29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 2026—2027学年人教版九年级数学上册

29.2.1 垂直于弦的直径 课题名称 29.2.1 垂直于弦的直径 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 垂径定理及其应用 内容解析 《垂直于弦的直径》是在学生学习了圆的有关概念、过三点的圆的基础上，研究圆的重要性质——垂径定理。教材通过折纸活动发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；进而探究得出：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（垂径定理）；以及推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。教材以赵州桥为例，运用垂径定理解决实际问题。 垂径定理是圆的重要性质之一，它把圆的轴对称性转化为线段相等和弧相等的关系，是后续研究圆的其他性质、解决圆的计算与证明问题的重要工具。教学中渗透轴对称思想、数形结合思想和方程思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了直线形（三角形、四边形）的基础上，进一步研究一种特殊的曲线图形——圆。本章主要内容包括：圆的有关概念、圆的性质、点和圆、直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积等。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系； ④了解点和圆、直线和圆的位置关系。 课时目标 1.（数学抽象·直观想象）理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；掌握垂径定理及其推论，能说出垂直于弦的直径有哪些结论。 2.（逻辑推理·几何直观）经历折纸、观察、猜想、证明垂径定理的过程；能运用垂径定理进行简单的计算和证明，特别是与勾股定理结合求半径、弦长、弦心距。 3.（数学建模·应用意识）通过赵州桥问题，体会垂径定理在实际问题中的应用；能建立圆中半径、弦心距、半弦长之间的直角三角形模型。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出圆的对称轴；能表述垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 达成目标2的标志是：学生能在图中找出相等的线段和弧；能运用垂径定理结合勾股定理求半径或弦长。 达成目标3的标志是：学生能解决赵州桥类实际问题，建立半径r、弦心距d、半弦长a之间的关系r²=d²+a²。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了圆的概念、弦、弧等概念，掌握了勾股定理和轴对称的性质；学生具备一定的动手操作和推理能力。但九年级学生容易混淆垂径定理的条件和结论；在应用垂径定理时，不会正确构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形；对“平分弦（不是直径）”这个前提条件理解不深（两条直径互相平分但不一定垂直）。 困惑点或探索点 学生容易混淆：垂径定理的条件（垂直于弦）和结论（平分弦、平分弧）；推论中“弦不是直径”的前提；应用时不会构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形。 教学 重难点 教学重点 垂径定理及其推论；运用垂径定理进行计算和证明。 教学难点 垂径定理的证明；运用垂径定理解决实际问题（赵州桥问题）。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：垂径定理是圆的核心性质之一，它把圆的轴对称性转化为线段和弧的等量关系，是解决圆中计算、证明问题的基本工具。 学什么：圆是轴对称图形；垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及所对弧）；推论（平分非直径弦的直径垂直于弦）；垂径定理的应用（赵州桥问题）。 怎么学：采用“折纸操作—观察猜想—证明归纳—应用巩固”的探究式教学。让学生通过折纸发现圆的轴对称性；在坐标系或图中观察垂直于弦的直径有什么结论；通过全等三角形证明垂径定理；结合勾股定理解决赵州桥类实际问题。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 动手操作 1. 剪一个圆形纸片，沿着任意一条直径对折，你发现了什么？ 2. 圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 情境引入 师：同学们，拿出准备好的圆形纸片，沿着任意一条直径对折，你发现了什么？ 生：直径两边的部分完全重合。 师：这说明圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 师：如果在圆里画一条弦AB，再画一条垂直于AB的直径CD，垂足是E。你猜一猜，E点有什么特殊之处？弧AC和弧BC有什么关系？今天我们就来研究这个问题。（板书课题） 学生能通过折纸发现圆是轴对称图形；能联想到对称轴是直径所在直线。 通过折纸操作，让学生直观感受圆的轴对称性，为探究垂径定理做铺垫。 概念探究 一、垂径定理的探究 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E。AE与BE有什么关系？弧AC与弧BC呢？ 二、垂径定理的证明 你能证明AE=BE吗？ 三、推论 如果直径CD平分弦AB（AB不是直径），那CD垂直于AB吗？ 活动一：观察猜想 师：在⊙O中，画一条弦AB，再画一条垂直于AB的直径CD，垂足为E。观察图形，AE和BE有什么关系？ 生：AE=BE，直径CD平分了弦AB。 师：弧AC和弧BC呢？ 生：也相等，因为对折后重合。 活动二：证明定理 师：你能证明AE=BE吗？连接OA、OB。 生：OA=OB，△OAB是等腰三角形；OE⊥AB，根据等腰三角形三线合一，AE=BE。 师：所以我们得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 活动三：探究推论 师：反过来，如果直径CD平分弦AB（AB不是直径），那CD垂直于AB吗？ 生：是的，因为△OAB是等腰三角形，OA=OB，CD是中线，根据三线合一，CD⊥AB。 师：推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：这里弦不能是直径，因为两条直径互相平分但不一定垂直。 师：在圆中，解决有关弦的问题时，常过圆心作弦的垂线段，构造半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，用勾股定理求解。 学生能说出垂径定理的内容；能证明AE=BE；能说出推论的内容和注意事项。 让学生经历“操作—观察—猜想—证明—归纳”的探究过程，在直观操作和逻辑证明中理解垂径定理，落实几何直观与逻辑推理素养。 课堂练习 例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。求⊙O的半径。 例2：赵州桥是我国古代劳动人民的伟大创造。它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦长）约为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）约为7.2m。求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1m）。 例1讲评： 分析：过O作OC⊥AB于C，则AC=BC=½AB=4cm，OC=3cm。在Rt△OAC中，由勾股定理： OA²=OC²+AC²=3²+4²=25，所以OA=5cm。 答：⊙O的半径为5cm。 例2讲评： 分析：设主桥拱所在圆的圆心为O，半径为R。跨度AB=37m，所以半弦长为18.5m；拱高为7.2m，所以圆心到弦的距离为(R-7.2)m。 在由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形中，由勾股定理： R²=18.5²+(R-7.2)² R²=342.25+R²-14.4R+51.84 14.4R=394.09 R≈27.4m 答：赵州桥主桥拱的半径约为27.4m。 教师强调：解决弦的问题，常作弦心距，构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形。 例1直接应用垂径定理+勾股定理求半径；例2是赵州桥实际问题，训练学生建模能力和方程思想。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，垂径定理的内容是什么？应用它时常用什么方法？ 生1：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 生2：解决弦的问题，常作弦心距，构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形，用勾股定理。 师：课后请完成教材习题 29.2 第1、2题。 学生能说出垂径定理；能说出常用辅助线作法；能完成基本计算。 通过师生共同回顾，梳理垂径定理内容和常用方法，强化“作弦心距构造直角三角形”这一基本思路。 板书设计 29.2.1 垂直于弦的直径 一、圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 二、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 三、推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 四、常用方法：作弦心距，构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $