) 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】由题，长轴长为，所以，由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点.故选：B 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以.故选A 【变式2】（25-26高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为故选：D 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，，由题知，由， 可得， 则，故选C ◆题型02直线与圆锥曲线的位置关系 ( 解题贴士 ： 直线与 圆锥曲线 的位置关系有相交、相切、相离三种情形 ， 通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组 ， 消去方程组中的一个变量 ， 得到关于另一个变量的一元二次方程 ， 根据 Δ ＞ 0 ， Δ ＝ 0 ， Δ ＜ 0 即可判断直线与椭圆的位置关系 . 不含参数时也可以直接解方程组 ， 根据解的个数判断 . ) 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是.故选：A. 【变式2】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得.故选：B. 【变式3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故，故或，故选：D. 【变式4】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（    ）． A． B．或 C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为直线过定点， 要使直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆内部或椭圆上即可， 所以，解得且，故选：C 【变式5】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 【变式6】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A 【变式7】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意有：， 所以，解得，故选：C. 【变式8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线过点可得直线的方程为， 由得， ∵直线与抛物线相交于不同的两点， ∴，即，解得且． ∴斜率的取值范围是．故选：A. ◆题型03 弦长问题 ( 解题贴士 ： 　 求弦长的两种方法 （ 1 ） 求出直线与 圆锥曲线 的两交点坐标 ， 用两点间距离公式求弦长 ； （ 2 ） 联立直线与 圆锥曲线 的方程 ， 消元得到关于一个未知数的一元二次方程 ， 利用弦长公式求弦长 . ) 【例3】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，，则通径长为.故选：D 【变式1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则，故弦的长度为.故选：A. 【变式2】（25-26高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知，可化为， 即，解得，故双曲线方程为：，故选：C 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 【变式4】（2026·河北承德·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【答案】 【解析】抛物线 的准线为，，， ， 是过且与C 的对称轴垂直的直线，且l交C于A，B两点，且， ，，，， 当时，，； 当时，，. 故答案为：. 【变式5】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. ◆题型04中点弦问题 ( 解题贴士 ： 解决 圆锥曲线 “ 中点弦 ” 问题的方法 ) 【例4】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得，化简得， 因为，，所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为.故选C 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得；故选C 【变式4】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为.故选：A. 【变式5】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【解析】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 【变式6】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 【答案】 【解析】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为，所以，解得，满足判别式，故. 【变式7】（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【解析】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则，， 所以焦点弦长，已知，代入得， 中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，因此距离为. 【变式8】（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． ◆题型05圆锥曲线的切线问题 ( 解题贴士 ： 1. 设 为椭圆 上 的点, 则过该点的切线方程为 2 . 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为 3 . 设 为抛物线 上的点, 则过该点的切线方程为 ) 【例5】（2026·山东日照·一模）已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在椭圆上，故可得，解得； 由类比可得椭圆在点处的切线方程为：，整理可得，故选：C. 【变式1】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【解析】因在双曲线上，双曲线在点处的切线方程为. 【变式2】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】设，由题意得，过点的切线的方程为， 令，可得，令，可得，所以△OMN面积， 又点在椭圆上，所以，所以 ， 当且仅当，即时“等号”成立，所以△OMN面积的最小值为2．故选B 【变式3】一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过双曲线上一点，作双曲线的切线，切线方程为，将代入切线方程，解得：，代入双曲线方程解得：， 则切线方程：，由该切线的斜率为，可得， 由双曲线的离心率，故选：B. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件.故选：C 2．（25-26高二上·全国·课后作业）过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】  过点且斜率不存在的直线，与抛物线C无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立，得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 则，得：，则直线方程为或与抛物线C相切，即此时与抛物线C有且只有一个公共点； 又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故选：C. 3．（2026·安徽合肥·二模）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】，解得或， 则. 4．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【解析】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个.故选：C. 5．（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时， 即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 则直线必须在两渐近线之间，此时的取值范围为，故D正确. 6．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】曲线，当时，变形为：， 即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点 长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 7．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由，得. ，解得.故选：B. 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解析】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确.故选：D 9．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 10．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得，解得，， 所以．故选：D． 11．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, ，则.故选：B. 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 13．（25-26高二上·浙江台州·期末）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设，记AB的中点为. 则，两式相减得，. 当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为. 所以，即，即. 对于A，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以A正确； 对于B，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点， 即不可以作为线段中点，所以B不正确； 对于C，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点， 即不可以作为线段中点，所以C不正确； 对于D，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得， 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以D正确. 故选：AD. 14．（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【答案】AC 【解析】抛物线，， A，，则，A正确； B，设且，则，得，，B错误； C，因为，所以点在抛物线开口外侧，如下图： 所以，C正确； D，由，则， 而，则，由题意直线的斜率一定存在， 所以，则，可得，D错误. 故选：AC 15．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆为第一象限内椭圆上的动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、，连接，则（   ） A．存在点，使得 B．面积的最大值为 C．重心的轨迹为椭圆的一部分 D．原点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】设，，， 选项A：，， 已知，， 即， 因为，故选项A错误； 选项B：令，，，， 当时，取最大值，故选项B正确； 选项C：由AB选项可知的重心G满足，， 消去参数得的重心G轨迹方程为， 的重心G的轨迹为椭圆的一部分，故选项C正确； 选项D：设直线，即， 距离，由椭圆 所以， 当即，时取等号 ，故选项D正确． 16．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 【答案】 【解析】因为抛物线，所以焦点，又因为直线倾斜角为，可知直线为. 代入抛物线可知，解得，，因为位于轴上方，所以，. 17．（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 18．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 19．（云南省部分校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 【解】（1）由焦距为2得，到的最大距离为， 所以，，所以椭圆的方程为． （2）当为椭圆短轴顶点时，与两焦点所围成的△面积最大， 所以，所以△的面积的最大值为． （3）设，， 代入椭圆方程得，， 两式相减得， 由中点，得，， 代入得直线斜率，故直线l的方程为， 即，将直线l的方程代入椭圆方程得， ，符合题意， 所以直线l的方程为． 20．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 21．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 【解】（1）所求直线不存在，理由如下：如图： 因为直线与双曲线交于，两点，所以直线必有斜率. 设直线：，即. 代入双曲线方程得， 整理得：. 因为方程有2个解，所以. 设，，则. 若为线段的中点，则. 但不满足，故所求直线不存在. （2）直线与双曲线左右两支都相交， 则方程有1正1负两根. 所以. 即直线斜率的取值范围为. 22.（2026·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【解】（1）设，则有，即， 双曲线的两条渐近线的方程为，则， 故； （2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为. 证明：由两边对求导：，即， 于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*）， 因在双曲线上，则有， 故（*）可化成：，即得证. 记, 将代入，解得，， 将代入，解得， 则有， ， 即点为中点，故； （3）设，则， 又， 故. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $