第7讲最值与范围讲义-2027届高三数学一轮复习

最值与范围 解析几何 · 专题篇 一 距离与长度最值 一、距离最值只两条路：定义转化、函数求最值。 定义转化：把到焦点的距离换成到准线的距离（或反过来），再把两条线段接在一起，三点共线时取最值。 函数法：把距离写成单变量（、 或 ）的函数，用二次函数、基本不等式、三角换元求最值。 ★ 抛物线与双曲线的焦半径公式让「定义转化」特别顺，本节十道里有六道走这条路；椭圆与圆的题多用函数法。 二、抛物线的两条转化。 上点 满足 ；故「到焦点的距离」等价于「到准线的距离」。 ★ 一旦把 换成「到准线的距离」，所求的「两点距离 + 一点到定直线距离」就变成「一条折线」，三点共线时最短。 三、双曲线的转化要注意方向。 在右支时 ，故 ；把要求的那段换成另一段，再与定点的距离拼成折线。 ★ 符号最容易错：右支上「到右焦点的距离」比「到左焦点的距离」小 ，写反了最值会差 。 四、圆上的动点先看圆心。 若动点在圆上，把「到定点的距离」化成「圆心到定点的距离 半径」；若动点在圆内某条线段上，取圆心作参考点。 ★ 本节第一道题正是这样：动点轨迹是圆，最小值等于「圆心到准线的距离减去半径」。 五、分式型的最值用换元。 形如 或 的式子，先用定义把分子换成纵坐标，再设 一类，化为单变量。 ★ 换元后要写出 的取值范围，否则最值可能取在定义域外。 例1（填空·★★★☆☆） 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________。 【切入点】 满足 ——这是「到两定点距离之比为定值」的阿波罗尼斯圆，先把轨迹求出来。 【关键】设 ，由 两边平方整理，得 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 在抛物线 上，由定义 等于 到准线 的距离，故 就是「 到准线」的距离。 圆心 到准线 的距离为 ，减去半径 ，得最小值 。 【易错】第一， 两边平方后是圆而不是直线 —— 比值不为 时一定是圆。第二， 的最小值不能只算「圆心到准线」，还要减半径。第三，取等时要说明 、、圆心三点共线的位置确实可取到。 【答案】 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当时，则 D. 【切入点】 在抛物线上，先定 ；再过焦点作直线交抛物线于 、，逐项判断。 由 得 ，抛物线为 ，焦点 。 设 ，联立得 ，故 、。 第一项：，最小值是 而不是 ，故该项错误。 第二项： 中点到准线 的距离等于 （抛物线焦点弦的经典性质），故以 为直径的圆与直线 相切，正确。 第三项：由 得 ，结合 解出 ，再算对应量，与选项一致，正确。 第四项：，由 得 ，故数量积为 ，与选项一致，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 的最小值是 ，对应 （通径），不要求导。第二，「以焦点弦为直径的圆与准线相切」是固定结论，可直接用。第三， 由 与 换算，不是韦达直接给出。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 【切入点】过 作 的垂线，垂足 ——这个条件说明 的轨迹是以 为直径的圆。 【关键】、，由 且 过 知 ，故 在以 为直径的圆上，圆心 、半径 。 在 上，准线 ；由定义 等于 到准线的距离，记垂足为 ，则 。 在圆上，故 的最小值为「圆心到准线的距离减去半径」即 ，选 C。 【易错】第一， 是「 过 的直线」的直接推论，由此才能断定 在圆上。第二， 换成「到准线的距离」后，折线 的两端分别是圆上的点和准线。第三，最小值要减去圆的半径，不能只算圆心到准线的距离 。 【答案】 变式1-3（多选·★★★☆☆） 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，则（ ） A. 过A作的垂线，垂足为，若，则 B. 若直线BO与交于点，则直线AP平行于轴 C. 以线段BF为直径的圆上的点到的最小距离为1 D. 以线段AB为直径的圆截轴所得弦长的最小值为 【切入点】过焦点 的弦 ，四项分别考等边三角形、平行关系、圆的距离、弦长最小值。 第一项：过 作准线的垂线，垂足 ，由定义 ，若 则 为等边三角形，由此推出的角度与选项所给不符，该项错误。 第二项：设 ，与 联立得 ，故 ；直线 与准线 交于 ，算得 与 的纵坐标相同，故 轴，正确。 第三项：以 为直径的圆，圆心到准线的距离等于半径减去 ，故圆上的点到准线的最小距离为 ，正确。 第四项：以 为直径的圆截 轴所得弦长用弦长公式算出，最小值为 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 里的负号来自 代入后常数项为 （ 时 ）。第二， 轴靠「纵坐标相同」判断。第三，第四项的弦长最小值要在 垂直于 轴（通径）时取到，此时弦长为 。 【答案】 变式1-4（多选·★★★★☆） 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 【切入点】 运动到 时焦半径有最小值 ——先由此定 ，再看圆上的点与 的距离。 第一项：由 得 ，正确。 第二项：圆 的半径 ；设 ，用二次函数求 的最小值为 ，故 的最小值为 而不是 ，该项错误。 第三项： 时，直线 到圆心 的距离恰等于半径 ，故相切，正确。 第四项：设 的方程，由中点落在 上解出参数，但此时 ，说明不存在这样的直线，该项错误。故选 AC。 【易错】第一， 的最小值要减半径，选项写成 是忘了这一步。第二，相切要验证「圆心到直线距离 = 半径」，不能凭图看。第三，对称型存在性必须验 ，本题正是靠这一步否定。 【答案】 变式1-5（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为__________。 【切入点】求 的最小值 ——先用定义把 换成 ，再换元。 【关键】 的焦点 ，由定义 ；，。 于是 。 设 ，代入 求 的取值范围，再取倒数平方根的最值，得 。 【易错】第一， 中的 是 ，因为 对应 。第二，化成 后求的是「比值的平方」，最后要开方。第三， 的范围由「 在抛物线上」决定，不能取全体实数。 【答案】 变式1-6（填空·★★★☆☆） 双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为_________。 【切入点】 在双曲线右支上，左焦点为 ——用定义把 换成 ，让 、、 三点共线。 【关键】双曲线 中 ，右焦点 ； 在右支上，故 ，即 。 于是 ；由三角形两边之和大于第三边，。 、，，故最小值为 。 【易错】第一， 是到左焦点的距离，用定义换成 （右支上到左焦点更远）。第二， 由两点距离算出，不是 或 。第三，等号在 、、 共线且 在中间时取到，要确认这样的 在右支上。 【答案】 变式1-7（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在抛物线上，求它到两条直线的距离之和 ——一条是定直线 ，另一条是准线平移后的 。 【关键】 的焦点 、准线 ；由定义 等于 到 的距离。 到 的距离等于「到 的距离 」，故所求之和为 。 、、 三点共线时 最小，等于 到 的距离 ，故最小值为 ，选 D。 【易错】第一， 不是准线，准线是 ——两者差 ，最后要加回来。第二， 到 的距离分母是 。第三，三点共线时取等，要说明 确实落在线段 上。 【答案】 变式1-8（单选·★★★☆☆） 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在双曲线右支上，右焦点为 ， —— 把 换成左焦点的焦半径。 【关键】 中 ，左焦点 ； 在右支上，故 。 于是 。 ，故最小值为 ，选 B。 【易错】第一， 故 ，不是 或 。第二，右支上「到右焦点近、到左焦点远」，所以 。第三， 用两点距离算得 ，再减 得结果。 【答案】 变式1-9（多选·★★★★☆） （多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C. 点到两条渐近线的距离的乘积为 D. 已知点，则的最小值为5 【切入点】双曲线 ， 在右支上，四项分别考斜率范围、等腰三角形、到两渐近线距离之积、距离差。 第一项：设 （），，把 代入后换元，由二次函数性质得 的范围，与选项一致，正确。 第二项：等腰三角形要分三种情形讨论，其中「以 为底」这种情形不成立，故该项错误。 第三项：设 的坐标，由点到直线距离公式算得两渐近线距离之积为定值 ，正确。 第四项： 与 的距离差由三角不等式取到某值，与选项所给不等，错误。故选 AC。 【易错】第一， 换元后是关于 的函数，要用 限制。第二，等腰三角形三种情形缺一不可，「以焦点连线为底」往往不成立。第三，距离之积的定值分母是 ，分子含 。 【答案】 二 面积最值 一、焦点三角形的面积最值。 椭圆：，当 在短轴端点时 最大、 最大为 ；双曲线：，方向相反。 ★ 椭圆面积最大值 也可直接看：底为 、高最大为 ，。双曲线没有最大值（ 可无限远）。 二、底×高型的三步。 定底：找一条长度固定的边（如焦距、）；定高：另一顶点到这条边的距离；求最值：高化成单变量函数，用二次函数或基本不等式。 ★ 焦点在 轴上时，高往往就是纵坐标的绝对值，所以「面积最值」常与「纵坐标最值」等价。 三、四边形面积拆成两个三角形。 四边形 若对角线 在坐标轴上，可拆成 与 ，两者共用底 ，面积之和为 。 ★ 本节有一道四边形面积题，关键在于「 在右顶点时面积最小」——因为此时两条高的差最小。 四、面积与参数的关系要算到底。 写出 关于参数的表达式后，要化简到「能看出单调性或能配方」的形式，不能停在中间式子。 ★ 常见结果是 这类，分式求最值用分离常数或换元。 五、两个易错点。 一是面积必须是正数，取绝对值时别漏；二是「面积最大」与「距离最大」不一定同时取到 —— 底不固定时两者会冲突。 ★ 本节有一道题问「圆面积最小」，本质是「半径最小」，转化为「弦长最小」再做。 六、本节十道题的分工。 前三道是焦点三角形的直接应用：面积最大值 、用 或 算定值。 中间四道是「面积 + 参数」：把面积写成 、 的函数，用二次函数或基本不等式求最值。 后三道是「面积 + 几何位置」：面积最小对应点的特殊位置（顶点、切点），要先看图形再算。 ★ 判断属于哪一类的信号：题干给了角度或 就是前三类，给了斜率或动点坐标就是中间类，只说「最小」不给参数就是后一类。 例2（多选·★★★★☆） 若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为9 B. 若为圆上的一动点，则的最小值为3 C. 四边形面积的最小值为 D. 的最小值为 【切入点】双曲线 ，圆 的圆心恰是右焦点 ——先认清这个位置关系。 双曲线中 、、，圆圆心为 、半径 ，正是 与半径 。 第一项：由焦点三角形面积公式 ，与选项所给值不符，故该项错误。 第二项： 中 在圆上，由定义把 换成 ，再用 、、圆心三点关系得最小值，该项正确。 第三项：四边形 由两条切线 、 与半径 、 围成，面积为 （两条直角三角形拼成）； 在右顶点时 最小为 ，但需按切线长公式修正，最终最小面积为 ，正确。 第四项： 用切线长与夹角表示，由基本不等式求得的下界与选项不符，错误。故选 BC。 【易错】第一，圆心 就是右焦点，这是整道题的结构基础。第二，双曲线焦点三角形面积用 ，椭圆才用 。第三，四边形面积的「最小」靠 的位置，不是靠参数配方。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）。 A. 的面积的最大值为12 B. 的平分线必过椭圆的中心 C. 若，则 D. 设，椭圆C上存在点P，使得 【切入点】椭圆 中 、、 —— 四项都围绕焦点三角形。 第一项： 在短轴顶点时面积最大，，正确。 第二项：若角平分线过中心 ，由 与角平分线定理推出，这只有在 位于短轴端点时成立，故「必过」不成立，该项错误。 第三项：由 得该角为 ，结合椭圆定义与余弦定理算出的量与该选项一致，正确。 第四项：设 ，由 与 得 ，故 的最大值满足 ，与选项一致，正确。故选 ACD。 【易错】第一，面积最大值 在短轴端点取到，不是长轴端点。第二，角平分线过中心这个结论只对部分点成立，反证法用「两条焦半径相等」最快。第三， 的最值由 的最值反推，别忘乘 。 【答案】 变式2-2（多选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 【切入点】椭圆 的焦点三角形面积最大值 ——直接套 。 【关键】，故 、。 焦点三角形以 为底（长 ）、高为 ，故 ；而 ，故最大面积为 ，选 A。 【易错】第一， 由 开方得到，不要与 混。第二，底是 ，若误取 作底，结果会减半。第三，高最大为 （短轴端点），此时 。 【答案】 变式2-3（多选·★★★★☆） 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ） A. 圆C面积的最小值为 B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 【切入点】圆过抛物线上两点 、 ——先由 在抛物线上定 。 由 得 ，抛物线为 （验证 ：，成立）。 第一项：圆以 为直径时面积最小，，半径 ，面积 ，正确。 第二项：写过 、 且与抛物线另有两个交点的圆，联立后消元得三次方程，交点数可能是 或 ——选项只列了 或 ，但存在三个交点（含切点）的情形，故该项错误。 第三项：设 代入 ，韦达得 ，正确。 第四项：由「曲线系」方法令 项系数为零，得 的斜率为 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 由 定出，再用 验证。第二，圆面积最小等价于直径最小，而直径 固定时面积就定了 —— 这里是「以 为直径的圆」。第三，、 纵坐标之和为 与斜率 是配套的结论，由韦达同时得到。 【答案】 变式2-4（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______。 【切入点】由距离和的最小值得 ，再用基本不等式求 的最大值。 【关键】由双曲线定义，、、 三点共线时 取最小值 ，故 。 由基本不等式 一类，整理得 。 再由面积公式把 的面积写成 的式子，取等时得面积最大值对应的 为 。 【易错】第一， 里的 来自定义， 来自点到准线（或渐近线）的距离，两者来源不同。第二，基本不等式取等时要 ，结合 得 、。第三，面积表达式里的系数要算准，本题答案是 的上界而非面积本身。 【答案】 变式2-5（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【切入点】、 在双曲线右支上，左焦点为 ——把 、 都换成右焦点的焦半径。 【关键】 中 ，右焦点 ；右支上 、。 故 ；由题给条件与三点共线关系， 的最小值为 。 故最小值为 ，选 C。 【易错】第一，右支上「到左焦点远」，所以 （加号）。第二，，两条焦半径各加 ，共加 。第三， 的最小值要结合题给的 、 位置条件，不是简单的 。 【答案】 变式2-6（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 【切入点】双曲线 ，过焦点作切线、两个内切圆 ——先用内切圆性质定圆心的横坐标。 【关键】由切线性质与双曲线定义，两个内切圆的圆心 、 横坐标都是 。 设直线 的倾斜角为 ，则 ，得 、。 两圆面积之和最小时 ，此时 ；再算 的面积，得 ，选 A。 【易错】第一， 与 互为倒数关系（乘积为 ），这是两圆面积和取最小的关键。第二， 时 ，两半径相等。第三， 的底是两圆心横坐标之差，高是 与 的组合，要按图定。 【答案】 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点。为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 【切入点】圆 经过椭圆的两个焦点 ——先由 定椭圆，再逐项判断。 由 与题给条件解得 、，椭圆方程确定后，第一项的离心率与所给值不符，故该项错误。 第二项：求 到直线 的距离，用点到直线距离公式得 ，正确。 第三项： 的面积用底×高表示，高取最大值时面积最大，得 一类，正确。 第四项： 用椭圆参数方程与两点距离公式化简，得与参数无关的定值，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 是因圆过焦点，不是 。第二，面积最大时 的位置要与高对应，不是随便取顶点。第三，第四项的乘积为定值，说明 与 的长度变化相互抵消。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 【切入点】以抛物线上的点 为圆心、过焦点 的圆 ——由定义，半径就是 到准线的距离。 第一项：圆心 到直线 （准线 ）的距离等于半径，故圆与 相切，正确。 第二项：圆面积最小等价于半径 最小； 的最小值为 （ 在原点时），故最小面积为 而不是 ，该项错误。 第三项： 用坐标表示，由定义把分母换成 ，化简得定值或取值范围，正确。 第四项： 同样用坐标表示，解出使该比值取到某值的 确实存在，正确。故选 ACD。 【易错】第一，圆与准线相切是抛物线定义的直接推论，可当结论用。第二， 的最小值是 （顶点到焦点距离），故面积最小 。第三，两个比值题都要先把分母换成 ，否则算不下去。 【答案】 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______。 【切入点】、 确定一条直线， 在抛物线上 —— 面积最小值就是「底固定、高最小」。 【关键】，。 设 ，到 的距离 ，最小值为 。 故面积最小值为 。 【易错】第一， 的分子配方得 ，最小值是 而不是 ——因为 的判别式小于零，永远为正。第二，面积为 ，两个因子都要算准。第三，等号在 时取到，对应 ，确实在抛物线上。 【答案】 三 参数范围 一、范围从三处来：定义域、判别式、几何条件。 定义域：曲线上的点有天然限制（椭圆 、抛物线 、双曲线右支 ）；判别式： 保证交点存在；几何条件：点在内部、直线与曲线有公共点、角为钝角等。 ★ 三类里最容易漏的是第一条 —— 算出参数表达式后忘了点本身要在曲线上允许的范围内。 二、离心率范围的固定套路。 把条件翻成 或 的不等式，再用 （双曲线）或 （椭圆）换算。 ★ 最后一定要与基本范围取交集：椭圆 、双曲线 。 三、轨迹题的「去掉某些点」。 求轨迹方程时，凡使分母为零或斜率不存在的位置，都要在方程后注明「除去」。 ★ 本节有一道题问「、 位于 轴上下两侧」，这个条件决定了轨迹是圆上的一段弧而不是整圆。 四、恒成立与存在性的区别。 恒成立：不等式对每一个参数都成立，通常化为「最小值 」或「最大值 」；存在性：只要求有一个参数满足，化为「最大值 」。 ★ 两者恰好相反，写反了答案会差一个反向不等式。 五、双参数题的消元。 题里有 、、 三个量但只有两个独立，用 消去一个，把范围问题化成一元不等式。 ★ 本节有一道椭圆与双曲线共焦点的题，关键是用「共焦点」把两个曲线的参数绑在一起。 六、本节九道题的四类来源。 第一类「曲线类型」：方程含参数（如 ），先判是椭圆还是双曲线，再算离心率范围。 第二类「中点位置」：中点必在曲线内部，把中点坐标代入曲线方程得严格不等式。 第三类「定点直线」：直线族过定点时，「圆心到直线的距离」的最大值就是「圆心到定点的距离」。 第四类「向量条件」：向量等式展开后给出坐标之和，再配合韦达与判别式。 ★ 四类的共同点是「先定参数，再解不等式」——范围题不要一上来就设一堆未知量，先把能定的量定下来。 例3（单选·★★★☆☆） 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（ ） A. 恒为定值 B. 恒为定值 C. 不为定值但有最小值 D. 不为定值但有最大值 【切入点】双曲线 上动点 ，求「 到 轴的距离」与「 到两焦点距离之和」的比值 ——先写坐标，再用定义化简。 【关键】、，设 ；、。 由 得 ，代入得 、（）。 故两者之和为 ，而 到 轴的距离为 ，比值 为定值，选 A。 【易错】第一， 的化简要用 ，开方后取正（）。第二，到 轴的距离是 ，在右支上就是 。第三，两条焦半径之和为 ，与定义式 一致。 【答案】 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线交于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足，且在上的投影数量为，则的取值范围为________。（平面内向量在向量方向上的投影数量为） 【切入点】斜率 的直线交抛物线于第一象限的 、，再给「第三象限存在点 」与向量投影、向量相等的条件 ——先用向量把 的坐标解出来。 【关键】设 、、；由 在 上的投影为 得 。 再由 得 是 的中点，由此把 换成 、 的坐标。 结合斜率 与「 在第一象限」得到 ，再由「 在第三象限」限制 的取值，故 。 【易错】第一，投影为负值说明 与 反向，所以是 而不是 。第二， 表示 是 中点，不是 、、 等距。第三， 的范围来自「斜率 且 、 都在第一象限」，这个限制最终决定 的下界。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为________。（用区间表示） 【切入点】曲线方程含 ， 在第三象限 ——先由 的范围定 的正负，再判断曲线类型。 【关键】 在第三象限，故 ；把曲线化为 ，分母一负一正，是双曲线。 其中 、，故 。 由 得 ，故 。 【易错】第一，、 的对应要看清： 的分母是负的，所以它对应 ，。第二， 里 是正数。第三，开方后 ，两端都是开区间（ 取不到 与 ）。 【答案】 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点。过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 【切入点】直线交抛物线于 、，两者分居 轴两侧，给 ——先求 ，再定直线过的定点。 【关键】、；由 解得 （另一个根为正，与「分居两侧」矛盾，舍去）。 设直线 ，联立得 ，故 、，即直线恒过定点 。 再由题给的另一个条件确定动点 的轨迹，得 （含范围限制），选 B。 【易错】第一， 展开后是关于 的二次方程，两个根里只有负的那一个合题意。第二， 代入得 ，故 。第三，轨迹方程后要注明范围 —— 「、 分居两侧」限制了 只能在一段弧上。 【答案】 变式3-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）。设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________。 【切入点】椭圆与双曲线共焦点，且 ——这说明 是直角三角形。 【关键】由 知 在以 为直径的圆上，故 。 在椭圆中用定义 ，在双曲线中用 ，再由勾股 联立。 两式平方相减得 ，结合面积公式与基本不等式的「 的代换」，得 。 【易错】第一， 等价于「 在以焦距为直径的圆上」，这是直角条件的标准说法。第二，两条曲线共焦点，所以 相同，椭圆的 、双曲线的 。第三，「 的代换」是把 化成常数倍的技巧，取等条件要写出来。 【答案】 变式3-5（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】 是 的中点，求 的最大值 ——把 的坐标写出来， 就是 的纵坐标与横坐标之比。 【关键】设 （），，故 。 。 由基本不等式 （），故 ，最大值 （ 时取到），选 B。 【易错】第一， 是直线 的斜率，因为 是原点、 沿 轴。第二， 的横坐标是 （分子是 而不是 ），因为 的横坐标是 、 是 。第三，等号在 时取到，此时 。 【答案】 变式4-1（填空·★★★☆☆） 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点。若，则l的斜率的取值范围是________。 【切入点】椭圆右焦点 、上顶点 ， ——这个式子给出 、 的中点位置。 【关键】、，由向量关系得 、，故 的中点为 。 中点必在椭圆内部，故 ，即 、。 再由点差法得 。 令 ， 在 上单调递增，，故 。 【易错】第一， 说明 是 重心方向上的点，展开后得两坐标之和。第二， 里的 来自 。第三， 在 上递增，最小值在 处（取不到），故 的上界是 。 【答案】 变式4-2（填空·★★★☆☆） 圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为__________。 【切入点】圆与直线相切、求面积最大值 ——半径就是「圆心到直线的距离」，而直线是一族过定点的直线。 【关键】椭圆 的上焦点为 ；直线 恒过定点 。 圆心 到这条直线的距离就是半径，当 直线时半径最大，最大值等于 。 故圆面积最大值 。 【易错】第一，直线 的定点要令 的系数为零求出，得 。第二，半径最大值是 （垂线段最短的逆用），不是 到某条固定直线的距离。第三，面积是 ， 时面积为 。 【答案】 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】左顶点 、上顶点 ，直线 与过右焦点 的竖直线交于 ；给 的上界，再求两斜率之比的倒数范围。 【关键】直线 ，令 得 。 由 得 ，即 、、。 再把 与 的比值 化成 的表达式，由 的范围解出 的范围，得 ，选 D。 【易错】第一， 由直线方程直接读出，它的上界给出 的下界。第二， 的纵坐标是 ，把 代入 的方程得到。第三， 的表达式化简后是关于 的分式，求范围要结合 的开区间与 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 最值与范围 解析几何 · 专题篇 一 距离与长度最值 一、距离最值只两条路：定义转化、函数求最值。 定义转化：把到焦点的距离换成到准线的距离（或反过来），再把两条线段接在一起，三点共线时取最值。 函数法：把距离写成单变量（、 或 ）的函数，用二次函数、基本不等式、三角换元求最值。 ★ 抛物线与双曲线的焦半径公式让「定义转化」特别顺，本节十道里有六道走这条路；椭圆与圆的题多用函数法。 二、抛物线的两条转化。 上点 满足 ；故「到焦点的距离」等价于「到准线的距离」。 ★ 一旦把 换成「到准线的距离」，所求的「两点距离 + 一点到定直线距离」就变成「一条折线」，三点共线时最短。 三、双曲线的转化要注意方向。 在右支时 ，故 ；把要求的那段换成另一段，再与定点的距离拼成折线。 ★ 符号最容易错：右支上「到右焦点的距离」比「到左焦点的距离」小 ，写反了最值会差 。 四、圆上的动点先看圆心。 若动点在圆上，把「到定点的距离」化成「圆心到定点的距离 半径」；若动点在圆内某条线段上，取圆心作参考点。 ★ 本节第一道题正是这样：动点轨迹是圆，最小值等于「圆心到准线的距离减去半径」。 五、分式型的最值用换元。 形如 或 的式子，先用定义把分子换成纵坐标，再设 一类，化为单变量。 ★ 换元后要写出 的取值范围，否则最值可能取在定义域外。 例1（填空·★★★☆☆） 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________。 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当时，则 D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 变式1-3（多选·★★★☆☆） 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，则（ ） A. 过A作的垂线，垂足为，若，则 B. 若直线BO与交于点，则直线AP平行于轴 C. 以线段BF为直径的圆上的点到的最小距离为1 D. 以线段AB为直径的圆截轴所得弦长的最小值为 变式1-4（多选·★★★★☆） 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 变式1-5（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为__________。 变式1-6（填空·★★★☆☆） 双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为_________。 变式1-7（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式1-8（单选·★★★☆☆） 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式1-9（多选·★★★★☆） （多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C. 点到两条渐近线的距离的乘积为 D. 已知点，则的最小值为5 二 面积最值 一、焦点三角形的面积最值。 椭圆：，当 在短轴端点时 最大、 最大为 ；双曲线：，方向相反。 ★ 椭圆面积最大值 也可直接看：底为 、高最大为 ，。双曲线没有最大值（ 可无限远）。 二、底×高型的三步。 定底：找一条长度固定的边（如焦距、）；定高：另一顶点到这条边的距离；求最值：高化成单变量函数，用二次函数或基本不等式。 ★ 焦点在 轴上时，高往往就是纵坐标的绝对值，所以「面积最值」常与「纵坐标最值」等价。 三、四边形面积拆成两个三角形。 四边形 若对角线 在坐标轴上，可拆成 与 ，两者共用底 ，面积之和为 。 ★ 本节有一道四边形面积题，关键在于「 在右顶点时面积最小」——因为此时两条高的差最小。 四、面积与参数的关系要算到底。 写出 关于参数的表达式后，要化简到「能看出单调性或能配方」的形式，不能停在中间式子。 ★ 常见结果是 这类，分式求最值用分离常数或换元。 五、两个易错点。 一是面积必须是正数，取绝对值时别漏；二是「面积最大」与「距离最大」不一定同时取到 —— 底不固定时两者会冲突。 ★ 本节有一道题问「圆面积最小」，本质是「半径最小」，转化为「弦长最小」再做。 六、本节十道题的分工。 前三道是焦点三角形的直接应用：面积最大值 、用 或 算定值。 中间四道是「面积 + 参数」：把面积写成 、 的函数，用二次函数或基本不等式求最值。 后三道是「面积 + 几何位置」：面积最小对应点的特殊位置（顶点、切点），要先看图形再算。 ★ 判断属于哪一类的信号：题干给了角度或 就是前三类，给了斜率或动点坐标就是中间类，只说「最小」不给参数就是后一类。 例2（多选·★★★★☆） 若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为9 B. 若为圆上的一动点，则的最小值为3 C. 四边形面积的最小值为 D. 的最小值为 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）。 A. 的面积的最大值为12 B. 的平分线必过椭圆的中心 C. 若，则 D. 设，椭圆C上存在点P，使得 变式2-2（多选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 变式2-3（多选·★★★★☆） 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ） A. 圆C面积的最小值为 B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 变式2-4（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______。 变式2-5（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 变式2-6（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点。为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______。 三 参数范围 一、范围从三处来：定义域、判别式、几何条件。 定义域：曲线上的点有天然限制（椭圆 、抛物线 、双曲线右支 ）；判别式： 保证交点存在；几何条件：点在内部、直线与曲线有公共点、角为钝角等。 ★ 三类里最容易漏的是第一条 —— 算出参数表达式后忘了点本身要在曲线上允许的范围内。 二、离心率范围的固定套路。 把条件翻成 或 的不等式，再用 （双曲线）或 （椭圆）换算。 ★ 最后一定要与基本范围取交集：椭圆 、双曲线 。 三、轨迹题的「去掉某些点」。 求轨迹方程时，凡使分母为零或斜率不存在的位置，都要在方程后注明「除去」。 ★ 本节有一道题问「、 位于 轴上下两侧」，这个条件决定了轨迹是圆上的一段弧而不是整圆。 四、恒成立与存在性的区别。 恒成立：不等式对每一个参数都成立，通常化为「最小值 」或「最大值 」；存在性：只要求有一个参数满足，化为「最大值 」。 ★ 两者恰好相反，写反了答案会差一个反向不等式。 五、双参数题的消元。 题里有 、、 三个量但只有两个独立，用 消去一个，把范围问题化成一元不等式。 ★ 本节有一道椭圆与双曲线共焦点的题，关键是用「共焦点」把两个曲线的参数绑在一起。 六、本节九道题的四类来源。 第一类「曲线类型」：方程含参数（如 ），先判是椭圆还是双曲线，再算离心率范围。 第二类「中点位置」：中点必在曲线内部，把中点坐标代入曲线方程得严格不等式。 第三类「定点直线」：直线族过定点时，「圆心到直线的距离」的最大值就是「圆心到定点的距离」。 第四类「向量条件」：向量等式展开后给出坐标之和，再配合韦达与判别式。 ★ 四类的共同点是「先定参数，再解不等式」——范围题不要一上来就设一堆未知量，先把能定的量定下来。 例3（单选·★★★☆☆） 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（ ） A. 恒为定值 B. 恒为定值 C. 不为定值但有最小值 D. 不为定值但有最大值 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线交于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足，且在上的投影数量为，则的取值范围为________。（平面内向量在向量方向上的投影数量为） 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为________。（用区间表示） 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点。过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 变式3-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）。设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________。 变式3-5（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 变式4-1（填空·★★★☆☆） 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点。若，则l的斜率的取值范围是________。 变式4-2（填空·★★★☆☆） 圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为__________。 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $