专题14 利用空间向量解决立体几何中的距离和夹角问题七类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

专题14 利用空间向量解决立体几何中的距离和夹角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用空间向量求异面直线所成夹角及其最值范围问题 题型二、利用空间向量求直线与平面所成角及最值及其范围问题 题型三、利用空间向量求平面与平面所成角（二面角）问题 题型四、利用空间向量求点到直线的距离及最值问题 题型五、利用空间向量求点到平面的距离及其最值问题 题型六、利用空间向量利用空间向量求直线、平面到平面的距离及最值问题 题型七、利用空间向量异面直线间的距离及最值范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 利用空间向量求解立体几何的距离与夹角是立体几何板块的高频压轴题型，所有题型均围绕法向量求解、向量夹角转化、角度范围限定、距离公式选用、最值条件分析五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是求解各类空间角务必牢记对应角度取值范围，区分向量夹角与几何实际角，二是二面角问题看清图形判断二面角为锐角或是钝角，匹配法向量方向，三是距离类问题分清点线、点面、面面、异面直线不同距离的适用公式，不可混淆套用，四是最值问题把几何约束转化为坐标变量的函数关系，准确确定变量取值区间，五是建系解题必须核验坐标轴两两垂直的几何前提，计算结束后结合几何体图形复核角度、距离结果是否符合现实空间关系 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线所成夹角及最值问题 典例1-1 已知二面角的大小为，正方形在平面内，等边在平面内，则异面直线所成角的余弦值为______ 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】 如图，过作，在平面内过作轴， 因为二面角的大小为，所以平面, 设正方形的边长为2，由勾股定理得 可得， 则 所以， ，， 故设异面直线所成角为， 所以异面直线所成角的余弦值为 . 故答案为：. 典例1-2 如图，已知在棱长为1的正四面体中，，，，点，满足，． (1)用基底表示向量，并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ． 在正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 所以 ， 即． （2）由（1）得，． 所以 ， 又， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 题型模版 1.特征：题目给出棱柱、棱锥等几何体，建立空间直角坐标系，计算两条异面直线夹角；动点条件下求夹角的取值范围、最大最小值，选择或者解答大题高频考点 2.方法：①建立空间直角坐标系，写出两条异面直线的方向向量坐标。 ②计算两个方向向量夹角的余弦绝对值。异面直线夹角只取 0 到 90 度，结果必须取绝对值。 ③固定直线直接算出角度；动态问题，设出动点参数，写出方向向量，得到夹角三角函数表达式，结合参数定义域求角度值域、最值 变式1-1在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】 由题意知平面，，故以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 则各点坐标为，，，. 因此，，则有， ，， 设异面直线与所成角为，其中， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 变式1-2如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 变式1-3在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______. 【答案】 【分析】过点作的平行线交于点，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】正三棱锥中，因为平面，又平面， 因此，故， 故， 则，延长交于点， 过点作的平行线交于点，易知两两垂直， 以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则，， 设直线与所成的角为， 则， 当或时，取最大值． 故答案为：. 变式1-4空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用阿基米德多面体的定义，借助正方体建立空间直角坐标系，设，建立异面直线与所成角与的函数关系，通过求函数值域得到取值范围. 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为.以正方体的一个顶点为坐标原点，三条棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设. 所以，， 所以 当时， 当时，， 当且仅当时取等号. 由对勾函数性质以及上述讨论可知. 所以， 设异面直线与所成角为， 综上所述， 类型二、求直线与平面所成角及最值问题 典例2-1 如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出与平面所成角的余弦值范围，即可得出正弦值的范围. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1， 则，设， 所以，平面的法向量为 ， 所以则与平面所成角的正弦值取值范围为. 对比各选项，C项不可能. 故选：C ． 典例2-2在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 由题可设，则， ∴，即， ∴点在上， 又，，平面的一个法向量可取， ∴ ， 又， ∴，， 即的取值范围是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：题干一般给出求解一条斜线和平面之间线面角；存在动点时求线面角的取值、最大最小值，新高考立体几何大题高频 2.方法：①建系，写出直线的方向向量，再求出平面的法向量。 ②线面角和方向向量与法向量夹角互余。线面角的正弦等于方向向量和法向量夹角余弦的绝对值。 ③动态题型：引入动点参数，写出方向向量，得到线面角关于参数的函数，结合定义域求解最值、取值范围 变式2-1在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 变式2-2如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），直线与平面所成角为，则的最大值为__________ 【答案】 【分析】以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量共线求出点坐标，从而求出向量，向量法计算直线与平面所成角的正弦值，当正弦最大时即为正切最大时，计算可求出正切值. 【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，所以，故 由条件可知平面的法向量为 设直线与平面所成角为，， 所以， 因为在上单调递增， 所以当取得最大值时，取得最大值， 当时，，此时， 所以. 故答案为： 变式2-3在正方体中，点是平面内一动点，满足，设直线与平面所成角的为，则的最大值为_______ 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，根据，得到，即点P表示以为圆心，以为半径的圆在正方形一部分，  再根据平面，得到是直线与平面所成的角，然后由，利用点与圆的位置关系求得的最小值即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，， 所以， 因为， 所以 即  ， 所以点p的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆在正方形一部分， 如图所示：    所以， 因为平面， 所以是直线与平面所成的角， 所以， 所以的最大值为1， 故答案为：1 变式2-4如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 【答案】 【分析】取中点，建立空间直角坐标系，引入参数，设，且，得出，得出平面的一个法向量为，通过换元法，进行求解． 【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，且， 因为为的中点， 故，于是， 平面的一个法向量为， ， 设，则，， 故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：． 题型三、求平面与平面所成角（二面角）问题 典例3-1 如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题设可得构建为原点的空间直角坐标系，根据已知标注相关点的坐标，设，，，可得的坐标，进而求面与面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示得到关于的表达式，由二次函数的性质即可求其最大值. 【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌， ∴，设，则， ∵为的中点，则， ∴，即， 以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、， 设，，，则，而，， ∴、、， ∴， ∴、、、， 设面的一个法向量，则， 即，令，则， 设面的一个法向量 ，则，即， 令，则， 面与面所成锐二面角的平面角为，则， 当时 ，即的最大值为. 故答案为：. 典例3-2 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 【答案】(1) 因为平面，平面，平面， 所以，，又，故以B为坐标原点， 分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则，，， 由题设（），因为， 所以，所以； (2) 【分析】（1）通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值，利用二次函数求解最大值，利用同角三角函数关系即可求解. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 因为，所以，即， 令，则，又平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则. 当时，取最小值为，此时取最大值为， 所以，此时. . 题型模版 1.特征：已计算两个平面形成的二面角；动点变化时求二面角的取值、最值，立体几何解答题必考题型 2.方法：①建立坐标系，分别求出两个平面的法向量。 ②计算两个法向量夹角余弦值。 ③判断二面角实际是锐角还是钝角：观察几何体直观图，看二面角是开口向内还是向外，确定最终结果取法向量夹角或者取它的补角。 ④动态二面角：设置动点参数，写出变化平面的法向量，构造三角函数函数求值域最值 变式3-1如图，正三棱柱中，各棱长均等于，为线段上的动点，则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为______________. 【答案】 【分析】如图建立空间坐标系，求解平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量为， 取， 平面的法向量为， 则. 故答案为： ． 变式3-2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量去求平面APB与平面PBC夹角的余弦值 【详解】在平面内作，垂足为， 因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ， 又,平面PAD，平面PAD 从而AB⊥平面PAD，又平面PAD，故， 又,，平面,平面. 可得平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系. 所以，，，. 所以，，，. 设是平面的法向量，则即 令，则，故. 设是平面的法向量，则即 令，则，故. 则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为 故答案为：． 变式3-3如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，，的中点，，G为线段上一动点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1) 证明：在直三棱柱中，侧面为正方形， 所以， 而，平面，所以平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则 故. 设，则，故， 所以， 故， 所以，即. (2) 【分析】（1）先证明，再建立空间直角坐标系，用向量法证明； （2）求得两个平面的法向量，用向量法求面面角. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 则，令，则，则平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 故， 令，则， 而函数在时单调递增， 故时，取最小值， 所以当，即时，取得最大值为. 故平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 变式3-4如图，已知在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点，．    (1)证明：； (2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，    设，， 则，， 可得， 因为， 所以，即． (2)最小值为，点为靠近的的四等分点． 【分析】（1）设，，建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）分别求平面与平面的法向量，根据面面夹角的向量表示结合二次函数分析最值. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 因为，可得， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的二面角为， 则， 当时，取最小值为，此时取得最大值， 所以， 所以平面与平面所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点 题型四、求点到直线的距离及最值问题 典例4-1在直三棱柱中，是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，设可得，利用点到直线距离的向量公式求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，所以两两垂直， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 设， 则， 故点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值是， 故选：A 典例4-2如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 题型模版 1.特征：空间中已知定点与一条直线，计算点到直线距离；直线上或者几何体棱上有动点，求距离的最大、最小值； 2.方法：①建系，取直线上任意一点，构造从直线上点指向目标定点的向量。 ②使用点到直线距离向量公式：利用向量模长，减去该向量在直线方向向量上投影模长的平方，再开根号。 ③动态问题：设动点坐标，写出距离表达式，转化成二次函数求最值 变式4-1在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，.当与平面所成角最大时，到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设出，表达出与平面所成角的正弦值，结合求出当时，与平面所成角最大，再利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值， 由于在上单调递增，故此时与平面所成角最大， 此时，，， 则点到直线的距离为. 故选：C 变式4-2在三棱锥中，，二面角的正切值为在棱所在的直线上，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，垂足为，连接，记，则为的中点，证明，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】解：如图，作平面，垂足为，连接，记， 则为的中点， 因为二面角的正切值为， 所以，连接， 则， 故，且， 以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 因为在棱所在的直线上，设， 所以，所以， 故点到直线的距离， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 即点到直线的距离的最小值是. 故选：B. ． 变式4-3已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 变式4-4如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果. 【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,, ，，, 设(x，y，z)，,， 则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0， ＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x， 令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)， ∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝， ∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝. 故选：A.. 题型五、求点到平面的距离及最值问题 典例5-1 在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值. 【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第, 则,,, 设点, 故 ，，. 设设平面的法向量为， 则即，取 ，则. 所以点到平面距离 . 当，即时，距离有最大值为 . 故选:D. 典例5-2 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离. 【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量， 在平面上任取一点，则， 点到平面距离 故选：A. 题型模版 1.特征：求空间某一个定点到给定平面的垂线段长度；动点发生变化，求动点到平面距离的最值、范围； 2.方法：①建立坐标系，求出平面的法向量。在平面上任选一点，构造平面上点指向目标点的向量。 ②点到平面距离，等于这个向量在平面法向量上投影的绝对值。 ④动态题型：写出动点坐标，代入距离公式，根据参数范围求最大最小值 变式5-1在正三棱柱中，所有棱长都为2，P是侧棱上一动点，则，C到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式表示距离，最后结合换元法和基本不等式求解最大值即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 以，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为，. 因为，， 所以，令， 解得，得到. 设，C到平面的距离分别为，. 因为，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确. 故选：B 变式5-2在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接和，证得，求得，得到点的轨迹是以点为球心，半径为的球面，设点到平面的距离为，结合，列出方程，求得的值，得到到平面的最短距离为，即可求解. 【详解】如图所示，连接和， 因为平面，且平面，所以， 在直角，点为的中点，且，所以， 所以点的轨迹是以点为球心，半径为的球面， 设点到平面的距离为， 因为，平面，且， 由，可得， 即，解得， 所以到平面的最短距离为. 故选：C. 变式5-3空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 变式5-4如图，设正方体的棱长为2，设为的中点，为上的一个动点，设由点确定的平面为，当点与重合时，平面截正方体的截面的面积为__________；点到平面的距离的最小值为__________. 【答案】 【分析】取中点，连接，由可得平面截正方体的截面为，求出面积即可；以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用点到平面的距离求最小值即可. 【详解】如图所示当点与重合时，取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面平面， ，同理，，四边形为平行四边形， 又因为， 则平面截正方体的截面为菱形， 因为正方体的棱长为2，所以菱形的边长为， 又因为，所以中上的高， 所以截面面积. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得， 所以点到平面的距离 ， 由对勾函数可得当时单调递减，所以当时，点到平面的距离取最小值， . 故答案为：，．. 变式5-5已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) (3)存在，.理由如下： 因为，所以，. 设，，则， 因为点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）. 所以，即， 所以在棱上存在点，满足点到平面的距离为，此时. 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两平面所成角的余弦值. （3）利用空间向量，根据点到平面的距离确定点位置. 【详解】（1）略 （2）因为三棱柱是各棱长均为2的正三棱柱， 取中点，则两两垂直. 故可以为原点，所在射线分别为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以. 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）略 类型六、求直线、平面到平面的距离问题 典例6-1 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用平面法向量相同得出，再根据平面内点到平面的距离即为平面的距离，利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】平面均以为法向量， ，又平面经过点， 平面α与β的距离等于点到平面α的距离， 平面α经过坐标原点O，， 点P到平面α的距离， 平面α与β的距离为2，故A正确． 故选：A． 典例6-2 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 题型模版 1.特征：直线平行平面，求直线到平面距离；两个互相平行平面之间求距离；存在动点时求距离最值 2.方法：①直线平行平面：直线上任意取一个点，转化为点到平面距离。直线上所有点到平面距离全部相等。 ②两个平面互相平行：在其中一个平面随便取一点，计算该点到另一个平面的距离，就是两平行平面距离。 ③动态：若直线或者平面随动点改变，写出点坐标，代入距离公式，结合定义域算值域 变式6-1在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 变式6-2如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可得答案. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则. 又平面平面平面EFGH. 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A 变式6-3如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为 变式6-4在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.   类型七、异面直线间的距离及最值范围问题 典例7-1已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 典例7-2一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与 两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 题型模版 1.特征：求两条异面直线之间最短垂线段长度；当存在动点时，求异面直线距离的取值、最值 2.方法：①建系，得到两条异面直线各自的方向向量。 ②在两条异面直线上，各取一个点，构造连接两点的向量。 ③异面直线距离，等于该连接向量，同时垂直于两条方向向量的公共法向量上投影的绝对值。 ④动态异面直线：设置动点参数，写出向量表达式，求距离函数最值 变式7-1已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求两异面直线的方向向量和公垂线方向向量，再利用向量法计算异面直线的距离． 【详解】解：如图，以为原点，，，分别为，，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有   可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：A．. 变式7-2在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 变式7-3如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 【答案】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，坐标运算求，由异面直线间的距离求线段MN长度的最小值. 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面， 平面平面，，平面， 则有平面， 以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离， 设与都垂直的一个法向量为， 由，令，有， 得，又， 所以线段MN长度的最小值是 故答案为：； 变式7-4已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，先证明平面，可得直线到平面的距离等于到平面的距离，进而结合点到平面空间向量公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 则，即， 又平面，则平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 则到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 故选：D 2．在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平面的方程可以表示为，若平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到面的距离公式即可利用向量法求解． 【详解】∵平面的方程为，取平面内一点， 则平面的法向量为，又∵，∴， ∴点Q到平面的距离为． 故选：B． 3．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围． 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，， 则，1，，，， 则，0，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，即，令， 可得，1，， ，，， ， 设直线与平面所成的角为，，， 所以， 所以 ， 设， 则， 设，，， 当时，即， 则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增， 而时，；当时，； 当时，， 所以，时，，，所以，， 进而可得， 所以，． 故选：D． 4．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值. 【详解】 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，则，故， 又，，于是， 设平面APC的法向量，则有， 可取， 则点B到平面APC的距离为， 当时，点B到平面APC的距离为0， 当时，， 当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为， 故选:D． 5．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可. 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时，则A选项正确. 故选：A. 6．已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题． 【详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以，从而， 且是等腰直角三角形，故， 设为的中点．因为为三棱台，所以， 又因为，所以四边形为等腰梯形，故， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 在等腰梯形中，， 由，得， 所以； 以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由于三棱台的上、下底面相似，且， 所以，故， 因为点在棱上运动，故可设， 其中，则， 所以， 设平面 的法向量为， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又，故点到平面的距离为， 即， 化简得， 因为，且， 所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且. 7．空间中，为互相垂直的两条异面直线，直线与所成角的大小为，则直线与所成角的大小的取值范围为________． 【答案】 【分析】建立空间坐标系，分别假设直线的方向向量，根据线面角的向量求法，结合函数的单调性即可求解. 【详解】根据题意，设空间中直线的方向向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为， 因为直线与所成角的大小为，所以， 即，两边平方整理得， 设直线与所成角为，则， 将代入，可得， 令，则，可得单调递减， 所以当，即时，取得最大值，即，解得， 当，即时，取得最小值，即，解得， 所以直线与所成角的大小的取值范围为.. 8．在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 【答案】1 【分析】利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可. 【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为， ，，， 中边上的高为，则， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此点到平面的距离， 所以点到平面的距离的最大值为． 9．在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先利用线线垂直确定动点的轨迹，再结合线面角的定义与向量法，将转化为动点坐标的函数，最后求出的最大值，进而得到的的最大值. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 已知点是侧面内的一个动点，可设， 因为， 由，得，即，所以， 又因为， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 又因为，设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以当达到最大值时，也达到最大值， 所以，当时，，此时， 所以． 10．如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据向量点积公式求二面角余弦值表达式，通过换元法求表达式的值域，得到二面角余弦值的取值范围. 【详解】建立以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 垂直平面方向为轴的空间直角坐标系， 则， 因为平面平面，交线为，因此平面为（平面）， 的横坐标，，，， 由勾股定理可得， 设且，联立方程， 解得，，即， 同理，平面平面，交线为，在平面下方， 同理得，在面中，法向量为沿着轴方向的单位向量， 在面中，设法向量为， 向量，则， 即，解得， 所以面的法向量为， 二面角余弦值为， 令，则， 对等式两边平方得，再令， 令，所以， 由二次函数性质可得，当时，， 当或时，，且， 因此的范围是，即原表达式可简化为， 整理可得， 该函数是关于的增函数， 当时，， 当时，，且， 因此得到，又因为二面角为钝角， 所以，对不等式开方得. ． 11．设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 12．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1) 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． (2) 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． (3)，最小值为 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直. （3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 13．如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面. (1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比； (2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由面面平行的性质定理得到，，进而证得分别是的中点，再根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比； （2）建立空间直角坐标系如图2，设的长为，先由面面距离利用空间向量的数量积可求得，再利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）如图1，记平面与直线的交点分别为，则面为平面， 因为面面，面面，面面， 所以，同理， 又，即，所以四边形是平行四边形，故， 又，故是的中点， 由中位线定理的推论，可知是的中点， 由条件易得，，， 由底面，得，，所以， 故平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为. . （2）由两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记的长为，则， 则，，， 设平面的法向量，则有，即，得， 取得平面的法向量， 由条件易知点到平面距离为，即，解得或（负值舍去），即， 所以， 故直线与平面所成角满足. . 14．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明： 因为平面，平面，所以. 又，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 由已知条件可知，四边形是正方形，所以. 又，，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，进而求出平面法向量，最后根据向量夹角公式求出二面角的余弦值. （3）根据点到平面的距离公式，利用（2）中求出的平面法向量和相关向量计算即可. 【详解】（1）略； （2）以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为，可得，，，，，. 则，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为. 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3），平面的法向量为. 又，， 点到平面的距离为. 15．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，、分别是线段、的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)连接、，因为在平面内的射影为，所以⊥平面， 因为、平面，所以，， 因为为边长为的等边三角形，是线段的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，，所以四边形为菱形，故， 因为、分别是线段、的中点，所以，故. 因为，、平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直性质证得平面，得到；再由菱形性质与中位线平行证得，由线面垂直判定定理可证； （2）先根据线面垂直与面面垂直关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标与平面的法向量，再利用线面角的向量公式计算所求； （3）先利用向量参数化点并求出，再分别求得平面与平面的法向量，由二面角的向量余弦公式，结合变量代换与函数值域分析，得到取值范围. 【详解】（1）略 （2）已知在平面内的射影为，所以平面， 由题设知四边形为菱形，所以， 是线段的中点，，所以，则，所以为正三角形， 由、平面，则，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 以为坐标原点，、、的方向分别为为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 、、、， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为，则. （3）点为线段上的动点（不包括端点），设， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又平面的一个法向量为，所以， 令， 则， 因为，故，则， 平面与平面夹角的余弦值取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 利用空间向量解决立体几何中的距离和夹角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用空间向量求异面直线所成夹角及其最值范围问题 题型二、利用空间向量求直线与平面所成角及最值及其范围问题 题型三、利用空间向量求平面与平面所成角（二面角）问题 题型四、利用空间向量求点到直线的距离及最值问题 题型五、利用空间向量求点到平面的距离及其最值问题 题型六、利用空间向量利用空间向量求直线、平面到平面的距离及最值问题 题型七、利用空间向量异面直线间的距离及最值范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 利用空间向量求解立体几何的距离与夹角是立体几何板块的高频压轴题型，所有题型均围绕法向量求解、向量夹角转化、角度范围限定、距离公式选用、最值条件分析五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是求解各类空间角务必牢记对应角度取值范围，区分向量夹角与几何实际角，二是二面角问题看清图形判断二面角为锐角或是钝角，匹配法向量方向，三是距离类问题分清点线、点面、面面、异面直线不同距离的适用公式，不可混淆套用，四是最值问题把几何约束转化为坐标变量的函数关系，准确确定变量取值区间，五是建系解题必须核验坐标轴两两垂直的几何前提，计算结束后结合几何体图形复核角度、距离结果是否符合现实空间关系 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线所成夹角及最值问题 典例1-1 已知二面角的大小为，正方形在平面内，等边在平面内，则异面直线所成角的余弦值为______ 典例1-2 如图，已知在棱长为1的正四面体中，，，，点，满足，． (1)用基底表示向量，并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型模版 1.特征：题目给出棱柱、棱锥等几何体，建立空间直角坐标系，计算两条异面直线夹角；动点条件下求夹角的取值范围、最大最小值，选择或者解答大题高频考点 2.方法：①建立空间直角坐标系，写出两条异面直线的方向向量坐标。 ②计算两个方向向量夹角的余弦绝对值。异面直线夹角只取 0 到 90 度，结果必须取绝对值。 ③固定直线直接算出角度；动态问题，设出动点参数，写出方向向量，得到夹角三角函数表达式，结合参数定义域求角度值域、最值 变式1-1在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 变式1-2如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 变式1-3在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______. 变式1-4空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 类型二、求直线与平面所成角及最值问题 典例2-1 如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 典例2-2在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________ 题型模版 1.特征：题干一般给出求解一条斜线和平面之间线面角；存在动点时求线面角的取值、最大最小值，新高考立体几何大题高频 2.方法：①建系，写出直线的方向向量，再求出平面的法向量。 ②线面角和方向向量与法向量夹角互余。线面角的正弦等于方向向量和法向量夹角余弦的绝对值。 ③动态题型：引入动点参数，写出方向向量，得到线面角关于参数的函数，结合定义域求解最值、取值范围 变式2-1在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式2-2如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），直线与平面所成角为，则的最大值为__________ 变式2-3在正方体中，点是平面内一动点，满足，设直线与平面所成角的为，则的最大值为_______ 变式2-4如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 题型三、求平面与平面所成角（二面角）问题 典例3-1 如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 典例3-2 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？. 题型模版 1.特征：已计算两个平面形成的二面角；动点变化时求二面角的取值、最值，立体几何解答题必考题型 2.方法：①建立坐标系，分别求出两个平面的法向量。 ②计算两个法向量夹角余弦值。 ③判断二面角实际是锐角还是钝角：观察几何体直观图，看二面角是开口向内还是向外，确定最终结果取法向量夹角或者取它的补角。 ④动态二面角：设置动点参数，写出变化平面的法向量，构造三角函数函数求值域最值 变式3-1如图，正三棱柱中，各棱长均等于，为线段上的动点，则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为______________. 变式3-2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为______． 变式3-3如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，，的中点，，G为线段上一动点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 变式3-4如图，已知在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点，．    (1)证明：； (2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置． 题型四、求点到直线的距离及最值问题 典例4-1在直三棱柱中，是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 典例4-2如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：空间中已知定点与一条直线，计算点到直线距离；直线上或者几何体棱上有动点，求距离的最大、最小值； 2.方法：①建系，取直线上任意一点，构造从直线上点指向目标定点的向量。 ②使用点到直线距离向量公式：利用向量模长，减去该向量在直线方向向量上投影模长的平方，再开根号。 ③动态问题：设动点坐标，写出距离表达式，转化成二次函数求最值 变式4-1在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，.当与平面所成角最大时，到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 变式4-2在三棱锥中，，二面角的正切值为在棱所在的直线上，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式4-3已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-4如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型五、求点到平面的距离及最值问题 典例5-1 在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 典例5-2 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：求空间某一个定点到给定平面的垂线段长度；动点发生变化，求动点到平面距离的最值、范围； 2.方法：①建立坐标系，求出平面的法向量。在平面上任选一点，构造平面上点指向目标点的向量。 ②点到平面距离，等于这个向量在平面法向量上投影的绝对值。 ④动态题型：写出动点坐标，代入距离公式，根据参数范围求最大最小值 变式5-1在正三棱柱中，所有棱长都为2，P是侧棱上一动点，则，C到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C．3 D．7 变式5-2在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-3空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 变式5-4如图，设正方体的棱长为2，设为的中点，为上的一个动点，设由点确定的平面为，当点与重合时，平面截正方体的截面的面积为__________；点到平面的距离的最小值为__________. 变式5-5已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型六、求直线、平面到平面的距离问题 典例6-1 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 典例6-2 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：直线平行平面，求直线到平面距离；两个互相平行平面之间求距离；存在动点时求距离最值 2.方法：①直线平行平面：直线上任意取一个点，转化为点到平面距离。直线上所有点到平面距离全部相等。 ②两个平面互相平行：在其中一个平面随便取一点，计算该点到另一个平面的距离，就是两平行平面距离。 ③动态：若直线或者平面随动点改变，写出点坐标，代入距离公式，结合定义域算值域 变式6-1在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 变式6-2如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 变式6-3如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 变式6-4在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 类型七、异面直线间的距离及最值范围问题 典例7-1已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 典例7-2一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 题型模版 1.特征：求两条异面直线之间最短垂线段长度；当存在动点时，求异面直线距离的取值、最值 2.方法：①建系，得到两条异面直线各自的方向向量。 ②在两条异面直线上，各取一个点，构造连接两点的向量。 ③异面直线距离，等于该连接向量，同时垂直于两条方向向量的公共法向量上投影的绝对值。 ④动态异面直线：设置动点参数，写出向量表达式，求距离函数最值 变式7-1已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 变式7-2在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 变式7-3如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 变式7-4已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平面的方程可以表示为，若平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（    ）. A． B． C． D． 6．已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．空间中，为互相垂直的两条异面直线，直线与所成角的大小为，则直线与所成角的大小的取值范围为________． 8．在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 9．在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 10．如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 11．设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 12．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 13．如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面. (1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比； (2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 14．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 15．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，、分别是线段、的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $