高一数学上学期期中模拟卷（苏教版必修第一册第一章～第五章，高效培优）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第一章~第五章。。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知都是实数，那么“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 8．已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 10．给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 11．当时，用表示不超过的最大整数，如：，．已知函数，则（   ） A．，使 B．的值域为 C．的定义域为 D．存在无数个数集，对于，当时，有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，，则集合的子集共有______个. 13．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 14．若关于的不等式的解集是，且集合中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是______ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16．（15分） （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值 17．（15分） 已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 18．（17分） 已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19．（17分）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C B B D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以方程的两根分别为和3， 由韦达定理得解得. 所以实数的值为3.（5分） （2）由，得，， 由于“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，此时不成立；（8分） 当时，， 因为，则有且等号不同时成立，解得，（11分） 综上所述，实数的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1） ．（5分） （2） ；（10分） （3）． ，． 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意可知，即，解得， ∴，是奇函数，符合题意， 所以，.（4分） （2）在区间上单调递增. 设任意，，且， 则， ∵，，且，∴，，， 若，则；若，则； 若，显然有. 所以，，时，，， ∴，即，即， 故在区间上单调递增（9分） （3）∵是定义域为的奇函数， 则，不等式可化为， 由（2）可得， ，解得， ∴不等式的解集为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是.（4分） （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为（6分） 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为；（8分） 当时，则，不等式的解集为.（10分） 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（12分） （3）当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， （14分） 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是..（17分） 19．（17分） 【解析】（1）记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为；（4分） （2）设， 当时，， 所以 ，（8分） 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为.（10分） （3）要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立..（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义域与值域的求法得出两集合的具体区间，即可根据集合的交集求法得出答案. 【详解】因为，即， 因为，解得，即， 所以. 故选：D. 2．已知都是实数，那么“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，但， 故由不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意知、为方程的解且，根据韦达定理得，进一步化简可得，再解不等式即可. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以、为方程的解且， 所以，解得：， 所以即为 所以解不等式得，即不等式的解集为. 故选：C 4．已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，定义域关于原点对称求得，再利用列式求得，即可得. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，且 ，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的奇偶性，在上的函数值情况，由此排除不符合要求的图象即可. 【详解】函数的定义域为， 而，即函数是奇函数，A不满足； 当时，，C不满足； 当时，，则，D不满足，选项B符合题意. 故选：B 6．若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，化简整理，可得，根据基本不等式“1”的活用，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意得， 则， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D 7．从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 【答案】B 【详解】设“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过天，则， 即：，两边取对数得：，所以 而，， 代入得：. 8．已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即则，所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上是奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即.则，所以， 综上不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对于A， ，当且仅当 时等号成立．故A正确； 对于B， ，当且仅当 1时等号成立．故B正确； 对于C， ，当且仅当 时等号成立．故C错误； 对于D，,当且仅当 时等号成立．故D正确. 10．给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 【答案】AC 【分析】对于A，利用函数单调性即可判断；对于B，将问题等价于即可求解；对于C，定义域列举即可求解，对于D，求出，解方程即可求解. 【详解】对于A，在上单调递增，故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于， 即，可得是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，函数，值域，由，解得：, 由，解得：，由，解得：, 所以定义域的情况有种， 则函数，定义域，值域，则满足条件的有27个，故C正确； 对于D，，故， 若，即，则，矛盾，故D错误． 故选：AC 11．当时，用表示不超过的最大整数，如：，．已知函数，则（   ） A．，使 B．的值域为 C．的定义域为 D．存在无数个数集，对于，当时，有 【答案】ACD 【分析】对A，取，验证；对B，由判断；对C，由函数解析式结合新定义求解；对D，有特殊到一般找出规律，当时，，可判断. 【详解】对于A，由，则，所以满足，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，由新定义可知，即时，， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，我们先来看一些特殊情况， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以当时，有： 当时，，， 当，时，，在区间上均为增函数， 所以存在无数个数集，对于，当时，有，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，，则集合的子集共有______个. 【答案】 【分析】计算，故，得到答案. 【详解】，，则， 故集合的子集共有个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了交集运算，子集个数，意在考查学生的计算能力和对集合知识的综合应用. 13．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．若关于的不等式的解集是，且集合中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又集合中有且仅有1个整数，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使集合中有且仅有1个整数，则或， 解得或， 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以方程的两根分别为和3， 由韦达定理得解得. 所以实数的值为3. （2）由，得，， 由于“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，此时不成立； 当时，， 因为，则有且等号不同时成立，解得， 综上所述，实数的取值范围是. ． 16．（15分） （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 17．（15分） 已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增. 设任意，，且， 则， ∵，，且，∴，，， 若，则；若，则； 若，显然有. 所以，，时，，， ∴，即，即， 故在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）将已知条件代入，结合函数的奇偶性求解即可，若用特殊值，则需要检验； （2）定义法证明函数单调性的步骤为：设值，作差，变形，定号，写结论；要注意变形要变为可以判断正负的几个因式乘积的形式； （3）移项，根据奇偶性和单调性得出不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意可知，即，解得， ∴，是奇函数，符合题意， 所以，. （2）略 （3）∵是定义域为的奇函数， 则，不等式可化为， 由（2）可得， ，解得， ∴不等式的解集为. 18．（17分） 已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分、、三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可； （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 19．（17分）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【答案】(1)偏差为，偏差点为； (2)偏差最小值为；此时； (3)法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解．法1，只要证即可；法2，利用反证法，证明不存在直线与函数，的偏差小于即可；法3，分类讨论的取值情况，求解，即可完成证明. 【详解】（1）记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； （2）设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. （3）略. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $