17.1 用提公因式法分解因式（第2课时）教学课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解 17．1　用提公因式法分解因式 第2课时　公因式与符号 人教版 八年级 数学（上） 看一个数 1．先把数拆开： (1)把84拆成质数相乘的形式，即得___________； (2)把66照样拆成几个质数的积，得_________; (3)把x2＋x也化成几个整式的积，得_______； (4)x2－1也化成几个整式相乘，得___________. 2×2×3×7 2×3×11 x(x＋1) (x＋1)(x－1) 胸怀凌云志 落笔有锋芒 2 2．因式分解，就是把多项式写成几个整式的　　_____的形式，又叫作给这个多项式_________.多项式的每一项若都带着同一个公因式，就可以把它整体挪到括号外边，写成_______与其余各项因式的______的形式，像这样的一套做法就叫作____________. 乘积 分解因式 公因式 乘积 提公因式法 3．多项式45a2bc－30ab2c＋15abc各项共有的公因式是 ( ) A．15a2b2c2　　　　　B．5abc　　　　　 C．15abc　　　　　 D．45a2b2c2 C 找规律 1.把 6b3p2 + 9bp3q 写成积的形式.　 思路：先定公因式. ①看系数： ②看字母： ③看指数： 3 b 1 6与9的最大公约数为3 b3p2 和 bp3q 里都有字母 b 与 p p 2 b的最低次幂是1，p的最低次幂为2 3bp2 6b3p2 + 9bp3q 若只提出 3bp，剩下那部分的两项还含公因式吗？ (6b3p2 + 9bp3q)÷(3bp) = 2b2p+ 3p2q 还能再提出 p 解： 6b3p2 + 9bp3q = 3bp2·2b2 + 3bp2·3pq = 3bp2(2b2 + 3pq) 2．试把6(p－q)3＋12(q－p)2写成积． (q – p)2 = (p – q)2 公因式不一定是单项式，整串括号也能提出 思路：公因式是______ 6(p-q)2 (2) 6(p – q)3 + 12(q – p)2 = 6(p – q)2·(p – q) + 6(p – q)2·2 = 6(p – q)2(p – q + 2) 先认准几组常用的恒等变形： （1） – p+q = __________； （2）(p – q)2 = __________； – (p – q) (q – p)2 （3）(p – q)3 = __________. – (q – p)3 胸怀凌云志 落笔有锋芒 8 (q-p)n = (p-q)n （n为偶数）， -(p-q)n （n为奇数）. 照这样算 例3 提出公因式 3b(p + q) – 5(p + q)； 解： 3b(p + q) – 5(p + q) = (p + q)(3b – 5) 例2　下面两式分解： (1)12b2＋18bp－6； (2)8p2＋12pn－20pn2； 解：原式＝6(2b2＋3bp－1); 解：原式＝4p(2p＋3n－5n2)； (3)5b(x＋y)＋3(x＋y); (4)p(a－b)－q(b－a). 解：原式＝(x＋y)(5b＋3); 解：原式＝(a－b)(p＋q). 例3　用简便算法求值： (1)×15－×15－×15; 解：原式＝（－－）×15 ＝－1×15 ＝－15； (2)3 500＋3 5002－3 5012. 解：原式＝3 500×(1＋3 500)－3 5012 ＝3 500×3 501－3 5012 ＝3 501×(3 500－3 501) ＝－3 501. 例4　把4(x－2y)2(x＋2y)＋5(2y－x)(x＋2y)2先分解，再求当x＋2y＝3，2y－x＝1时，这个式子的值． 解：4(x－2y)2(x＋2y)＋5(2y－x)(x＋2y)2 ＝(2y－x)(x＋2y)[4(2y－x)＋5(x＋2y)] ＝(2y－x)(x＋2y)(18y＋x). 由 解得 当x＋2y＝3，2y－x＝1时， 原式＝1×3×(18＋1)＝3×19＝57. 练笔 1．四个里只有一个是对的 ( ) A．－3b2＋3bp－3bq＝－3b(b＋p－q) B．6bpq－4b2p2＝2bpq(3－2bp) C．4b2q－8bq＋4q＝4q(b2－2b) D．3b2p＋3bp2＝3bp(b＋p) D 2．设bp＝9，b－3p＝4，那么b2p－3bp2等于　　______. 36 3.下面两题，提公因式： (1) 5b(p + q) – 3p(p + q)； 解：(1) 5b(p + q) – 3p(p + q) = (p + q)(5b – 3p) = 4p(y – 3) – (y – 3) (2) 4p(y – 3) + (3 – y). = (y – 3)(4p – 1) 4．分解成积： (1)(b－p)2－(p－b); 解：原式＝(b－p)2＋(b－p) ＝(b－p)(b－p＋1); (2)y(y＋5)－y－5. 解：原式＝y(y＋5)－(y＋5) ＝(y＋5)(y－1). 5．设a，b，c是△ABC的三条边，且a2－ab＋3ac－3bc＝0，请判断△ABC是什么形状． 解：∵a(a－b)＋3c(a－b)＝0， ∴(a－b)(a＋3c)＝0. 又∵a，b，c是△ABC的三条边， ∴a＋3c≠0， ∴a－b＝0，∴a＝b， 即△ABC是等腰三角形． 回头看 记成一个式子：原式＝m×括号 (1)系数取最大公约数，字母取最低次； (2)原式÷m，商整段写进括号； (3)括号里各项不再有公共因式． 当堂练 1. 因式分解： （1）6b2p + 3bp； （2）6p2q + 9pq – 3pq2； 解：(1) 原式 = 3bp·2b + 3bp·1 (2) 原式 = 3pq·2p + 3pq·3 – 3pq·q = 3pq(2p + 3 – q) = 3bp(2b + 1) (3) 原式 = (4b – p)(m2 + n2) (4) 原式 = 3b(y – z)3 + 6p(y – z)3 = 3(b + 2p)(y – z)3 （3）4b(m2 + n2) – p(m2 + n2)； （4）3b(y – z)3 – 6p(z – y)3. 2. 先提公因式，再代值：3p2(y + 6) – 4(y + 6)， 这里 p = – 4，y = 5 . 解：原式 = (3p2 – 4)(y + 6) 当 p = – 4，y = 5 时， (3p2 – 4)(y + 6) = [3×(–4)2 – 4]×11 = 44×11 = 484 3. 已知 n 为任意正整数，求证 5n+2 – 3×5n+1 + 2×5n 能被 12 整除. 解：5n+2 – 3×5n+1 + 2×5n = 5n×52 – 5n×3×5 + 5n×2 = 5n×(52 – 3×5 + 2) =5n×12 由于 5n为整数，故 5n×12 能被 12 整除， 因此 5n+2 – 3×5n+1 + 2×5n 能被 12 整除. ①课本 ②练习册 ③错题重做 下次课查 $