17.2用公式法分解因式（第2课时）教学课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解 17.2　用公式法分解因式 第2课时　完全平方公式逆用 人教版 八年级 数学（上） 遗留问题 1．先动笔补全乘法公式：(a＋b)2＝a2＋____＋b2；(a－b)2＝a2－_____＋b2. 2．动手填：(1)(4c－__)2＝_____－8ct＋t2； (2)(____＋____)2＝9c2＋12ct＋4t2. 2ab 2ab t 16c2 3c 2t 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 3．动笔算： (1)(5t＋2)2；　　　　(2)(c-t)2. 解：原式＝25t2＋20t＋4;   解：原式＝c2－ct＋t2. 先猜后证 看结构 首尾两项能写成平方吗？ a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 首平方 尾平方 2倍乘积居中 完全平方式 注意：①两平方项必须同号； ②中间项即积的2倍. 完全平方公式： 两边对调，反着用： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 首尾能写成平方、中间是两底数积的2倍，就能倒着写成和或差的平方. 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 5 即把两数的平方加起来，再加或减它们乘积的 2 倍，结果就是两数和或差的平方. a2＋2ab＋b2　　　 a2－2ab＋b2 这样的式子. 首尾是平方吗？动手：　 (1) (c + t)2 – 10(c + t) + 25； 解：(1) (c + t)2 – 10(c + t) + 25 = (c + t)2 – 2·(c + t)·5 + 52 首尾都可开方 m2 52 2·m·5 = (c + t – 5)2 整体换元： c + t = m (2) – c2 + 6ct – 9t2. (2) – c2 + 6ct – 9t2 = – (c2 – 6ct + 9t2) = – [c2 – 2·c·3t + (3t)2] 先提出负号： 括号内也可配方 – (c2 – 6ct + 9t2) = – (c – 3t)2 c2 2·c·3t (3t)2 分解因式，按这四步走： ①先把项排整齐，首项别带负号； ②提公因式； ③套公式分解； ④再看各因式还能不能再分． 要写成两数和或差的平方，这个三项式得同时满足三条： 只含三项； 里面有两项分别是一个平方，而且这两项的符号要一致； ③第三项正好是那两个底数乘积的±2倍． 推论 由它还能推出几个常用变形： a2 + b2 的变式 a2+b2 = (a+b)2–2ab a2+b2 = [(a+b)2+(a–b)2] a2+b2 = (a–b)2+2ab ab 怎么求 ab = [(a+b)2–(a2+b2)] ab =[(a2+b2)–(a–b)2] ab =[(a+b)2–(a–b)2] (a±b)2 怎么转 (a+b)2 = (a–b)2+4ab (a–b)2 = (a+b)2–4ab 把乘法公式左右对调，就多出一类公式：能把特定形状的三项式直接写成两个数和或差的平方. 靠公式把多项式拆成乘积，这种做法叫公式法. 例1　先看首尾再分解：　 (1) t2 + 8t + 16； 解：(1) t2 + 8t + 16 = t2 + 2·t·4 + 42 思路： 首尾是平方 a2 2·t·4 = (t + 4)2 通用走法 42 (2) 9c2 – 12c + 4. 中间恰为2倍积 (3c)2 22 2·3c·2 (2) 9c2 – 12c + 4 = (3c)2 – 2·3c·2 + 22 = (3c – 2)2 提示： 例2　中间项是两倍吗？ (1)c2＋ct＋t2； 解：原式＝(c+t)2； (2)－3c3t＋6c2t－3ct；(3)(c－t)2－4(t－c)＋4. 解：原式＝－3ct(c2－2c＋1) ＝－3ct(c－1)2； 解：原式＝(c－t)2＋4(c－t)＋4 ＝(c－t＋2)2. 例3　若x－y＝1，求下式的值，先配成平方：(x2＋y2)－xy． 解：(x2＋y2)－xy ＝(x2＋y2－2xy) ＝(x－y)2 ＝×12 ＝. 辨析 1. 这四个式子，哪几个能写成平方？ （1）a2 – 4a + 4 （2）1 + 4a2 能 少一项，不能 不能 a2 22 2·a·2 a2 b2 2·a·0.5b 末项带负号，不能 （3）4b2 + 4b – 1 （4）a2 + ab + b2 2. 先说首尾的平方，再拆： （1）c2 + 4c + 4； （2）t2 – 10t + 25； 解：(1) c2 + 4c + 4 = c2 + 2·c·2 + 22 = (c + 2)2 (2) t2 – 10t + 25 = t2 – 2·t·5 + 52 = (t – 5)2 （3）9c2 – 6c + 1； （4）4c2 + 12ct + 9t2； (3) 9c2 – 6c + 1 = (3c)2 – 2·3c·1 + 12 = (3c – 1)2 (4) 4c2 + 12ct + 9t2 = (2c)2 + 2·2c·3t + (3t)2 = (2c + 3t)2 3．先定首尾，再定中间： (1)－c2＋8ct－16t2;    　　 　　   (2)9(c－t)2－6(c－t)＋1. 解：原式＝－(c2－8ct＋16t2) ＝－(c－4t)2;    解：原式＝[3(c－t)－1]2 ＝(3c－3t－1)2. 4．若|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值． 解：把后两项配成平方，得|b－4|＋(a－)2＝0. ∵|b－4|≥0，(a－)2≥0， ∴b－4＝0，a－＝0， 由此b＝4，a＝. ∴ab＝()4＝. 三问三答 把和化成积，靠的是公式，这法子叫公式法. 测一测 1.四个结果只有一个正确，找出它( ) A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y) A 2．先看能否成方，再填： (1)t2－6t＋9＝__________； (2)(c＋t)2－8(c＋t)＋16＝__________. (t－3)2 (c＋t－4)2 3.分解因式(x－2)2－2(x－2)＋1能拆成( ) A．(x－1)(x－2)     B．x2 C．(x＋1)2     D．(x－3)2 D 4.两题都要先看首尾：(1)c2＋ct＋t2＝___________； (2)t4－2t2＋1＝______________. (c＋t)2 (t＋1)2(t－1)2 5.(1)若x－1＝，那么(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝_____； (2)若a2－4a＋4＋9b2＋6b＋1＝0，这时a＝　　____，b＝______. 2 － 做完学生用书上这节练习 课后作业 $