第十六章 整式的乘法 整章教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

大单元教学设计模板（2022新课标版） 单元基本信息 单元名称 第十六章 整式的乘法 单元课时数 8课时 主备人 蔺如霞 单元教材分析 本章是初中代数运算体系的核心内容，承接七年级上册有理数运算、整式的加减，是整式运算的进阶延伸。本章主要内容包括：幂的四则运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）、单项式与多项式的各类乘法运算、平方差公式、完全平方公式及整式混合运算。 教材遵循“由特殊到一般、由简单到复杂”的编排逻辑，先探究幂的运算规律，再逐层推进整式乘法运算，最后提炼经典乘法公式，形成完整的整式运算体系。本章不仅是后续因式分解、分式运算、二次根式、一元二次函数学习的基础，也是初中代数运算能力培养的关键章节。同时教材结合几何面积模型解释运算法则，渗透数形结合、转化与化归、类比推理的数学思想，助力学生建立代数运算的逻辑体系，提升数学运算与推理核心素养。 单元学情分析 八年级学生已经熟练掌握有理数四则运算、合并同类项、去括号等整式加减运算，具备基础的代数运算能力和类比探究意识，能够通过具体算式归纳简单运算规律。但学生存在明显学习短板：一是幂的运算法则极易混淆，容易混淆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方公式，符号、指数运算频繁出错；二是整式乘法运算步骤繁琐，学生容易漏项、错号、漏乘，运算规范性不足；三是对乘法公式的几何意义理解浅薄，只会机械套公式，无法灵活变形、逆向运用；四是学生重结果轻算理，面对整式混合运算、公式综合应用的复杂题型，缺乏整体化简、分步运算的思维，运算准确率和综合应用能力薄弱。 单元学习目标 1. 通过观察、计算、类比归纳的探究活动，理解并熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，能熟练进行幂的基础运算，发展数学运算、数学抽象素养。 2. 通过数形结合、面积推导的探究活动，掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解整式乘法的算理，能规范完成整式乘法运算，发展几何直观、数学运算素养。 3. 通过公式推导、例题探究与变式训练活动，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能正向、逆向、变形运用公式进行简便计算与化简，发展逻辑推理、数学运算素养。 4. 通过探究法则、归纳公式的过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想，养成规范解题、严谨运算的良好数学习惯，提升代数学习的信心。 课题 16.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1.经历推导过程，掌握同底数幂乘法法则：（m、n为正整数）； 2.熟练运用法则进行同底数幂计算； 3.拓展掌握多个同底数幂连乘公式：. 教学重点 运用法则完成各类同底数幂的乘法计算 教学难点 区分底数、指数，避免出现“指数相乘、底数相加”典型错误 课时安排 1课时 教 学 过 程 （一）情境导入，初步认识 1.复习乘方的意义，师生共同回忆. an表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫做幂，a叫做底数，n是指数，即 2.提出问题，要求学生根据乘方的意义求得结果. 一种电子计算机每秒进行1千万亿（1015）次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ 【教学说明】运算次数=运算速度×工作时间，故计算机工作103秒可进行的运算次数为1015×103（次）. 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 3.仿照上面的计算过程求出下列各题结果. （1）52×56；（2）x3·x4；（3）3a·3b（其中a，b均是正整数）. 由学生完成计算后，带领学生观察每个算式的特征，并试着总结一般性规律，学生间互相探讨，用语言表述出来. （二）思考探究，获取新知 根据上面的探究，教师向学生讲述幂的乘法法则. am·an表示同底数幂的乘法，根据幂的意义可得： 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.它也适用于三个或三个以上的幂相乘.提示学生注意运算形式的改变. 例1计算下列各题. （1）87×85； （2）（-）3×（-）2； （3）a5×（-a）5. 【分析】涉及幂的乘法问题，先应该观察是否是同底数幂的运算，上述各式均符合，可应用同底数幂乘法法则计算. 【教学说明】应用同底数幂的乘法法则时，把因数的“乘法运算”转化为指数的“加法运算”，不能想当然地算成87×85=87×5. 例2计算下列各题. 【分析】应用同底数幂的乘法法则时，要先把各式化成同底数幂，应熟悉下列等式：（a-b）2=（b-a）2，（a-b）3=-（b-a）3.计算时，要结合乘法法则确定积的性质符号. 【教学说明】同底数幂的乘法法则中，底数可以是多项式，不能简单认为底数只能是一个单项式. 例3计算下列各题. 【分析】本例是同底数幂乘法与整式加减的综合运用，应类比有理数的混合运算法则按正确顺序计算. 【教学说明】（1）-a2与（-a）2的意义不同，其结果互为相反数.（2）a6·a6与a6-a6的意义不同，计算法则与结果都不一样. （三）运用新知，深化理解 1.下列算式是否正确？对错误的指出错因，并予以纠正. 2.太阳光照射到火星上大约要9.26×102秒，光的速度约为3×105千米/秒，求火星与太阳的距离. 3.计算：5×26-6×24+0.25×27. 【教学说明】题1是基本判断题，要求学生明辨对错，并引以为警示；题2注意法则的运用；题3可以从逆用法则角度考虑求解. （四）师生互动，课堂小结 师生共同回顾同底数幂乘法法则. 学生互相交流学习收获和存在的疑点，互相查错. 二次备课 板书设计：16.1.1 同底数幂的乘法 同底数幂乘法法则： am·an = am+n (当m、n都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变，指数相加 作业设计： 教学反思： 课题 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 教学目标 1. 通过观察算式、归纳推理、分步推导的探究活动，掌握幂的乘方、积的乘方运算法则，理解法则的推导依据与形成过程，发展数学抽象、逻辑推理素养。 2. 通过分层练习与纠错训练活动，熟练运用幂的乘方、积的乘方法则进行运算，准确处理底数、符号、指数易错问题，发展数学运算素养。 3. 通过变式拓展训练活动，掌握幂的乘方、积的乘方公式的正向与逆向应用，能够熟练完成多层、复合型乘方运算，发展数学运算、模型观念素养。 教学重点 运用法则准确进行整式乘法运算. 教学难点 法则的逆用与多层乘方运算 课时安排 1课时 教 学 过 程 一 、复习回顾 教师提问，学生集体口述同底数幂乘法法则：(m，n都是正整数） 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 学生独立完成6道复习计算题，指名口答： (1)；(2) ； (3)；(4)； (5)；(6). 教师过渡：我们已经学习了同底数幂相乘，今天学习两种新的幂的运算：幂的乘方与积的乘方，板书课题. 设计意图：复习同底数幂乘法法则，为本节课乘方推导做好知识铺垫；通过计算练习巩固旧知，自然引入新课. 二、探究新知 探究1：幂的乘方 【师生活动】 探究活动：根据乘方的意义和同底数幂乘法，填空找规律. 学生独立完成填空，教师引导观察指数变化： (1)； (2)； (3). 猜想与证明： 猜想：(m，n都是正整数）. 师生共同板书证明： （乘方的意义） （同底数幂乘法法则） 归纳幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 符号语言：(m，n都是正整数）. 教师补充：法则可以逆用：；底数a可以是数、单项式或多项式，多项式看作整体. 设计意图：从具体数字到字母，由特殊到一般探究规律；通过严谨证明得出法则，让学生理解法则来源，而不是死记硬背. 三、典型例题 例2 （教材P100） 【师生活动】教师板书规范解题步骤，强调 “底数不变，指数相乘”. 学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式. 教师用课件展示例题答案. 教师点拨：第(4)题负号在括号外，只影响结果符号，不参与乘方运算. 设计意图：示范幂的乘方标准解题格式，巩固法则基本应用；通过带负号的题目，引出符号辨析. 拓展辨析：符号与多层乘方 1.符号辨析：比较、、、结果是否相同. 学生分组计算，师生共同总结规律： 括号外有负号：结果符号不变，仅指数相乘； 括号内有负号： 口诀：奇负偶正. 2.多层乘方探究： 思考：三次及以上乘方运算是否也符合规律？ 学生计算验证：. 推广公式：（m，n，p都是正整数） 教师点拨：多层乘方，底数不变，所有指数相乘. 设计意图：突破符号易错点，总结规律便于记忆；拓展多层乘方，完善幂的乘方知识体系. 探究2：积的乘方 【师生活动】 1.探究活动：填空，分析运算律与规律. 学生独立完成，教师引导梳理每一步依据： (1)； 依据：乘方的意义→乘法交换律、结合律→同底数幂乘法. (2). 2.证明一般情况： . 3.归纳积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 符号语言：（n是正整数）. 教师补充：①推广到三个因式：；② 法则逆用：. 设计意图：借助乘方意义、运算律推导积的乘方法则，经历从特殊到一般的过程；拓展多因式与逆运算，完善法则应用. 【典型例题】例3 （教材P100） 【师生活动】教师板书规范步骤，强调 “每个因式分别乘方”，学生独立完成解题过程. 教师用课件展示例题答案. 教师点拨：第(3)(4)题既有积的乘方，又有幂的乘方，先积的乘方，再幂的乘方；注意负号的乘方，偶数次方得正. 设计意图：示范积的乘方标准运算，综合幂的乘方法则，训练学生混合运算能力，巩固符号规则. 四、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.幂的乘方：，底数不变，指数相乘；奇负偶正；多层乘方指数连乘. 2.积的乘方：，各因式分别乘方，再相乘；可推广到多个因式. 二次备课 板书设计：16.1.2 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方法则： （am）n=amn（m，n都是正整数）. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 积的乘方法则： （ab）m=ambm（m是正整数）. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘. 作业设计： 教学反思： 课题 16.2 整式的乘法（第1课时） 教学目标 1. 通过类比数的乘法运算、观察归纳、推理验证的探究活动，自主探究单项式乘法法则，理解法则的推导依据，发展数学抽象、逻辑推理素养。 2. 通过例题探究、规范书写、针对性练习的实操活动，掌握单项式乘单项式的运算法则，能够熟练、准确地完成单项式乘法运算，发展数学运算素养。 3. 通过分层训练与易错点辨析活动，掌握整式乘方与乘法的混合运算顺序，做到先算乘方、再算乘法，精准处理符号问题、不漏乘单独字母因式，提升严谨的运算思维，发展数学运算素养。 教学重点 单项式乘单项式的运算法则. 教学难点 符号处理，避免漏乘单独字母. 课时安排 1课时 教 学 过 程 一、复习回顾 【师生活动】 1.单项式相关填空，学生集体口答： ①单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数； ②单项式的系数是； ③单项式的系数是4. 2.幂的运算性质填空，师生共同回顾： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加：； ②幂的乘方，底数不变，指数相乘：； ③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：. 教师过渡：我们已经掌握了幂的运算性质，今天以运算律和幂的性质为基础，研究整式的乘法，板书课题. 设计意图：复习单项式系数概念与三大幂的运算法则，为本节课单项式乘法推导做好知识铺垫，激活旧知，自然衔接新课. 二、新知引入 教师出示问题：光的速度约是km/s，太阳光照射到地球的时间约是s，地球与太阳的距离约是多少？ 学生根据“路程＝速度×时间”列式：. 教师设问：这个算式怎样计算？计算中用到哪些运算律和幂的性质？引出本节课探究. 设计意图：从光速实际问题引入，感受数学源于生活；以科学记数法乘法为切入点，从数字运算自然过渡到整式运算. 三、探究新知 探究：单项式乘法法则 【师生活动】 1.数字算式探究： 师生共同计算，梳理每一步依据： （乘法交换律） （乘法结合律） （同底数幂运算性质） (km)（科学记数法规范） 2.字母类比迁移： 教师引导：把数字换成字母，比如，能用同样的方法计算吗？ 学生类比推导，教师板书： （乘法交换律、结合律） （同底数幂运算性质） . 教师点明：数的运算法则和运算律，同样适用于整式运算. 3.归纳单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 教师强调：结果仍是单项式. 设计意图：从具体数字运算到抽象字母运算，通过类比思想推导法则，让学生理解法则的依据，不是机械记忆；体会数式通性. 【典型例题】例1 （教材P103） 【师生活动】教师逐题板书规范解答，强调运算要点. （1）点拨：系数相乘，同底数幂相乘；只在一个单项式里的字母x照抄. （2）点拨：系数带符号，负负得正；单独字母b照抄. （3）点拨：有乘方先算乘方，再算单项式乘法. 教师用课件展示例题答案. 教师总结运算顺序：有乘方先算乘方，再算单项式乘法. 设计意图：分层示范四种典型题型，规范解题步骤；突破 “先乘方后乘法” 的运算顺序难点；补充一题多解，拓展思维. 师生共同梳理单项式乘法三步法： 一定：确定积的系数（符号连同系数一起算）； 二算：计算同底数的幂（指数相加）； 三找：找出只在一个单项式中出现的字母，连同指数照抄. 教师补充注意事项： ①先算符号，积的系数等于各因式系数的积； ②有乘方先算乘方，按顺序运算； ③不要漏掉单独出现的字母； ④法则适用于多个单项式相乘. 设计意图：提炼三步口诀，便于学生记忆；明确易错点，减少运算错误. 练习1解答下列问题. （3）何叶的步长为a米，她量得家里的卧室长15步，宽14步，问这间卧室的面积有多少平方米？ （4）下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ 练习2 三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a，b，c.求这个月内销售这种商品的总收入. 【分析】这个问题的思路有两个： 方法一先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m（a+b+c）元. 方法二先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为（ma+mb+mc）元. 由于两种方法只是思考的角度不同，求的是同一个量，故必有m（a+b+c）=ma+mb+mc. 四、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.法则：单项式×单项式，系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄； 2.顺序：有乘方先算乘方，再算乘法； 3.注意：符号、不漏字母. 二次备课 板书设计：16.2 整式的乘法（第1课时） 单乘单：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 作业设计： 教学反思： 课题 16.2 整式的乘法（第2课时） 教学目标 1. 通过结合乘法分配律与单项式乘法法则的推理探究活动，自主推导单项式乘多项式的运算法则，深刻理解运算算理，发展逻辑推理、数学抽象素养。 2. 通过例题精讲、规范书写和随堂练习的实操活动，熟练掌握单项式乘多项式运算法则，能够准确完成基础运算，发展数学运算素养。 3. 通过变式训练与易错辨析活动，掌握整式混合运算顺序，遵循先乘方、再乘法、最后加减的运算规则，规范处理符号问题，杜绝漏乘项的错误，发展数学运算、严谨推理素养。 教学重点 运用法则规范进行单项式乘多项式运算 教学难点 理解单项式乘多项式的算理（乘法分配律的转化） 课时安排 1课时 教 学 过 程 一、复习回顾 教师提问，学生集体口述单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 填空回顾注意事项： 计算单项式乘单项式时，需要注意： ①按“先算乘方，再算乘法”的顺序运算； ②不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； ③此法则对于多个单项式相乘仍然成立. 教师过渡：我们已经掌握了单项式乘单项式，今天学习单项式与多项式相乘，板书课题. 二、探究新知 探究：单项式乘多项式法则 教师出示问题：街心花园长方形绿地，长p米，宽b米，向两边分别加宽a米和c米，求扩大后的绿地面积. 教师引导学生用两种方法列式： 方法一：看成三个小长方形，面积相加：； 方法二：看成一个大长方形，长为，宽为p，面积：. 思考：两个式子都表示总面积，有什么关系？ 学生回答：相等，即. 教师点明：这个等式就是乘法分配律的拓展；从几何图形上直观验证了分配律. 设计意图：借助生活中的绿地面积问题，通过数形结合推导等式，让学生直观理解单项式乘多项式的算理，体会转化思想. 师生共同归纳法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 教师强调算理：单项式×多项式单项式×单项式，再相加. 重要提醒：单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，项数与原多项式的项数相同，可以用这个方法检验是否漏乘项. 设计意图：从具体等式上升到一般法则，明确算理与转化方法；强调项数检验，帮助学生避免漏乘的常见错误. 三、典型例题 例2计算下列各题. 【师生活动】学生独立完成解题过程，教师逐题解答，强调注意点. （1）点拨：多项式的常数项1不要漏乘. （2）点拨：分数系数准确计算，每一项都带符号相乘. （3）点拨：有乘方先算乘方，再算单项式乘多项式. （4）点拨：整式混合运算和数的混合运算一样，注意运算顺序；去括号注意符号，最后合并同类项. 教师用课件展示例题答案. 教师总结解题步骤： ①分配：单项式乘多项式每一项； ②计算：单项式乘单项式； ③合并：合并同类项. 设计意图：分层示范四种典型题型，从基础到乘方混合、再到加减混合运算，逐步突破难点；强调易错点，规范解题步骤. 四、当堂检测 计算下列各题. 【教学说明】1.本题是混合运算题，计算顺序仍是先乘除、后加减，先去括号等.混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果. 2.单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘. 3.在确定积的每一项的符号时一定要小心. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.法则：单项式×多项式＝单项式乘每一项，再相加；依据是乘法分配律； 2.注意：不漏乘、符号对、先乘方后乘法； 3.检验：结果项数＝原多项式项数. 二次备课 板书设计：16.2 整式的乘法（第2课时） 单乘多：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 作业设计： 教学反思： 课题 16.2 整式的乘法（第3课时） 教学目标 1. 通过类比转化、拆分推导的探究活动，理解并掌握多项式乘多项式的运算法则，明晰法则的推导依据，发展数学抽象、逻辑推理素养 2. 通过例题演练、规范书写、分层练习的实操活动，熟练且准确地完成多项式与多项式的乘法运算，发展数学运算素养。 3. 通过易错辨析与综合训练活动，掌握多项式乘法的运算顺序和化简要求，精准处理符号问题，做到不重不漏、运算结果化为最简形式，发展数学运算、严谨治学的思维素养。 教学重点 运用法则规范进行多项式乘法运算 教学难点 不漏乘项、正确处理符号、最终合并同类项化为最简 课时安排 1课时 教 学 过 程 （一）情境导入，初步认识 1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算： （1）3a（5a-2b）；（2）（x-3y）·（-6x）. 【思考】有一算式（a+b）（x+y），假设把（x+y）看作一个整体m，则上式变为（a+b）m，此时与上述习题类型相同么？你有何想法？ 问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方形绿地加长b米，加宽q米（如图）.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 方法一这块花园现在长（a+b）米，宽（p+q）米，故面积为（p+q）（a+b）米2. 方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2，aq米2，bp米2，bq米2，故面积为（ap+aq+bp+bq）米2. 由此可推知：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq. 即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中. 【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. （二）思考探究，获取新知 例1计算下列各题. （1）（3a+2b）（4a-5b）； （2）（x-1）（x+1）（x2+1）； （3）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）； （4）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）. 【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程。 例2计算下列各题. （1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）； （3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）. 求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流. 回答下列问题： （1）（x+4）（x+3）=_________； （2）（x-1）（x+2）=_________； （3）（x-5）（x-6）=_________； （4）（x-5）（x-5）=_________. 例3解方程： （x-2）（x2-6x-9）=x（x-5）（x-3）. 【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程. 例4先化简，再求值：（x+2y）（2x+y）-（3x-y）（x+2y），其中x=9，y=0.5. 【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用. 例5已知（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2，x3项，试求p，q的值. 【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含x2，x3项，就是x2项和x3项的系数为0，通过解方程组可求出p，q的值. 因为展开式中不含x2，x3项， 解之得p=3，q=1. 【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作已知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数. （三）运用新知，深化理解 甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10. （1）你能知道式子中a、b的值各是多少？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab，对比得到的结果可得：-（3a-2b）=11；① 乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab，对比得到的结果可得：a+2b=-9.② 由①、②两式即可得出a、b的值. 【教学说明】 此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解题意，师生共同完成解答. 【答案】（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10； （2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10； 所以-（3a-2b）=11，且a+2b=-9，解得a=-5，b=-2. 所以（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10. （四）师生互动，课堂小结 师生共同交流本节所学知识及收获. 二次备课 板书设计：16.2 整式的乘法（第3课时） 多项式与多项式相乘 （a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq. 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 作业设计： 教学反思： 课题 16.2 整式的乘法（第4课时） 教学目标 1. 通过依托乘除互逆关系开展推理探究活动，自主推导同底数幂除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，明晰运算算理，发展逻辑推理、数学抽象素养。 2. 通过归纳总结、例题实操与分层练习活动，掌握零指数幂的定义规定，熟练运用各类整式除法法则进行规范运算，发展数学运算素养。 3. 通过易错辨析、纠错训练的巩固活动，精准处理整式除法运算中的符号、单独字母等易错点，做到运算不丢项、结果规范最简，发展数学运算与严谨推理素养。 教学重点 同底数幂的除法法则、零指数幂的规定； 单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则与运算. 教学难点 理解整式除法的算理（乘除互逆）； 零指数幂的理解；运算中符号处理、单独字母的指数运算；多项式除法不漏项. 课时安排 1课时 教 学 过 程 一、复习回顾 教师提问，学生集体口述三大幂的乘法法则： 同底数幂相乘：底数不变，指数相加； 幂的乘方：底数不变，指数相乘； 积的乘方：等于每一个因式分别乘方的积； 教师过渡：我们学习了整式的乘法，今天借助乘除互逆关系，研究整式的除法，板书课题. 二、新知引入 教师提问：数的除法和乘法是什么关系？（除法是乘法的逆运算） 引导：数的除法可以借助乘法研究，整式的除法能不能也借助整式乘法来研究？ 点明本节课思路：类比数的除法，利用整式乘法研究整式除法. 三、探究新知 探究1：同底数幂的除法 问题：计算（，m，n都是正整数，）. 教师引导：除法的意义是，求一个数/式子，使它与除数的积等于被除数. 学生思考：哪个式子乘等于？ 根据同底数幂乘法：， 所以. 归纳法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 符号语言：（，m，n都是正整数，且）. 推广：同底数幂除法可以推广到三个及以上，（，m，n，p都是正整数，）. 探究2：零指数幂 思考：如果被除式指数等于除式指数，比如，结果是多少？ 角度1：根据除法意义，被除数和除数相等，商为1； 角度2：根据同底数幂除法法则，. 规定：，即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 教师强调：底数不能为0，0的0次幂没有意义. 【典型例题】例4 （教材P108） 【师生活动】学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式. 教师用课件展示例题答案. 教师点拨：第(2)题把ab看作整体底数，用同底数幂除法，再用积的乘方展开. 练习1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ 2.计算下列各题. 3.计算下列各题. 【教学说明】安排上述三题是为了帮助学生深化理解同底数幂的除法运算，题可师生共同评析.题2，3教师可指派学生到黑板上演算，然后全班订正，让学生加深印象，达成共识. 探究3：单项式除以单项式、多项式除以单项式 【师生活动】 问题：怎么算？ 引导：找一个单项式，使它乘等于. 因为，所以商是. 分析商的组成： 系数：； a的指数：； b的指数：，，省略不写； x的指数：，只在被除式里的字母，连同指数照抄. 归纳法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 问题：怎么算？ 引导：因为，所以； 又，所以. 归纳法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 重要提醒： ①多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项； ②是单项式乘多项式的逆运算，可以用乘法检验结果. 【典型例题】例5 （教材P109） 【师生活动】学生独立完成解题过程，教师逐题点拨并板书规范解答： （2）点拨：系数带符号，负正得负；被除式独有的c照抄. （3）点拨：每一项都要除，包括最后一项；符号跟着项走；结果项数和被除式相同. 教师用课件展示例题答案. 师生共同总结两个问题： 单项式相除注意什么？ ①分清系数、相同字母、被除式独有的字母； ②符号确定和单项式乘法类似，同号得正、异号得负. 多项式除以单项式注意什么？ ①先转化为单项式除以单项式，逐项相除； ②结果项数与被除式项数相同； ③多项式每一项都包含前面的符号. 四、当堂检测 1.计算： 2.计算： 3.化简求值. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 二次备课 板书设计：16.2 整式的乘法（第4课时） 1.同底数幂除法：，底数不变指数相减； 2.零指数幂：； 3.单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，独有字母照抄； 4.多项式÷单项式：每一项分别除，再相加，项数不变. 作业设计： 教学反思： 课题 16.3.1 平方差公式 教学目标 1. 通过代数推理、图形面积验证的探究活动，经历平方差公式的推导过程，理解平方差公式的几何意义，发展数学抽象、几何直观素养。 2. 通过观察对比、例题演练与变式训练活动，精准掌握平方差公式的结构特征，熟练运用公式进行整式化简与运算，发展数学运算、逻辑推理素养。 3. 通过生活化简便运算探究练习，灵活运用平方差公式简化有理数运算，体会公式的实用价值，发展数学运算、模型观念素养。 教学重点 运用平方差公式进行计算. 教学难点 准确识别公式中的a和b，灵活运用公式完成计算与简便运算. 课时安排 1课时 教 学 过 程 （一）情境导入，初步认识 出示下列习题，由学生分组完成： 1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）. 2.试用简便方法求结果： （1）2001×1999=_____； 998×102=_______. 【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999. 要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来. （二）思考探究，获取新知 由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳. 上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式. （1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2. （2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）. （3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式. （4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式. 例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果. （1）（2a-3b）(3b-2a); (2)(-2a+3b)(2a+3b); (3)(-2a-3b)(-2a+3b); (4)(2a+3b)(2a-3b); (5)(-2a-3b)(2a-3b); (6)(2a+3b)(-2a-3b); 解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式. 例2计算： （1）59.9×60.1；（2）102×98. 【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2. 例3利用平方差公式计算下列各题. （1）（2x+1）（2x-1）-3x2. （2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）. 【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果. （三）运用新知，深化理解 1.计算下列各题. 2.利用平方差公式计算下列各题： （1）499×501； （2）2002×2004-20032. 3.请认真分析下面一组等式的特征： 1×3=22-1， 3×5=42-1， 5×7=62-1， …… 猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来. 【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错. （四）师生互动，课堂小结 阅读下列材料，回忆巩固平方差公式. 平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2. 二次备课 板书设计：16.3.1 平方差公式 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 作业设计： 教学反思： 课题 16.3.2 完全平方公式 教学目标 1. 通过代数推导、图形面积验证的探究活动，经历完全平方公式的生成过程，掌握公式的推导过程、结构特点与几何意义，发展数学抽象、几何直观与逻辑推理素养。 2. 通过例题精讲、变式练习的实操活动，灵活运用完全平方公式进行整式化简与有理数简便运算，提升公式应用能力，发展数学运算素养。 3. 通过归纳辨析与综合训练活动，熟练掌握添括号法则，能够结合乘法公式解决三项式等复杂整式运算问题，发展逻辑推理、数学运算素养。 教学重点 完全平方公式的推导、结构特征与基本运用；添括号法则 教学难点 准确识别公式结构，灵活运用完全平方公式； 公式的变形应用；添括号后的符号处理；三项式的整体构造. 课时安排 1课时 教 学 过 程 （一）情境导入，初步认识 问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，…… （1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？ （4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果. 【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同. （二）思考探究，获取新知 例1计算下列各题. 【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（4）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2. 例2计算：（1）1032；（2）2992. 【教学说明】引导学生在实际练习中重点体验完全平方公式的结构特征，正确套用公式，同时注意把完全平方公式展开后每一项的符号不能出错. 例3运用乘法公式计算. （1）（a-b+c）（a+b-c）； （2）（2x-y+1）（y-1+2x）； （3）（x-y+z）2. 【分析】1.为了应用公式计算，先必须对式中各项添上括号，其法则是：如果括号前是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 2.（1）中可以将两因式变成a与b-c的和与差；（2）中两因式可以变成2x与y-1的和与差，运用平方差公式计算；（3）的底数可变形为两式的和或差. 【教学说明】（1）只有符号不同的两个三项式相乘，通过添括号都可以将算式变形为完全平方式或平方差；（2）两因式中绝对值相同的各项若符号全部相同或完全相反，则为完全平方式；若一部分符号相同，则为平方差. （三）运用新知，深化理解 计算： ［（x-2y）（x+2y）］2-［（x-2y）2-（x+2y）2］2. 【教学说明】上述计算是在平方差公式、完全平方公式的基本应用上的延伸，可要求学生尝试动手练习，教师再予以指导. 【归纳总结】①对于比较复杂的整式乘法，先不要急于运算，应首先分析其特点，尽可能用公式进行运算，而且运算过程中尽可能地合并同类项.②必要的时候灵活运用运算公式，采用其逆运算，可以使运算过程简便. （四）师生互动，课堂小结 由学生谈谈本节课所学知识的认识，集体评点. 二次备课 板书设计：16.3.2 完全平方公式 一、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2， （a-b）2=a2-2ab+b2 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 二、添括号法则 如果括号前是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 作业设计： 教学反思： 1 学科网（北京）股份有限公司 $